Graphischer Ansatz

Zuerst kannst du das Dreieck $AB_1C_1$ einzeichnen. Für den Punkt $C_1$ suchst du dabei auf der $x$-Achse den Wert $x=3$ und gehst dann senkrecht nach oben bis zur Parabel $p_2$, dort kannst du ihn dann einzeichnen. Für $B_1$ machst du das Gleiche, gehst aber nach unten bis zur Parabel $p_1$.

Rechnerischer Ansatz

Du kannst die Koordinaten von $B_1$ und $C_1$ auch dadurch bestimmen, dass du den Wert $x = 3$ in die Formeln aus der Angabe einsetzt:

So erhältst du die Punkte $B_1(3\vert-5{,}8)$ und $C_1(3\vert3{,}7)$, die du jetzt ganz leicht einzeichnen kannst.

Nun geht es noch darum die Länge der Strecke $\overline{B_nC_n}\ \left(x\right)$ zu bestimmen. Dazu bildest du die Differenz der Funktionsterme der beiden Parabeln, und zwar $p_2-p_1$, weil $p_2$ in diesem Bereich oberhalb von $p_1$ verläuft:

Hier solltest du als Erstes versuchen den Wert für $x$ zu bestimmen, so dass die Strecke die Länge $10$ LE besitzt. Setze dazu den Wert $10$ mit der Formel für die Länge der Strecke aus Teilaufgabe a gleich:

Diese Gleichung kannst du nun mithilfe der Mitternachtsformel lösen. Dafür brauchst du auch die Diskriminante der Gleichung:

Da die Diskriminante negativ ist, besitzt die Gleichung keine Lösung. Deshalb kannst du auch kein Dreieck $AB_nC_n$ finden, bei dem die Seite $[B_nC_n]$ die Länge $10$ LE besitzt.

Im folgenden Applet kannst du die Punkte $B_n$ und $C_n$ frei bewegen und dir ansehen, wie sich die Länge von $[B_nC_n]$ verändert:

Die Punkte $M_n$ sind Mittelpunkte der Strecken $[B_nC_n]$, ihre Koordinaten kannst du als den Mittelwert der Koordinaten von $B_n$ und $C_n$ berechnen. Es gilt also: $x_{M_n} = \dfrac12(x_{C_n} + x_{B_n})$ und für die $y$-Koordinaten:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c} y_{M_n} = \dfrac12\cdot \left(y_{C_n} + y_{B_n}\right) = \dfrac12\left(-0{,}2x^2+1{,}5x+1 + 0{,}4x^2-1{,}8x-4\right) \\ y_{M_n} =\dfrac12\cdot\left(0{,}2x^2-0{,}3x-3\right) = 0{,}1x^2-0{,}15x-1{,}5\end{array}$

Die Basis des Dreiecks ist die Strecke $[B_2C_2]$, da $B_2$ und $C_2$ dieselbe Abszisse haben und das Dreieck gleichschenklig ist, haben der Punkt $A$ und der Punkt $M_n$ die selbe y-Koordinate. Es gilt also:

Diese Gleichung ist wieder mit der Mitternachtsformel lösbar:

Du erhältst die Werte $x_1 = 5{,}81$ und $x_2=-4{,}31$. In der Angabe wurde geklärt, dass $x$ nur positive Werte annehmen soll, deshalb ist die $x$-Koordinate des Punkts $M_n$ also $x_{M_n} = 5{,}81$.