Lösung zur Teilaufgabe a

Schrägbild der Pyramide

Im ersten Schritt zeichnest du die Strecke $[AB][AB]$ und legst an diese Strecke im Punkt $AA$ den Winkel $\omega ={45}^{\circ }\backslash omega=45^\backslash circ$ an. Zeichne nun an diesen Winkel die Strecke $[AD][AD]$ an. Die Strecke $[AD][AD]$ hat in deiner Zeichnung die Länge $4cm4\backslash ;cm$, da der Streckungsfaktor ${\displaystyle q=\frac{1}{2}}\backslash displaystyle\; q=\backslash frac12$ ist.

Im nächsten Schritt zeichnest du die Strecke $[DC][DC]$ parallel zur Strecke $[AB][AB]$ und $[BC][BC]$ parallel zu $[AD][AD]$ ein. Außerdem zeichnest du $EE$, den Mittelpunkt der Strecke $[AD][AD]$, mithilfe der Mittelsenkrechten. Zudem zeichnest du $FF$, den Mittelpunkt der Strecke $[BC][BC]$, ein.

Danach zeichnest du die Strecke $\overline{ES}=\mathrm{5,5}cm\backslash overline\{ES\}=5\{,\}5\backslash ;cm$ ein. Diese steht senkrecht auf der Strecke $[EF][EF]$ und hat in der Abbildung keine Streckung oder Stauchung, da sie parallel zur Bildebene verläuft. Im letzten Schritt verbindest du alle Eckpunkte der Grundfläche ($A,B,C,DA,\; B,\; C,\; D$) mit der Spitze $SS$.

Länge der Strecke $\overline{FS}\backslash overline\{FS\}$

Außerdem ist die Länge der Strecke $\overline{FS}\backslash overline\{FS\}$ gesucht.

Diese berechnest du mithilfe vom Satz des Pythagoras und dem rechtwinkligen Dreieck $EFSEFS$, wobei $[FS][FS]$ die Hypotenuse ist.

Die Länge der Strecke $[FS][FS]$ beträgt $\mathrm{8,51}cm8\{,\}51\backslash ;cm$.

Maß des Winkels SFE

Bei der Berechnung des Winkels sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens hilfreich.

${\displaystyle tan\alpha =\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{\overline{SE}}{\overline{EF}}=\frac{\mathrm{5,5}cm}{\mathrm{6,5}cm}=\frac{\mathrm{5,5}}{\mathrm{6,5}}}\backslash displaystyle\; tan\backslash ;\backslash alpha\backslash ;=\backslash frac\{Gegenkathete\}\{Ankathete\}=\backslash frac\{\backslash overline\{SE\}\}\{\backslash overline\{EF\}\}=\backslash frac\{5\{,\}5\backslash ;cm\}\{6\{,\}5\backslash ;cm\}\backslash ;=\backslash frac\{5\{,\}5\}\{6\{,\}5\}$

${\displaystyle \alpha ={\tan }^{-1}(\frac{\mathrm{5,5}}{\mathrm{6,5}})\approx {\mathrm{40,24}}^{\circ }}\backslash displaystyle\; \backslash alpha\backslash ;=\backslash ;\backslash tan^\{-1\}(\backslash frac\{5\{,\}5\}\{6\{,\}5\})\backslash ;\backslash approx\backslash ;40\{,\}24^\backslash circ$

Das Maß des Winkel $SFESFE$ beträgt also ungefähr ${\mathrm{40,24}}^{\circ }40\{,\}24^\backslash circ$.

Lösung zur Teilaufgabe b

Einzeichnen der Pyramide $BCG{P}_{1}BCGP\_1$

Im ersten Schritt zeichnest du den Punkt G in deine Zeichnung ein. Es ist gegeben, dass $GG$ auf der Strecke $[EF][EF]$ liegt und zusätzlich ist gegeben, dass die Strecke $[EG][EG]$ die Länge $3cm3\backslash ;cm$ hat. Das heißt $GG$ liegt auf $[EF][EF]$ und hat von $EE$ den Abstand $3cm3\backslash ;cm$.

