Nachtermin Teil A

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A1
Die Parabel $p$ hat die Gleichung $y=-0{,}25\cdot(x+1)^2+3\;\; (x,y\in \mathbb{R})$ .
1. Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts $S$ an. (1 P)
  
  geg.: Scheitelpunktformel allgemein $y=a\cdot(x-x_s)^2 +y_s$
  Scheitelpunktformel von $p$ : $y=-0{,}25\cdot(x+1)^2 +3$
  ges.: Scheitelpunktkoordinaten $x_s$ und $y_s$ aus der Scheitelpunktformel von $p$
  Ansatz und Rechnung:
  Direkte Ablesung der Scheitelpunktkoordinaten $x_s$ und $y_s$ aus der Scheitelpunktformel von $p$ :
  $\Rightarrow$ $x_s=-1;\quad y_s=3\qquad \Rightarrow \bold {S(-1|3)}$
  Graph der Parabel $p$
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  Ablesung der Scheitelpunktkoordinaten aus der Scheitelpunktformel
2. Zeichnen Sie die Parabel $p$ für $x \in [-5; 3]$ in das Koordinatensystem ein. (1,5 P)
  
  Graph der Parabel p gezeichnet mit https://rechneronline.de/funktionsgraphen/
  Berechnung der Wertepaare der Parabel $p: y=-0{,}25\cdot(x+1)^2 +3$
  Wertepaare der Parabel $p$
  Zeichnung des Graphen der Parabel p:
  Graph der Parabel $p$
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  Wertepaare für Parabel p berechnen und Einzeichnen ins KOSY
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A2
Lösen Sie die Gleichung $0{,}5x^2+x-4=0$ $(x\in \mathbb{R})$ . (2 P)

geg.: $0{,}5 \cdot x^2+x-4=0\qquad \text{mit}\: x\in \mathbb{R}$
ges.: Lösungsmenge für $x$
Ansatz und Rechnung:
abc-Formel $x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{\bold {b^2-4\cdot a \cdot c}}}{2\cdot a} \Rightarrow x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{\bold {D}}}{2\cdot a}$
auf quadratische Gleichung $0{,}5 \cdot x^2+x-4=0$ anwenden:
mit $a=0{,}5$ ; $\quad b=1$ ; $\quad c=-4$
$\Rightarrow D=b^2-4\cdot a \cdot c=1^2-4\cdot 0{,}5\cdot (-4)=1+8=9$
$\Rightarrow D>0\leftrightarrow$ $2$ Lösungen
$\Rightarrow x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2\cdot a}=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{1}=\frac{-1\pm 3}{1}=-1 \pm 3$
$\Rightarrow x_{1}=-1-3=-4$
$\Rightarrow x_{2}=-1+3=2$
$\bold {\mathbb{L}=\left\{-4; 2\right\}}$
Lösung der quadratischen Gleichung mithilfe der abc-Formel
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A3
Die nebenstehende Skizze zeigt das
Trapez $BCDE$ . Der Punkt $A$ ist der Schnittpunkt der Geraden $BC$ und $ED$ .
Es gilt: $\vert\overline{BE}\vert=5\;\text{cm}$ ; $\vert\overline{CD}\vert=8\;\text{cm}$ ;
$\vert\overline{BC}\vert=7{,}5\;\text{cm}$ ; $\vert\overline{BE}\vert\parallel\vert\overline{CD}\vert$ .
Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AB}$ . (3 P)

