Lösung zur Teilaufgabe a

Schrägbild der Pyramide

Im ersten Schritt zeichnest du die Strecke $[AB]$ und legst an diese Strecke im Punkt $A$ den Winkel $\omega=45^\circ$ an. Zeichne nun an diesen Winkel die Strecke $[AD]$ an. Die Strecke $[AD]$ hat in deiner Zeichnung die Länge $4\;cm$, da der Streckungsfaktor $\displaystyle q=\frac12$ ist.

Im nächsten Schritt zeichnest du die Strecke $[DC]$ parallel zur Strecke $[AB]$ und $[BC]$ parallel zu $[AD]$ ein. Außerdem zeichnest du $E$, den Mittelpunkt der Strecke $[AD]$, mithilfe der Mittelsenkrechten. Zudem zeichnest du $F$, den Mittelpunkt der Strecke $[BC]$, ein.

Danach zeichnest du die Strecke $\overline{ES}=5{,}5\;cm$ ein. Diese steht senkrecht auf der Strecke $[EF]$ und hat in der Abbildung keine Streckung oder Stauchung, da sie parallel zur Bildebene verläuft. Im letzten Schritt verbindest du alle Eckpunkte der Grundfläche ($A, B, C, D$) mit der Spitze $S$.

Länge der Strecke $\overline{FS}$

Außerdem ist die Länge der Strecke $\overline{FS}$ gesucht.

Diese berechnest du mithilfe vom Satz des Pythagoras und dem rechtwinkligen Dreieck $EFS$, wobei $[FS]$ die Hypotenuse ist.

Die Länge der Strecke $[FS]$ beträgt $8{,}51\;cm$.

Maß des Winkels SFE

Bei der Berechnung des Winkels sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens hilfreich.

$\displaystyle tan\;\alpha\;=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{\overline{SE}}{\overline{EF}}=\frac{5{,}5\;cm}{6{,}5\;cm}\;=\frac{5{,}5}{6{,}5}$

$\displaystyle \alpha\;=\;\tan^{-1}(\frac{5{,}5}{6{,}5})\;\approx\;40{,}24^\circ$

Das Maß des Winkel $SFE$ beträgt also ungefähr $40{,}24^\circ$.

Lösung zur Teilaufgabe b

Einzeichnen der Pyramide $BCGP_1$

Im ersten Schritt zeichnest du den Punkt G in deine Zeichnung ein. Es ist gegeben, dass $G$ auf der Strecke $[EF]$ liegt und zusätzlich ist gegeben, dass die Strecke $[EG]$ die Länge $3\;cm$ hat. Das heißt $G$ liegt auf $[EF]$ und hat von $E$ den Abstand $3\;cm$.

Im zweiten Schritt legst du an die Strecke $[GF]$ im Punkt $G$ den Winkel $\varphi\;=\;110^\circ$ an und zeichnest an diesen Winkel die Strecke $[GP_1]$, wobei der Punkt $P_1$ auf der Strecke $[FS]$ liegt.

Somit hast du alle Eckpunkte der Pyramide, nun musst du nur noch diese Punkte verbinden. Zeichnen also die Kanten $BG,\;GC,\;GP_1,\;BP_1,$ und $\; CP_1$ ein.

Zuletzt zeichnest du noch die Höhe der Pyramide $BCGP_1$ in deine Zeichnung ein. Dazu fällst du das Lot von der Spitze der Teilpyramide $P_1$ auf die Strecke $[EF]$ und erhältst somit die Höhe $h_1$.

Das rote Körper in der Abbildung stellt die Pyramide $BCGP_1$ dar.

Lösung zur Teilaufgabe c

Obere Grenze von $\varphi$

Der Winkel $\varphi$ ist der Winkel $\sphericalangle FGP_n$ und den größten Winkel $\varphi$ erhält man, wenn $P_n\; =\;S\;$ ist, also gilt für die obere Grenze der Winkel $\sphericalangle FGS$. Das kannst du ausprobieren, indem du den Schieberegler in dem obigen Applet bewegst.

Nun musst du den Winkel $\sphericalangle FGS$ bestimmen. Aus Teilaufgabe b) weißt du, dass $\varphi\;\in\;\rbrack0^\circ;118{,}61^\circ\lbrack$, das heißt $\varphi\;$ hat die obere Grenze $118{,}61^\circ$. Und da die obere Grenze von $\varphi$ dem Winkel $\sphericalangle FGS$ entspricht, musst du nur noch nachrechnen, dass $\sphericalangle FGS = 118{,}61^\circ$ ist.

