Lösung zur Teilaufgabe a

Schrägbild der Pyramide

Im ersten Schritt zeichnest du die Strecke $[AB]$ und legst an diese Strecke im Punkt $A$ den Winkel $\omega ={45}^{\circ }$ an. Zeichne nun an diesen Winkel die Strecke $[AD]$ an. Die Strecke $[AD]$ hat in deiner Zeichnung die Länge $4cm$, da der Streckungsfaktor $${\displaystyle q=\frac{1}{2}}$$ ist.

Im nächsten Schritt zeichnest du die Strecke $[DC]$ parallel zur Strecke $[AB]$ und $[BC]$ parallel zu $[AD]$ ein. Außerdem zeichnest du $E$, den Mittelpunkt der Strecke $[AD]$, mithilfe der Mittelsenkrechten. Zudem zeichnest du $F$, den Mittelpunkt der Strecke $[BC]$, ein.

Danach zeichnest du die Strecke $\overline{ES}=\mathrm{5,5}cm$ ein. Diese steht senkrecht auf der Strecke $[EF]$ und hat in der Abbildung keine Streckung oder Stauchung, da sie parallel zur Bildebene verläuft. Im letzten Schritt verbindest du alle Eckpunkte der Grundfläche ($A,B,C,D$) mit der Spitze $S$.

Länge der Strecke $\overline{FS}$

Außerdem ist die Länge der Strecke $\overline{FS}$ gesucht.

Diese berechnest du mithilfe vom Satz des Pythagoras und dem rechtwinkligen Dreieck $EFS$, wobei $[FS]$ die Hypotenuse ist.

Die Länge der Strecke $[FS]$ beträgt $\mathrm{8,51}cm$.

Maß des Winkels SFE

Bei der Berechnung des Winkels sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens hilfreich.

$${\displaystyle tan\alpha =\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{\overline{SE}}{\overline{EF}}=\frac{\mathrm{5,5}cm}{\mathrm{6,5}cm}=\frac{\mathrm{5,5}}{\mathrm{6,5}}}$$

$${\displaystyle \alpha ={\tan }^{-1}(\frac{\mathrm{5,5}}{\mathrm{6,5}})\approx {\mathrm{40,24}}^{\circ }}$$

Das Maß des Winkel $SFE$ beträgt also ungefähr ${\mathrm{40,24}}^{\circ }$.

Lösung zur Teilaufgabe b

Einzeichnen der Pyramide $BCG{P}_1$

Im ersten Schritt zeichnest du den Punkt G in deine Zeichnung ein. Es ist gegeben, dass $G$ auf der Strecke $[EF]$ liegt und zusätzlich ist gegeben, dass die Strecke $[EG]$ die Länge $3cm$ hat. Das heißt $G$ liegt auf $[EF]$ und hat von $E$ den Abstand $3cm$.

Im zweiten Schritt legst du an die Strecke $[GF]$ im Punkt $G$ den Winkel $\phi ={110}^{\circ }$ an und zeichnest an diesen Winkel die Strecke $[G{P}_1]$, wobei der Punkt $P_1$ auf der Strecke $[FS]$ liegt.

Somit hast du alle Eckpunkte der Pyramide, nun musst du nur noch diese Punkte verbinden. Zeichnen also die Kanten $BG,GC,G{P}_1,B{P}_1,$ und $C{P}_1$ ein.

Zuletzt zeichnest du noch die Höhe der Pyramide $BCG{P}_1$ in deine Zeichnung ein. Dazu fällst du das Lot von der Spitze der Teilpyramide $P_1$ auf die Strecke $[EF]$ und erhältst somit die Höhe $h_1$.

Das rote Körper in der Abbildung stellt die Pyramide $BCG{P}_1$ dar.

Lösung zur Teilaufgabe c

Obere Grenze von $\phi$

Der Winkel $\phi$ ist der Winkel $\sphericalangle FG{P}_n$ und den größten Winkel $\phi$ erhält man, wenn $P_n=S$ ist, also gilt für die obere Grenze der Winkel $\sphericalangle FGS$. Das kannst du ausprobieren, indem du den Schieberegler in dem obigen Applet bewegst.

Nun musst du den Winkel $\sphericalangle FGS$ bestimmen. Aus Teilaufgabe b) weißt du, dass $\phi \in ]0^{\circ };{\mathrm{118,61}}^{\circ }[$, das heißt $\phi$ hat die obere Grenze ${\mathrm{118,61}}^{\circ }$. Und da die obere Grenze von $\phi$ dem Winkel $\sphericalangle FGS$ entspricht, musst du nur noch nachrechnen, dass $\sphericalangle FGS={\mathrm{118,61}}^{\circ }$ ist.

