Anwendungsaufgaben zu Kreisumfang und Kreisfläche

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von $1,20 m$ . Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils $50 c m$ breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Der Umfang der Tischplatte setzt sich aus dem Umfang des Vollkreises und der Breite $b$ der zwei gleichen Rechtecke zusammen.
$U_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$ $=$ $2 \cdot r \cdot π + 2 \cdot 2 \cdot b$
$=$ $2 \cdot 0,6 \cdot π + 4 \cdot 0,5$
$=$ $5,77 m$
Auch der Flächeninhalt berechnet sich aus einem Vollkreis und den beiden Rechtecken. Beachte, dass die Länge $l$ der Rechtecke genau gleich groß wie der Durchmesser des Kreises ist.
$A_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$ $=$ $r^{2} \cdot π + 2 \cdot (b \cdot l)$
$=$ ${0,6}^{2} \cdot π + 2 \cdot (0,5 \cdot 1,2)$
$=$ $2,33 m^{2}$
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Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens $15 c m$ überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

	$𝐁 𝐫 𝐞 𝐢 𝐭 𝐞$	$𝐋 \ddot{𝐚} 𝐧 𝐠 𝐞$
$𝐓 𝐢 𝐬 𝐜 𝐡 𝐝 𝐞 𝐜 𝐤 𝐞 𝐀$	140 cm	260 cm
$𝐓 𝐢 𝐬 𝐜 𝐡 𝐝 𝐞 𝐜 𝐤 𝐞 𝐁$	150 cm	250 cm
$𝐓 𝐢 𝐬 𝐜 𝐡 𝐝 𝐞 𝐜 𝐤 𝐞 𝐂$	160 cm	240 cm