Im zweiten Schritt legst du an die Strecke $[GF][GF]$ im Punkt $GG$ den Winkel $\phi ={110}^{\circ }\backslash varphi\backslash ;=\backslash ;110^\backslash circ$ an und zeichnest an diesen Winkel die Strecke $[G{P}_1][GP\_1]$, wobei der Punkt $P_{1}P\_1$ auf der Strecke $[FS][FS]$ liegt.

Somit hast du alle Eckpunkte der Pyramide, nun musst du nur noch diese Punkte verbinden. Zeichnen also die Kanten $BG,GC,G{P}_1,B{P}_1,BG,\backslash ;GC,\backslash ;GP\_1,\backslash ;BP\_1,$ und $C{P}_1\backslash ;\; CP\_1$ ein.

Zuletzt zeichnest du noch die Höhe der Pyramide $BCG{P}_{1}BCGP\_1$ in deine Zeichnung ein. Dazu fällst du das Lot von der Spitze der Teilpyramide $P_{1}P\_1$ auf die Strecke $[EF][EF]$ und erhältst somit die Höhe $h_{1}h\_1$.

Das rote Körper in der Abbildung stellt die Pyramide $BCG{P}_{1}BCGP\_1$ dar.

Lösung zur Teilaufgabe c

Obere Grenze von $\phi \backslash varphi$

Der Winkel $\phi \backslash varphi$ ist der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }FG{P}_n\backslash sphericalangle\; FGP\_n$ und den größten Winkel $\phi \backslash varphi$ erhält man, wenn $P_n=SP\_n\backslash ;\; =\backslash ;S\backslash ;$ ist, also gilt für die obere Grenze der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }FGS\backslash sphericalangle\; FGS$. Das kannst du ausprobieren, indem du den Schieberegler in dem obigen Applet bewegst.

Nun musst du den Winkel $\mathrm{\sphericalangle }FGS\backslash sphericalangle\; FGS$ bestimmen. Aus Teilaufgabe b) weißt du, dass $\phi \in ]0^{\circ };{\mathrm{118,61}}^{\circ }[\backslash varphi\backslash ;\backslash in\backslash ;\backslash rbrack0^\backslash circ;118\{,\}61^\backslash circ\backslash lbrack$, das heißt $\phi \backslash varphi\backslash ;$ hat die obere Grenze ${\mathrm{118,61}}^{\circ }118\{,\}61^\backslash circ$. Und da die obere Grenze von $\phi \backslash varphi$ dem Winkel $\mathrm{\sphericalangle }FGS\backslash sphericalangle\; FGS$ entspricht, musst du nur noch nachrechnen, dass $\mathrm{\sphericalangle }FGS={\mathrm{118,61}}^{\circ }\backslash sphericalangle\; FGS\; =\; 118\{,\}61^\backslash circ$ ist.

Dafür nutzt du die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Außerdem ist der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }FGS\backslash sphericalangle\; FGS$ der Nebenwinkel von $\mathrm{\sphericalangle }SGE\backslash sphericalangle\; SGE$ und deshalb gilt für $\mathrm{\sphericalangle }FGS={180}^{\circ }-\mathrm{\sphericalangle }SGE\backslash sphericalangle\; FGS=180^\backslash circ\backslash ;-\backslash sphericalangle\; SGE$. Im Folgenden wird der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }SGE\backslash sphericalangle\; SGE$ als $\beta \backslash beta$ bezeichnet.

${\displaystyle tan\beta =\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{\mathrm{5,5}cm}{3cm}=\frac{11}{6}}\backslash displaystyle\; tan\backslash beta\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{Gegenkathete\}\{Ankathete\}\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{5\{,\}5\backslash ;cm\}\{3\backslash ;cm\}=\backslash :\backslash frac\{11\}6$

${\displaystyle \beta ={\tan }^{-1}\left(\frac{11}{6}\right)\approx {\mathrm{61,39}}^{\circ }}\backslash displaystyle\; \backslash beta\backslash ;=\backslash ;\backslash tan^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{11\}6\backslash right)\backslash ;\backslash approx\backslash ;61\{,\}39^\backslash circ$

Nun bestimmst du $\mathrm{\sphericalangle }FGS\backslash sphericalangle\; FGS\backslash ;$, den Nebenwinkel von $\beta \backslash beta$, indem du $180\mathrm{°}-\beta 180°-\backslash beta$ rechnest.