Dafür nutzt du die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Außerdem ist der Winkel $\sphericalangle FGS$ der Nebenwinkel von $\sphericalangle SGE$ und deshalb gilt für $\sphericalangle FGS={180}^{\circ }-\sphericalangle SGE$. Im Folgenden wird der Winkel $\sphericalangle SGE$ als $\beta$ bezeichnet.

$${\displaystyle tan\beta =\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{\mathrm{5,5}cm}{3cm}=\frac{11}{6}}$$

$${\displaystyle \beta ={\tan }^{-1}\left(\frac{11}{6}\right)\approx {\mathrm{61,39}}^{\circ }}$$

Nun bestimmst du $\sphericalangle FGS$, den Nebenwinkel von $\beta$, indem du $180°-\beta$ rechnest.

$\sphericalangle FGS={180}^{\circ }-\beta ={180}^{\circ }-{\mathrm{61,39}}^{\circ }={\mathrm{118,61}}^{\circ }$

Somit ist die obere Intervallgrenze von $\phi ={\mathrm{118,61}}^{\circ }$.

Lösung zur Teilaufgabe d

Länge der Strecke $\overline{G{P}_n}$

Zur Bestimmung der Länge der Strecke $\overline{G{P}_n}$ nimmst du den Sinussatz zu Hilfe. Mithilfe dessen stellst du folgende Gleichung auf:

$${\displaystyle \frac{\overline{G{P}_n}}{\sphericalangle P_{n}FG}=\frac{\overline{GF}}{\sphericalangle G{P}_{n}F}}$$

Nun setzt du Schritt für Schritt ein. Und formst anschließend nach $\overline{G{P}_n}$ um.

Der Winkel $\sphericalangle SFE$ entspricht dem Winkel $\sphericalangle P_{n}FG$ und deshalb gilt: $\sphericalangle SFE=\sphericalangle P_{n}FG={\mathrm{40,24}}^{\circ }$.

$${\displaystyle \frac{\overline{G{P}_n}}{{\mathrm{40,24}}^{\circ }}=\frac{\overline{GF}}{\sphericalangle G{P}_{n}F}}$$

Die Strecke $\overline{GF}$ ist einfach $\overline{EF}-\overline{EG}=\mathrm{6,5}cm-3cm=\mathrm{3,5}cm$.

$${\displaystyle \frac{\overline{G{P}_n}}{{\mathrm{40,24}}^{\circ }}=\frac{\mathrm{3,5}cm}{\sphericalangle G{P}_{n}F}}$$

Nun bestimmst du noch den Winkel $\sphericalangle G{P}_{n}F$ in Abhängigkeit von $\phi$. Dafür nutzt du, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer $180°$ ist. Deshalb ist der Winkel $\sphericalangle G{P}_{n}F$ gegeben durch $\sphericalangle G{P}_{n}F={180}^{\circ }-\sphericalangle P_{n}FG-\phi ={180}^{\circ }-{\mathrm{40,24}}^{\circ }-\phi$.

$${\displaystyle \frac{\overline{G{P}_n}}{\sin ({\mathrm{40,24}}^{\circ })}=\frac{\mathrm{3,5}cm}{\sin ({180}^{\circ }-{\mathrm{40,24}}^{\circ }-\phi )}}$$

Nun multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit $sin({\mathrm{40,24}}^{\circ })$ und rundest auf Zweinachkommastellen .

$${\displaystyle \overline{G{P}_n}=\frac{\mathrm{2,26}cm}{\sin ({180}^{\circ }-{\mathrm{40,24}}^{\circ }-\phi )}}$$

Außerdem gilt $sin(\alpha )=sin({180}^{\circ }-\alpha )$. Deshalb klammerst du im nächsten Schritt ${180}^{\circ }-\alpha$ aus und erhältst:

$${\displaystyle \overline{G{P}_n}=\frac{\mathrm{2,26}cm}{\sin ({180}^{\circ }-({\mathrm{40,24}}^{\circ }+\phi ))}}$$

Nun wendest du noch $sin(\alpha )=sin({180}^{\circ }-\alpha )$ an. Das heißt du kannst das ${180}^{\circ }-$ einfach weglassen.

$${\displaystyle \overline{G{P}_n}=\frac{\mathrm{2,26}cm}{\sin ({\mathrm{40,24}}^{\circ }+\phi )}}$$

Somit hast du gezeigt, dass die Länge der Strecke $${\displaystyle \overline{G{P}_n}=\frac{\mathrm{2,26}cm}{\sin ({\mathrm{40,24}}^{\circ }+\phi )}}$$ ist.

Lösung zur Teilaufgabe e

Volumen der Pyramide $BCG{P}_n$

Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.

Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch $${\displaystyle V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}$$

Grundfläche der Pyramide $BCG{P}_n$

Das obige Schrägbild entspricht der Lösung aus Teilaufgabe b).