Dafür nutzt du die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Außerdem ist der Winkel $\sphericalangle FGS$ der Nebenwinkel von $\sphericalangle SGE$ und deshalb gilt für $\sphericalangle FGS=180^\circ\;-\sphericalangle SGE$. Im Folgenden wird der Winkel $\sphericalangle SGE$ als $\beta$ bezeichnet.

$\displaystyle tan\beta\;=\;\frac{Gegenkathete}{Ankathete}\;=\;\frac{5{,}5\;cm}{3\;cm}=\:\frac{11}6$

$\displaystyle \beta\;=\;\tan^{-1}\left(\frac{11}6\right)\;\approx\;61{,}39^\circ$

Nun bestimmst du $\sphericalangle FGS\;$, den Nebenwinkel von $\beta$, indem du $180°-\beta$ rechnest.

$\sphericalangle FGS\; = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 61{,}39^\circ = 118{,}61^\circ$

Somit ist die obere Intervallgrenze von $\varphi = 118{,}61^\circ$.

Lösung zur Teilaufgabe d

Länge der Strecke $\overline{GP_n}$

Zur Bestimmung der Länge der Strecke $\overline{GP_n}$ nimmst du den Sinussatz zu Hilfe. Mithilfe dessen stellst du folgende Gleichung auf:

$\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{\sphericalangle P_nFG}\;=\;\frac{\overline{GF}}{\sphericalangle GP_nF}$

Nun setzt du Schritt für Schritt ein. Und formst anschließend nach $\overline{GP_n}$ um.

Der Winkel $\sphericalangle SFE$ entspricht dem Winkel $\sphericalangle P_nFG$ und deshalb gilt: $\sphericalangle SFE = \sphericalangle P_nFG = 40{,}24^\circ$.

$\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{40{,}24^\circ}\;=\;\frac{\overline{GF}}{\sphericalangle GP_nF}$

Die Strecke $\overline{GF}$ ist einfach $\overline{EF}-\overline{EG} = 6{,}5\;cm-3\;cm = 3{,}5\;cm$.

$\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{40{,}24^\circ}\;=\;\frac{3{,}5\;cm}{\sphericalangle GP_nF}$

Nun bestimmst du noch den Winkel $\sphericalangle GP_nF$ in Abhängigkeit von $\varphi$. Dafür nutzt du, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer $180°$ ist. Deshalb ist der Winkel $\sphericalangle GP_nF$ gegeben durch $\sphericalangle GP_nF\;=\;180^\circ-\;\sphericalangle P_nFG\;-\;\varphi = 180^\circ- 40{,}24^\circ-\varphi$.

$\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{\sin(40{,}24^\circ)}\;=\;\frac{3{,}5\;cm\;}{\sin(180^\circ-40{,}24^\circ-\varphi)}$

Nun multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit $sin(40{,}24^\circ)$ und rundest auf Zweinachkommastellen .

$\displaystyle\overline{GP_n}\;=\;\frac{2{,}26\;cm\;}{\sin(180^\circ-40{,}24^\circ-\varphi)}$

Außerdem gilt $sin(α)=sin(180^\circ -α)$. Deshalb klammerst du im nächsten Schritt $180^\circ-\alpha$ aus und erhältst:

$\displaystyle \overline{GP_n}\;=\;\frac{2{,}26\;cm\;}{\sin(180^\circ-(40{,}24^\circ+\varphi))}$

Nun wendest du noch $sin(α)=sin(180^\circ−α)$ an. Das heißt du kannst das $180^\circ-$ einfach weglassen.

$\displaystyle \overline{GP_n}\;=\;\frac{2{,}26\;cm\;}{\sin(40{,}24^\circ+\varphi)}$

Somit hast du gezeigt, dass die Länge der Strecke $\displaystyle \overline{GP_n}\;=\;\frac{2{,}26\;cm\;}{\sin(40{,}24^\circ+\varphi)}$ ist.

Lösung zur Teilaufgabe e

Volumen der Pyramide $BCGP_n$

Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.

Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch $\displaystyle V_{Pyramide}=\frac13\cdot\;G\;\cdot h$

Grundfläche der Pyramide $BCGP_n$

Das obige Schrägbild entspricht der Lösung aus Teilaufgabe b).

