Aufgaben zum Rechnen mit e und ln

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Forme um.

$e^{\ln(2k)}-2k\cdot e^{\ln(2)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung von Potenzgesetzen

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$\ln(e^2)-3\cdot\ln\left(\frac e2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

$\displaystyle \ln(e^2)-3\cdot\ln\left(\frac{e}{2}\right)$	$=$
	↓	Potenzregel und Quotientenregel für Logarithmus anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\ln\left(e\right)-3\left[\ln\left(e\right)-\ln\left(2\right)\right]$
	↓	$\ln(e)=1$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot1-3\left[1-\ln\left(2\right)\right]$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 2-3+3\cdot\ln\left(2\right)$
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\ln(2)-1$

$\ln(2e^2)+\ln\left(\frac e2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

$\displaystyle \ln(2e^2)+\ln\left(\frac{e}{2}\right)$	$=$
	↓	Produktregel und Quotientenregel für Logarithmus anwenden.
	$=$	$\displaystyle \ln(2)+\ln(e^2)+\ln(e)-\ln(2)$
	↓	Potenzregel für Logarithmus anwenden.
	$=$	$\displaystyle \ln\left(2\right)+2\cdot\ln\left(e\right)+\ln\left(e\right)-\ln\left(2\right)$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\ln\left(e\right)$
	↓	Benutze $\ln\left(\mathrm e\right)=1$ .
	$=$	$\displaystyle 3$

$e^{\ln(k)+1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze

$\frac23e^{-\ln\left(\frac34k\right)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

$\displaystyle \frac{2}{3}e^{-\ln\left(\frac{3}{4}k\right)}$	$=$
	↓	Quotientenregel für Logarithmus anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac23\cdot\frac1{e^{\ln\left({\displaystyle\frac34}k\right)}}$
	↓	Division von Brüchen.
	$=$	$\displaystyle \frac23\cdot\frac1{{\displaystyle\frac34}k}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3k}$
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{9k}$