Die Grundfläche unserer Pyramide ist das Dreieck $BCG$. Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich berechnen durch $${\displaystyle A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h}$$

Als Grundlinie $g$ legst du die Strecke $\overline{BC}=8cm$ fest und als Höhe $h$ die Strecke $\overline{GF}=\mathrm{3,5}cm$. Diese setzt du nun in die Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks ein:

$${\displaystyle A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h=\frac{1}{2}\cdot \overline{BC}\cdot \overline{GF}=\frac{1}{2}\cdot 8cm\cdot \mathrm{3,5}cm=14c{m}^2}$$

Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide $BCG{P}_n$ ist $14c{m}^2$.

Die Höhe der Pyramide $BCG{P}_n$

Die Höhe der Pyramide ist die Strecke $[P_n{L}_n]$. Diese bestimmst du mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Die Strecke $[L_n{P}_n]$ bestimmst du mit $${\displaystyle sin(\beta )=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}}$$, wobei die Gegenkathete die Strecke $[P_n{L}_n]$ ist und $[G{P}_n]$ die Hypotenuse ist. Außerdem ist der Winkel $\beta$ Nebenwinkel von $\phi$ und somit gilt: $\beta ={180}^{\circ }-\phi$.

$${\displaystyle sin(\beta )=sin(180-\phi )=\frac{\overline{P_n{L}_n}}{\overline{G{P}_n}}}$$

Nun stellst du die Gleichung so um, dass $P_n{L}_n$ auf einer Seite steht und setzt anschließend ein.

Die Höhe der Pyramide ist $${\displaystyle h=\sin (\phi )\cdot \frac{\mathrm{2,26}}{\sin (\phi +{\mathrm{40,24}}^{\circ })}cm}$$.

Volumen der Pyramide

Nun setzt du die einzelnen Teilergebnisse in die Formel für das Volumen der Pyramide ein.

$${\displaystyle V_{Pyramide}(\phi )=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}$$

$${\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot 14c{m}^2\cdot \sin (\phi )\cdot \frac{\mathrm{2,26}}{\sin (\phi +{\mathrm{40,24}}^{\circ })}cm}$$

$${\displaystyle =\mathrm{10,55}\cdot \frac{\sin (\phi )}{\sin (\phi +{\mathrm{40,24}}^{\circ })}c{m}^3}$$

Das Volumen der Pyramide $BCG{P}_n$ in Abhängigkeit von $\phi$ ist $${\displaystyle V_{Pyramide}(\phi )=\mathrm{10,55}\cdot \frac{\sin (\phi )}{\sin (\phi +{\mathrm{40,24}}^{\circ })}c{m}^3}$$.

Lösung zur Teilaufgabe f

Prozentuale Anteil von $BCG{P}_2$ an $ABCDS$

Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.

Das Volumen der Pyramide ABCDS hat das Volumen $\mathrm{95,33}c{m}^3$.

Volumen der Pyramide $BCG{P}_2$

Gegeben ist, dass das $GF{P}_2$ ein gleichschenkliges Dreieck ist. Deshalb ist der Winkel $\sphericalangle P_{2}FG=\sphericalangle G{P}_{2}F={\mathrm{40,24}}^{\circ }$.

Nun berechnest du $\phi$ mithilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck. $\phi ={180}^{\circ }-\sphericalangle P_{2}FG-\sphericalangle G{P}_{2}F={180}^{\circ }-{\mathrm{40,24}}^{\circ }-{\mathrm{40,24}}^{\circ }={\mathrm{99,52}}^{\circ }$

Nun nutzt die Ergebnisse aus Teilaufgabe e). Dort hast du festgestellt, dass das Volumen in Abhängigkeit von $\phi$ ist:

$${\displaystyle V(\phi )=\frac{\mathrm{10,55}\cdot \sin (\phi )}{\sin (\phi +{\mathrm{40,24}}^{\circ })}c{m}^3}$$

$${\displaystyle V_{BCG{P}_2}=V({\mathrm{99,52}}^{\circ })=\frac{\mathrm{10,55}\cdot \sin ({\mathrm{99,52}}^{\circ })}{\sin ({\mathrm{99,52}}^{\circ }+{\mathrm{40,24}}^{\circ })}c{m}^3\approx \mathrm{16,11}c{m}^3}$$

Das Volumen der Pyramide $BCG{P}_2$ beträgt ungefähr $\mathrm{16,11}c{m}^3$.

Prozentualer Anteil

Gesucht ist der Prozentsatz $p$. Diesen erhältst du, indem du den Prozentwert $W$ durch den Grundwert $G$ teilst.

$${\displaystyle p=\frac{W}{G}=\frac{V_{BCG{P}_2}}{V_{ABCDS}}=\frac{\mathrm{16,11}c{m}^3}{\mathrm{95,33}c{m}^3}\approx \mathrm{0,1690}=\mathrm{16,90}\%}$$

Das Volumen der Pyramide $BCG{P}_2$ nimmt circa $\mathrm{16,90}\%$ des Volumens der Pyramide $ABCDS$ ein.