Aufgaben zu Binomialkoeffizienten - lernen mit Serlo!

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Mathematik Stochastik…Binomialkoeffizienten Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

…

Wolfgang hat 12 Socken in einer Schublade, 6 rote und 6 schwarze. Er nimmt nun zufällig 2 aus der Schublade.

Bestimme:

Die Anzahl aller Möglichkeiten, wenn man alle 12 Socken unterscheiden kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient

Die Anzahl der Möglichkeiten 2 Socken aus 12 zufällig zu ziehen entspricht genau dem Binomialkoeffizienten $\displaystyle \binom{12}{2}$ .

Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.

$\displaystyle \displaystyle \binom{12}{2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{12!}{2!\cdot\left(12-2\right)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{12\cdot11\cdot10\cdots3\cdot2\cdot1}{2\cdot1\cdot10\cdot9\cdots3\cdot2\cdot1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{12\cdot11}{2}$
	$=$	$\displaystyle 66$

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Die Anzahl der Möglichkeiten für 2 gleichfarbige Socken.

$2\cdot\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}12\\2\end{pmatrix}$
$2\cdot\begin{pmatrix}12\\2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient

Die Anzahl der Möglichkeiten 2 gleiche Socken zu ziehen entspricht der Anzahl der Möglichkeiten für 2 rote Socken und 2 schwarze Socken. Von beiden sind 6 in der Schublade, das bedeutet du ziehst zwei mal "2 aus 6".

Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.

$\displaystyle 2\cdot\binom{6}{2}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{6!}{2!\cdot\left(6-2\right)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{6\cdot5}{2}$
	$=$	$\displaystyle 30$

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Die Wahrscheinlichkeit für 2 gleiche Socken.
- $\frac{30}{66}$
- $\frac12$
- $\frac14$
- $\frac{36}{66}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "2 gleiche Socken" entspricht der Anzahl der Möglichkeiten 2 gleiche Socken zu ziehen (b) geteilt durch die Anzahl aller Möglichkeiten (a).
$\displaystyle \frac{30}{66}=0,\overline{45}\approx45{,}5\%$
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Die Wahrscheinlichkeit für 2 verschiedenfarbige Socken.
- $\frac{36}{66}$
- $\frac5{11}$
- $\frac14$
- $\frac26$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "2 ungleiche Socken" entspricht der Anzahl der Möglichkeiten 2 ungleiche Socken zu ziehen geteilt durch die Anzahl aller Möglichkeiten (a).
Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 ungleiche Socken zu ziehen entspricht der Anzahl der Möglichkeiten für 1 rote Socke und 1 schwarze Socke. Von beiden sind 6 in der Schublade, das bedeutet du ziehst "1 aus 6" und danach nochmal "1 aus 6".
$\displaystyle \binom{6}{1}\cdot\binom{6}{1}=6\cdot6=36$
Die Anzahl aller Möglichkeiten ist 66 (Teilaufgabe a). Dies bedeutet für die Wahrscheinlichkeit.
$\displaystyle \frac{36}{66}=0,\overline{54}\approx54{,}5\%$
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