Die Grundfläche unserer Pyramide ist das Dreieck $BCG$. Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich berechnen durch $\displaystyle A_{Dreieck}\;=\;\frac12\;\cdot\;g\;\cdot\;h$

Als Grundlinie $g$ legst du die Strecke $\overline{BC}=8\;cm$ fest und als Höhe $h$ die Strecke $\overline{GF}=\;3{,}5\;cm$. Diese setzt du nun in die Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks ein:

$\displaystyle A_{Dreieck}\;=\;\frac12\;\cdot\;g\;\cdot\;h\;=\frac12\;\cdot\;\overline{BC}\;\cdot\;\overline{GF}\;=\:\frac12\;\cdot\;8\;cm\;\cdot\;3{,}5\;cm\;=\;14\;cm^2$

Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide $BCGP_n$ ist $14\;cm^2$.

Die Höhe der Pyramide $BCGP_n$

Die Höhe der Pyramide ist die Strecke $[P_nL_n]$. Diese bestimmst du mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Die Strecke $[L_nP_n]$ bestimmst du mit $\displaystyle sin(\beta)\;=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$, wobei die Gegenkathete die Strecke $[P_nL_n]$ ist und $[GP_n]$ die Hypotenuse ist. Außerdem ist der Winkel $\beta$ Nebenwinkel von $\varphi$ und somit gilt: $\beta\;=\;180^\circ-\varphi$.

$\displaystyle sin(\beta)\;=\;sin(180-\varphi)\;=\;\frac{\overline{P_nL_n}}{\overline{GP_n}}$

Nun stellst du die Gleichung so um, dass $P_nL_n$ auf einer Seite steht und setzt anschließend ein.

Die Höhe der Pyramide ist $\displaystyle h\;=\sin(\varphi)\;\cdot\;\frac{2{,}26}{\sin(\varphi\;+\;40{,}24^\circ)}\;cm$.

Volumen der Pyramide

Nun setzt du die einzelnen Teilergebnisse in die Formel für das Volumen der Pyramide ein.

$\displaystyle V_{Pyramide}(\varphi)\;=\frac13\cdot\;G\;\cdot h\;$

$\displaystyle =\;\frac13\;\cdot\;14\;cm^2\;\cdot\;\sin(\varphi)\;\cdot\;\frac{2{,}26}{\sin(\varphi\;+\;40{,}24^\circ)}\;cm$

$\displaystyle =\;10{,}55\;\cdot\;\frac{\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+40{,}24^\circ)}\;cm^3$

Das Volumen der Pyramide $BCGP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ ist $\displaystyle V_{Pyramide}(\varphi)\;=\;10{,}55\;\cdot\;\frac{\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+40{,}24^\circ)}\;cm^3$.

Lösung zur Teilaufgabe f

Prozentuale Anteil von $BCGP_2$ an $ABCDS$

Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.

Das Volumen der Pyramide ABCDS hat das Volumen $95{,}33\;cm^3$.

Volumen der Pyramide $BCGP_2$

Gegeben ist, dass das $GFP_2$ ein gleichschenkliges Dreieck ist. Deshalb ist der Winkel $\sphericalangle P_2FG\;=\;\sphericalangle GP_2F\;=\;40{,}24^\circ$.

Nun berechnest du $\varphi$ mithilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck. $\varphi\;=\:180^\circ\;-\;\sphericalangle P_2FG\;-\sphericalangle GP_2F\;=\:180^\circ\;-\;40{,}24^\circ\;-\;40{,}24^\circ\;=\:99{,}52^\circ$

Nun nutzt die Ergebnisse aus Teilaufgabe e). Dort hast du festgestellt, dass das Volumen in Abhängigkeit von $\varphi$ ist:

$\displaystyle V(\varphi)=\;\frac{10{,}55\;\cdot\;\sin(\varphi)}{\sin(\varphi\;+\;40{,}24^\circ)}\;cm^3$

$\displaystyle V_{BCGP_2}\;=\:V(99{,}52^\circ)=\;\frac{10{,}55\;\cdot\;\sin(99{,}52^\circ)}{\sin(99{,}52^\circ\;+\;40{,}24^\circ)}\;cm^3\approx\;16{,}11\;cm^3$

Das Volumen der Pyramide $BCGP_2$ beträgt ungefähr $16{,}11\;cm^3$.

Prozentualer Anteil

Gesucht ist der Prozentsatz $p$. Diesen erhältst du, indem du den Prozentwert $W$ durch den Grundwert $G$ teilst.

$\displaystyle p=\;\frac WG\;=\;\frac{V_{BCGP_2}}{V_{ABCDS}}\;=\:\frac{16{,}11\;cm^3}{95{,}33\;cm^3}\;\approx\;0{,}1690\;=\;16{,}90\%$

Das Volumen der Pyramide $BCGP_2$ nimmt circa $16{,}90\%$ des Volumens der Pyramide $ABCDS$ ein.