Anwendungsaufgaben zu Kreisumfang und Kreisfläche

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von $1{,}20\ m$ . Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils $50\ cm$ breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens $15\ cm$ überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

	$\mathbf{Breite}$	$\mathbf{Länge}$
$\mathbf{Tischdecke}\ \mathbf{A}$	140 cm	260 cm
$\mathbf{Tischdecke}\ \mathbf{B}$	150 cm	250 cm
$\mathbf{Tischdecke}\ \mathbf{C}$	160 cm	240 cm

Tischdecke A
Tischdecke B
Tischdecke C

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Tischdecke A

Damit die Tischdecke an allen Seiten $15\ cm$ übersteht, muss sie um $30\ cm$ länger und breiter sein, als der Tisch.

$b_{Tischdecke\;A}-b_{Tisch}\overset?\geq30\;cm$

Betrachte die Differenz aus Breite der Tischdecke und Breite des Tisches.

$140\ cm-120\ cm=20\ cm$

Der erhaltene Überhang ist kleiner als die gewünschten $30\ cm$ .

$20~cm\leq30\;cm$

⇒ Also fällt Tischdecke A weg.

Tischdecke B

$150~cm-120~cm\;=30\;cm$

Auch hier wird wieder die Differenz der beiden Breiten betrachtet.

$30\ cm\ge30\ cm$

Von der Breite her ist die Tischdecke groß genug. Deshalb musst du hier auch die Länge betrachten.

$l_{Tischdecke\;B}-d_{Tisch}\overset?\geq30~cm$

Berechne also die Differenz der jeweiligen Längen.

$250\ cm-\left(2\cdot60\ cm+2\cdot50\ cm\right)=$ $250\ cm-220\ cm\ge30\ cm\$

$30\ cm=30\ cm$

Auch die Länge dieser Tischdecke ist groß genug, um $30\ cm$ über zu stehen.

In den Ecken der Tischdecke steht sogar mehr als $30\ cm$ über, da der Tisch abgerundet ist. $\Rightarrow$ Das heißt: Tischdecke B ist ideal.

Prüfe Tischdecke C

Zuerst wird die Breite überprüft.

$160\ cm-120\ cm\ge30\ cm$

$40\ cm\ge30\ cm$

⇒ Tischdecke C ist breit genug.

Anschließend wird die Länge betrachtet.

$240\ cm-220\ cm\ge30\ cm$

$20\ cm\le30\ cm$

⇒ Jedoch ist sie nicht lang genug, um $30\ cm$ überzustehen.

$\Rightarrow$ Deshalb ist auch C nicht geeignet.

A: Tischdecke B eignet sich.

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Eine Näherin hat ein gemustertes Band mit einer bestimmten Länge abgeschnitten. Dieses Band soll um den Rand einer runden Tischdecke genäht werden. Welchen Durchmesser hat die jeweils dazugehörende runde Tischdecke. Gib den Durchmesser in Metern $\left(\text{m}\right)$ gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma an.

Das gemustertes Band hat eine Länge von $6{,}28\,\text{m}$ .

Das gemustertes Band hat eine Länge von $785\,\text{cm}$ .

Das gemustertes Band hat eine Länge von $10990\,\text{mm}$ .

4
Auf einer kreisrunden umzäunten Koppel mit der Fläche von $314\m^2$ stehen zwei Pferde. Die beiden Pferde verstehen sich nicht gut und kämpfen oft miteinander. Aus diesem Grund wird beschlossen die Koppel in der Mitte zu teilen. Berechne die zusätzliche Zaunlänge.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Mit der Formel des Flächeninhalts $A$ kann der Radius der Koppel berechnet werden. Dafür ist auch das Rechnen mit Quadratwurzeln nötig.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} r^2 \cdot \pi =& A &|\div \pi\\\\ r^2 =& A \div \pi &| \text{Werte}\: \text{einsetzen}\\\\ r^2 =& 314\m^2 \div 3{,}14 \\\\ r^2 =& 100\m^2 &|\text{Wurzel \: ziehen} \\\\ \sqrt{r^2} =& \sqrt{100\m^2} \\\\ r =& 10\m \end{array}$
Der Radius der Koppel beträgt $10\m$ . Der Zaun ist so lang wie der Durchmesser des Koppel.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {rcl}\text{Durchmesser} &=& 2 \cdot r \\\\ &=& 2\cdot 10\m \\\\ &=& 20\m\end{array}$
Um die Koppel zu teilen, werden $20\m$ Zaun benötigt.
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Ein Cookie besitzt einen Durchmesser von 9 cm. Berechne den Umfang und Flächeninhalt. Runde deine Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Die Formel für den Kreisumfang ist:
Den Radius kannst du aus dem Durchmesser berechnen, wie folgt:
Nun kannst du den Radius in die Formel einsetzen.
Als nächstes, musst du den Flächeninhalt des Cookies berechnen. Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt ist:
Jetzt brauchst du nur noch den Radius einzusetzen.
Daraus folgt, dass der Umkreis $28{,}3 \,\text{cm}^2$ und der Flächeninhalt $63{,}6 \,\text{cm}^3$ beträgt.