Tischdecke A
Tischdecke B
Tischdecke C

2
Wie lang ist der Weg, den du mit einer Radumdrehung deines Fahrrades zurücklegst? Berechne den Weg in Metern $(m)$ gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Du fährst mit einem Kinderrad. Das Rad hat einen Außendurchmesser von $500 mm$ .
  $1,58 m$
  $1570 m$
  $1,57 m$
  $1,67 m$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
  Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen.
  $U$ $=$ $d \cdot π$
  ↓
  $π \approx 3,14$
  $\approx$ $500 mm \cdot 3,14$
  $=$ $1570 mm$
  $=$ $1,57 m$
  Antwort: Mit einer Radumdrehung deines Kinderrades kannst du einen Weg von etwa $1,57 m$ zurücklegen.
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  Der Weg, den du mit einer Radumdrehung deines Fahrrades zurücklegst, entspricht dem Umfang deines Rades. Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Kreisumfang. Wandle den Umfang in die geforderte Einheit Meter um und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
2. Du fährst mit einem Jugendrad. Das Rad hat einen Außendurchmesser von $614 mm$ .
  $1,92 m$
  $2,93 m$
  $192,8 m$
  $1,93 m$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
  Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen.
  $U$ $=$ $d \cdot π$
  ↓
  $π \approx 3,14$
  $\approx$ $614 mm \cdot 3,14$
  $=$ $1927,96 mm$
  $\approx$ $1,93 m$
  Antwort: Mit einer Radumdrehung deines Jugendrades kannst du einen Weg von etwa $1,93 m$ zurücklegen.
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  Der Weg, den du mit einer Radumdrehung deines Fahrrades zurücklegst, entspricht dem Umfang deines Rades. Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Kreisumfang. Wandle den Umfang in die geforderte Einheit Meter um und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
3. Du fährst mit einem Tourenrad. Das Rad hat einen Außendurchmesser von $716 mm$ .
  $2,248 m$
  $2,24 m$
  $2,25 m$
  $2,15 m$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
  Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen.
  $U$ $=$ $d \cdot π$
  ↓
  $π \approx 3,14$
  $\approx$ $716 mm \cdot 3,14$
  $=$ $2248,24 mm$
  $\approx$ $2,25 m$
  Antwort: Mit einer Radumdrehung deines Tourenrades kannst du einen Weg von etwa $2,25 m$ zurücklegen.
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  Der Weg, den du mit einer Radumdrehung deines Fahrrades zurücklegst, entspricht dem Umfang deines Rades. Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Kreisumfang. Wandle den Umfang in die geforderte Einheit Meter um und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
3
Eine Näherin hat ein gemustertes Band mit einer bestimmten Länge abgeschnitten. Dieses Band soll um den Rand einer runden Tischdecke genäht werden. Welchen Durchmesser hat die jeweils dazugehörende runde Tischdecke. Gib den Durchmesser in Metern $(m)$ gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma an.
1. Das gemustertes Band hat eine Länge von $6,28 m$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
  Die Umfangsformel wird nach $d$ aufgelöst:
  $U$ $=$ $d \cdot π$ $: π$
  $\frac{U}{π}$ $=$ $d$
  $d$ $=$ $\frac{U}{π}$
  ↓
  $π \approx 3,14$
  $\approx$ $\frac{6,28 m}{3,14}$
  $=$ $2 m$
  Antwort: Die Tischdecke hat einen Durchmesser von etwa $2,00 m$ .
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  Die Länge des Bandes entspricht dem Umfang des Kreises. Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen. Löse die Umfangsformel nach $d$ auf.
2. Das gemustertes Band hat eine Länge von $785 cm$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
  Die Umfangsformel wird nach $d$ aufgelöst:
  $U$ $=$ $d \cdot π$ $: π$
  $\frac{U}{π}$ $=$ $d$
  $d$ $=$ $\frac{U}{π}$
  ↓
  $π \approx 3,14$
  $\approx$ $\frac{785 cm}{3,14}$
  $=$ $250 cm$
  ↓
  Rechne $c m$ in $m$ um
  $=$ $2,50 m$
  Antwort: Die Tischdecke hat einen Durchmesser von etwa $2,50 m$ .
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  Die Länge des Bandes entspricht dem Umfang des Kreises. Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen. Löse die Umfangsformel nach $d$ auf.
3. Das gemustertes Band hat eine Länge von $10990 mm$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
  Die Umfangsformel wird nach $d$ aufgelöst:
  $U$ $=$ $d \cdot π$ $: π$
  $\frac{U}{π}$ $=$ $d$
  $d$ $=$ $\frac{U}{π}$
  ↓
  $π \approx 3,14$
  $\approx$ $\frac{10990 mm}{3,14}$
  $=$ $3500 mm$
  ↓
  Rechne $m m$ in $m$ um
  $=$ $3,50 m$
  Antwort: Die Tischdecke hat einen Durchmesser von etwa $3,50 m$ .
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  Die Länge des Bandes entspricht dem Umfang des Kreises. Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen. Löse die Umfangsformel nach $d$ auf.
4
Auf einer kreisrunden umzäunten Koppel mit der Fläche von $314 m^{2}$ stehen zwei Pferde. Die beiden Pferde verstehen sich nicht gut und kämpfen oft miteinander. Aus diesem Grund wird beschlossen die Koppel in der Mitte zu teilen. Berechne die zusätzliche Zaunlänge.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Mit der Formel des Flächeninhalts $A$ kann der Radius der Koppel berechnet werden. Dafür ist auch das Rechnen mit Quadratwurzeln nötig.
$\begin{array}{rcl} r^{2} \cdot π = & A & | \div π \\ r^{2} = & A \div π & | Werte einsetzen \\ r^{2} = & 314 m^{2} \div 3,14 \\ r^{2} = & 100 m^{2} & | Wurzel ziehen \\ \sqrt{r^{2}} = & \sqrt{100 m^{2}} \\ r = & 10 m \end{array}$