geg.: Trapez $BCDE$ mit $A$ als Schnittpunkt von $BC$ und $ED$
$|\overline{BE}|=5\: cm; \: |\overline {CD}|=8\: cm;\: |\overline {BC}|=7{,}5\: cm; \: |\overline {BE}| \: || \: |\overline {CD}|$
ges.: Länge Strecke $\overline {AB}$
Ansatz und Rechnung:
Streckensatz:
$\frac{|\overline {AB}|}{{|\overline {AB}|}+{|\overline {BC}|}}=\frac{{|\overline {BE}|}}{{|\overline {CD}|}}$
Werte einsetzen:
$\Rightarrow \frac{|\overline {AB}|}{{|\overline {AB}|}+{7{,}5 cm}}=\frac{5cm}{{8cm}}\qquad$
Äquivalenzumformungen und auflösen nach $|\overline {AB}|$ :
$\Rightarrow |\overline {AB}|=(|\overline {AB}|+7{,}5cm) \cdot \frac{5}{8}$
$\Rightarrow |\overline {AB}|=0{,}625\cdot |\overline {AB}|+7{,}5cm \cdot 0{,}625$
$\Rightarrow |\overline {AB}|=0{,}625\cdot |\overline {AB}|+4{,}6875 cm$
$\Rightarrow |\overline {AB}|- 0{,}625\cdot |\overline {AB}|=4{,}6875 cm$
$\Rightarrow 0{,}375 \cdot|\overline {AB}|=4{,}6875 cm$
$\bold {\Rightarrow |\overline {AB}|}=\frac{4{,}6875\:cm}{0{,}375}=\bold {12{,}5\:cm}$
Berechnung der Strecke mithilfe des Streckensatzes
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A4
Für ein Spiel sind Tierbilder in drei Teile zerschnitten worden und können nun entweder wieder zu den ursprünglichen Tieren oder zu Fantasietieren zusammengesetzt werden. Die zusammengesetzten Bilder sind immer in die Bereiche Kopf, Rumpf und Beine unterteilt (vgl. Abbildung).
Im Spiel gibt es folgende Tiere: Kuh, Hase, Löwe, Gans und Tiger.
1. Zeigen Sie rechnerisch, dass $125$ verschiedene Tierbilder erzeugt werden können. (1 P)
  
  geg.: Anzahl Tiere $= 5$ (Kuh, Hase, Löwe, Gans, Tiger) davon Raubtiere $=2$ (Löwe und Tiger); Jedes Tierbild ist in $3$ Teile (Kopf—Rumpf—Beine) zerschnitten
  ges.: Anzahl der erzeugbaren verschiedenen Tierbilder
  Ansatz und Rechnung:
  Berechnung der Größe des Ereignisraumes $\Omega$ :
  Mit $5$ Köpfen, $5$ Rümpfen und $5$ Beinen können somit
  $\bold {|\Omega| =5\cdot5\cdot5=125}$ verschiedene Tierbilder erzeugt werden.
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  Bestimmung des Ereignisraumes Ω
2. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass man bei einer zufällig ausgewählten Kombination ein Fantasietier erhält. (1 P)
  
  Wenn die 5 Möglichkeiten für reale Bilder (Kuh, Hase, Löwe, Gans, Tiger) entfallen, dann berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für eine zufällig ausgewählte Kombination von Fantasie-Tieren mit :
  $\bold {P_{Fantasie-Tiere}=\frac {120}{125}=0{,}96\quad ≙\:96 \% }$
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  Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit, kein Fantasietier zu erhalten.
3. Kreuzen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei einer zufällig ausgewählten
  Kombination ein Bild entsteht, das nur aus Raubtier-Teilen besteht. (1 P)
  $\dfrac{2}{125}$
  $\dfrac{4}{125}$
  $\dfrac{6}{125}$
  $\dfrac{8}{125}$
  $\dfrac{16}{125}$
  $\dfrac{27}{125}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeitsrechnung
  Die Wahrscheinlichkeiten für Kopf, Rumpf und Beinen sind voneinander unabhängig und jeweils $\displaystyle\frac{2}{5}$ , da immer in zwei von fünf Fällen Raubtierteile verwendet werden.
  Daher ist die Wahrscheinlichkeit, ein Bild aus Raubtierteilen zu erhalten
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  Berechnung die Wahrscheinlichkeiten für Kopf, Rumpf und Beine zunächst einzeln.