Eine Firma produziert runde Tischdecken. Jede Tischdecke erhält um ihren Rand ein gemustertes Band (dieses Band wird auch Borte genannt). Berechne jeweils die Länge des gemusterten Bandes. Gib die Länge in Metern ( $\text{m}$ ) gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma an.

Der Durchmesser beträgt $150\,\text{cm}$ .

Der Durchmesser beträgt $1700\,\text{mm}$ .

Der Durchmesser beträgt $2{,}10\,\text{m}$ .

7
Frage:
Was denkst du? Ist es sinnvoller 2 kleine Pizzas oder eine große Pizza zu kaufen?
Nutze das GeoGebra Applet, um die Flächeninhalte der zwei Pizzas zu vergleichen.
Die Kreisfläche der kleinen Pizza beträgt:
Zwei kleine Pizzas haben eine Fläche von:
Eine große Pizza hat eine Fläche von:
$\rightarrow$ Eine große Pizza ist größer als zwei kleine Pizzas.
$\rightarrow$ Da eine große Pizza genauso viel kostet, wie zwei kleine, lohnt es sich eher eine große Pizza zu kaufen.
Berechne die Kreisfläche der beiden Pizzas.
Im Applet brauchst du dafür den Radius r. Der Radius ist halb so groß wie der Durchmesser d: $r=\frac{1}{2}d$
Was ist größer: 1 große oder 2 kleine Pizzas?
8
Schätzaufgabe
Wie weit bist du vom Mittelpunkt der Erde entfernt?
ungefähr 6.371 km
ungefähr 984 km
ungefähr 12.742 km
Genau genommen....
... ist die Erde gar keine Kugel! Weil sie sich so schnell dreht, ist der Abstand zum Erdmittelpunkt am Äquator ein klein wenig größer als am Nordpol. Am Nordpol bist du ungefähr 30 km näher am Erdmittelpunkt als am Äquator.
Da der Abstand zwischen Erdmittelpunkt und Erdoberfläche nicht immer gleich ist, gibt es auch keinen Radius.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle U_{vergrößerte\;Tischplatte}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot r\cdot \pi +2\cdot 2\cdot b$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot 0{,}6\cdot \mathrm{\pi }+4\cdot 0{,}5$
	$=$	$\displaystyle 5{,}77\ \text{m}$

$\displaystyle A_{vergrößerte\;Tischplatte}$	$=$	$\displaystyle r^2\cdot \mathrm{\pi }+2\cdot \left(b\cdot l\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6^2\cdot \mathrm{\pi }+2\cdot \left(0{,}5\cdot 1{,}2\right)$
	$=$	$\displaystyle 2{,}33\ \text{m}^2$

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle d \cdot \pi$
	↓	$\pi \approx 3{,}14$
	$≈$	$\displaystyle 500\text{\mm}\cdot 3{,}14$
	$=$	$\displaystyle 1570\text{\mm}$
	$=$	$\displaystyle 1{,}57\text{\m}$

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle d \cdot \pi$
	↓	$\pi \approx 3{,}14$
	$≈$	$\displaystyle 614\text{\mm}\cdot 3{,}14$
	$=$	$\displaystyle 1927{,}96\text{\mm}$
	$≈$	$\displaystyle 1{,}93\text{\m}$

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle d \cdot \pi$
	↓	$\pi \approx 3{,}14$
	$≈$	$\displaystyle 716\text{\mm}\cdot 3{,}14$
	$=$	$\displaystyle 2248{,}24\text{\mm}$
	$≈$	$\displaystyle 2{,}25\text{\m}$

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle d \cdot \pi$	$\displaystyle : \pi$
$\displaystyle \dfrac{U}{\pi}$	$=$	$\displaystyle d$

$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \dfrac{U}{\pi}$	$\displaystyle$
	↓	$\pi \approx 3{,}14$
	$≈$	$\displaystyle \frac{6{,}28\,\text{m}}{3{,}14}$
	$=$	$\displaystyle 2 \,\text{m}$

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle d\cdot \pi$
	↓	$\pi \approx 3{,}14$
	$≈$	$\displaystyle 150\, \text{cm}\cdot 3{,}14$
	$=$	$\displaystyle 471\, \text{cm}$
	↓	Umrechnung 100 cm sind 1 m
	$=$	$\displaystyle 4{,}71\, \text{m}$

Anwendungsaufgaben zu Kreisumfang und Kreisfläche

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Tischdecke A

Tischdecke B

Prüfe Tischdecke C

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Schätzaufgabe

Genau genommen....