Der Radius der Koppel beträgt $10 m$ . Der Zaun ist so lang wie der Durchmesser des Koppel.
$\begin{array}{rcl} Durchmesser & = & 2 \cdot r \\ = & 2 \cdot 10 m \\ = & 20 m \end{array}$
Um die Koppel zu teilen, werden $20 m$ Zaun benötigt.
5
Ein Cookie besitzt einen Durchmesser von 9 cm. Berechne den Umfang und Flächeninhalt. Runde deine Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Die Formel für den Kreisumfang ist:
$U_{Kreis} = 2 π \cdot r$
Den Radius kannst du aus dem Durchmesser berechnen, wie folgt:
$\begin{array}{rcl} d = 2 \cdot r \Rightarrow r & = & \frac{1}{2} d \\ r & = & \frac{1}{2} \cdot 9 cm = 4,5 cm \end{array}$
Nun kannst du den Radius in die Formel einsetzen.
$\begin{array}{rcl} U_{Kreis} & = & 2 π \cdot r \\ U_{Kreis} & = & 2 π \cdot 4,5 cm \approx 28,3 {cm}^{2} \end{array}$
Als nächstes, musst du den Flächeninhalt des Cookies berechnen. Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt ist:
$A_{Kreis} = π \cdot r^{2}$
Jetzt brauchst du nur noch den Radius einzusetzen.
$\begin{array}{rcl} A_{Kreis} & = & π \cdot r^{2} \\ A_{Kreis} & = & π \cdot (4,5 cm)^{2} \approx 63,6 {cm}^{2} \end{array}$
Daraus folgt, dass der Umkreis $28,3 {cm}^{2}$ und der Flächeninhalt $63,6 {cm}^{3}$ beträgt.
6
Eine Firma produziert runde Tischdecken. Jede Tischdecke erhält um ihren Rand ein gemustertes Band (dieses Band wird auch Borte genannt). Berechne jeweils die Länge des gemusterten Bandes. Gib die Länge in Metern ( $m$ ) gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma an.
1. Der Durchmesser beträgt $150 cm$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
  Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen.
  $U$ $=$ $d \cdot π$
  ↓
  $π \approx 3,14$
  $\approx$ $150 cm \cdot 3,14$
  $=$ $471 cm$
  ↓
  Umrechnung 100 cm sind 1 m
  $=$ $4,71 m$
  Antwort: Die Länge des gemusterten Bandes beträgt etwa $4,71 m$ .
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  Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Umfang des Kreises.
2. Der Durchmesser beträgt $1700 mm$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
  Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen.
  $U$ $=$ $d \cdot π$
  ↓
  $π \approx 3,14$
  $\approx$ $1700 mm \cdot 3,14$
  $=$ $5338 mm$
  ↓
  Umrechnung 1000 mm sind 1 m
  $=$ $5,338 m$
  ↓
  auf zwei Nachkommastellen runden
  $\approx$ $5,34 m$
  Antwort: Die Länge des gemusterten Bandes beträgt etwa $5,34 m$ .
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  Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Umfang des Kreises.
3. Der Durchmesser beträgt $2,10 m$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
  Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U = d \cdot π$ berechnen.
  $U$ $=$ $d \cdot π$
  ↓
  $π \approx 3,14$
  $\approx$ $2,10 m \cdot 3,14$
  $=$ $6,594 m$
  ↓
  auf zwei Nachkommastellen runden
  $\approx$ $6,59 m$
  Antwort: Die Länge des gemusterten Bandes beträgt etwa $6,59 m$ .
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  Berechne mit dem gegebenen Durchmesser den Umfang des Kreises.
7
Frage:
Was denkst du? Ist es sinnvoller 2 kleine Pizzas oder eine große Pizza zu kaufen?
Nutze das GeoGebra Applet, um die Flächeninhalte der zwei Pizzas zu vergleichen.
Die Kreisfläche der kleinen Pizza beträgt:
$A_{P i z z a k l e i n} = π \cdot {(10 c m)}^{2} = 314,2 c m^{2}$
Zwei kleine Pizzas haben eine Fläche von:
$2 \cdot 314,2 c m^{2} = 618,4 c m^{2}$
Eine große Pizza hat eine Fläche von:
$A_{P i z z a g r o ß} = π \cdot {(15 c m)}^{2} = 706,9 c m^{2}$
$\to$ Eine große Pizza ist größer als zwei kleine Pizzas.
$\to$ Da eine große Pizza genauso viel kostet, wie zwei kleine, lohnt es sich eher eine große Pizza zu kaufen.
Berechne die Kreisfläche der beiden Pizzas.
Im Applet brauchst du dafür den Radius r. Der Radius ist halb so groß wie der Durchmesser d: $r = \frac{1}{2} d$
Was ist größer: 1 große oder 2 kleine Pizzas?
8
Schätzaufgabe
Wie weit bist du vom Mittelpunkt der Erde entfernt?
ungefähr 6.371 km
ungefähr 984 km
ungefähr 12.742 km
Genau genommen....
... ist die Erde gar keine Kugel! Weil sie sich so schnell dreht, ist der Abstand zum Erdmittelpunkt am Äquator ein klein wenig größer als am Nordpol. Am Nordpol bist du ungefähr 30 km näher am Erdmittelpunkt als am Äquator.
Da der Abstand zwischen Erdmittelpunkt und Erdoberfläche nicht immer gleich ist, gibt es auch keinen Radius.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$U_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$	$=$	$2 \cdot r \cdot π + 2 \cdot 2 \cdot b$
	$=$	$2 \cdot 0,6 \cdot π + 4 \cdot 0,5$
	$=$	$5,77 m$

$A_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$	$=$	$r^{2} \cdot π + 2 \cdot (b \cdot l)$
	$=$	${0,6}^{2} \cdot π + 2 \cdot (0,5 \cdot 1,2)$
	$=$	$2,33 m^{2}$

$U$	$=$	$d \cdot π$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$500 mm \cdot 3,14$
	$=$	$1570 mm$
	$=$	$1,57 m$

$d$	$=$	$\frac{U}{π}$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$\frac{6,28 m}{3,14}$
	$=$	$2 m$

Anwendungsaufgaben zu Kreisumfang und Kreisfläche

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Tischdecke A

Tischdecke B

Prüfe Tischdecke C

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Schätzaufgabe

Genau genommen....