Aufgaben zur Polynomdivision - lernen mit Serlo!

Führe die Polynomdivision durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

$(x^3+2x^2-x-2):(x-1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(x^3+2x^2-x-2):(x-1)=x^2+3x+2\\\underline{-(x^3-1x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;3x^2-x\\\;\;\;\;\;\underline{-(3x^2-3x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x-2)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Neue Funktion : $f\left(x\right)=x^2+3x+2$

Verbleibende Nullstellen berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+3x+2$
	↓	Gleich $0$ setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+3x+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}$
	↓	Wurzelziehen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm1}{2}$

$x_2=\dfrac{-3+1}2=\dfrac{-2}2=-1$

$x_3=\dfrac{-3-1}2=\dfrac{-4}2=-2$

Faktorisierung

$x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x+1)(x+2)$ ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.

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$(4x^3-4x):(x+1)$

$(\frac23x^3+2x^2-\frac83):(x+2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\;\;(\dfrac23x^3+2x^2-\dfrac83):(x+2)=\dfrac23x^2+\dfrac23x-\dfrac43\\\underline{-(\dfrac23x^3+\dfrac43x^2)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac23x^2-\dfrac83\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(\dfrac23x^2+\dfrac43x)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\dfrac43x-\dfrac83\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-\dfrac43x-\dfrac83)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Nullstellenberechnung

$\displaystyle \dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{2}{3}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)}}{\dfrac{4}{3}}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{2}{3}\pm\sqrt{\dfrac{36}{9}}}{\dfrac{4}{3}}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{2}{3}\pm\dfrac{6}{3}}{\dfrac{4}{3}}$

$x_2=1$

$x_3=-2$

$\dfrac23x^3+2x^2-\dfrac83=\dfrac23(x+2)^2(x-1)$ ist die Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktorzerlegung des Terms. Dieser hat für $x=-2$ eine doppelte Nullstelle.

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$(x^4-8x^2-9):(x-3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(x^4-8x^2-9):(x-3)=x^3+3x^2+x+3\\\underline{-(x^4-3x^3)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;3x^3-8x^2\\\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x^3-9x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-9\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2-3x)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-9\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-9)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
$\Rightarrow$ Neue Funktion: $f\left(x\right)=x^3+3x^2+x+3$
Als ganzzahlige Nullstellen des Terms $x^3+3x^2+x+3$ kommen nur die Teiler des konstanten Gliedes $3$ in Frage.
Also die vier Zahlen: $\pm1,\pm3$ .
Einsetzen ergibt $f(-3)=-28+27-3+3=0$ . Daneben erhält man: $f(\pm1) \neq0$ und $f(+3) \neq0$ .
$x=-3$ ist also die einzige ganzzahlige Nullstelle.
Somit muss die Polynomdivision $f(x):(x+3)$ aufgehen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(x^3+3x^2+x+3):(x+3)=x^2+1\\\underline{-(x^3+3x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x+3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x+3)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
$\Rightarrow$ Neue Funktion: $f\left(x\right)=x^2+1$
Verbleibende Nullstellen berechnen
$\displaystyle x^2+1$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -1$
$\displaystyle x^2$ $=$ $\displaystyle -1$
$\Rightarrow$ keine weiteren Nullstellen , da nicht lösbar in $\mathbb{R}$ .
Für den ursprünglichen Funktionsterm $x^4-8x^2-9$ erhält man somit die folgende Faktorisierung mit zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor.
$x^4-8x^2-9=(x-3)(x+3)(x^2+1)$
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$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 4x^2-4x$
	↓	Gleich $0$ setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4x^2-4x+0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot4\cdot0}}{2\cdot4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm\sqrt{16}}{8}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm4}{8}$

$\displaystyle x^2+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle -1$