$\mathrm{\sphericalangle }FGS={180}^{\circ }-\beta ={180}^{\circ }-{\mathrm{61,39}}^{\circ }={\mathrm{118,61}}^{\circ }\backslash sphericalangle\; FGS\backslash ;\; =\; 180^\backslash circ\; -\; \backslash beta\; =\; 180^\backslash circ\; -\; 61\{,\}39^\backslash circ\; =\; 118\{,\}61^\backslash circ$

Somit ist die obere Intervallgrenze von $\phi ={\mathrm{118,61}}^{\circ }\backslash varphi\; =\; 118\{,\}61^\backslash circ$.

Lösung zur Teilaufgabe d

Länge der Strecke $\overline{G{P}_n}\backslash overline\{GP\_n\}$

Zur Bestimmung der Länge der Strecke $\overline{G{P}_n}\backslash overline\{GP\_n\}$ nimmst du den Sinussatz zu Hilfe. Mithilfe dessen stellst du folgende Gleichung auf:

${\displaystyle \frac{\overline{G{P}_n}}{\mathrm{\sphericalangle }{P}_{n}FG}=\frac{\overline{GF}}{\mathrm{\sphericalangle }G{P}_{n}F}}\backslash displaystyle\; \backslash frac\{\backslash overline\{GP\_n\}\}\{\backslash sphericalangle\; P\_nFG\}\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{\backslash overline\{GF\}\}\{\backslash sphericalangle\; GP\_nF\}$

Nun setzt du Schritt für Schritt ein. Und formst anschließend nach $\overline{G{P}_n}\backslash overline\{GP\_n\}$ um.

Der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }SFE\backslash sphericalangle\; SFE$ entspricht dem Winkel $\mathrm{\sphericalangle }{P}_{n}FG\backslash sphericalangle\; P\_nFG$ und deshalb gilt: $\mathrm{\sphericalangle }SFE=\mathrm{\sphericalangle }{P}_{n}FG={\mathrm{40,24}}^{\circ }\backslash sphericalangle\; SFE\; =\; \backslash sphericalangle\; P\_nFG\; =\; 40\{,\}24^\backslash circ$.

${\displaystyle \frac{\overline{G{P}_n}}{{\mathrm{40,24}}^{\circ }}=\frac{\overline{GF}}{\mathrm{\sphericalangle }G{P}_{n}F}}\backslash displaystyle\; \backslash frac\{\backslash overline\{GP\_n\}\}\{40\{,\}24^\backslash circ\}\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{\backslash overline\{GF\}\}\{\backslash sphericalangle\; GP\_nF\}$

Die Strecke $\overline{GF}\backslash overline\{GF\}$ ist einfach $\overline{EF}-\overline{EG}=\mathrm{6,5}cm-3cm=\mathrm{3,5}cm\backslash overline\{EF\}-\backslash overline\{EG\}\; =\; 6\{,\}5\backslash ;cm-3\backslash ;cm\; =\; 3\{,\}5\backslash ;cm$.

${\displaystyle \frac{\overline{G{P}_n}}{{\mathrm{40,24}}^{\circ }}=\frac{\mathrm{3,5}cm}{\mathrm{\sphericalangle }G{P}_{n}F}}\backslash displaystyle\; \backslash frac\{\backslash overline\{GP\_n\}\}\{40\{,\}24^\backslash circ\}\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{3\{,\}5\backslash ;cm\}\{\backslash sphericalangle\; GP\_nF\}$

Nun bestimmst du noch den Winkel $\mathrm{\sphericalangle }G{P}_{n}F\backslash sphericalangle\; GP\_nF$ in Abhängigkeit von $\phi \backslash varphi$. Dafür nutzt du, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer $180\mathrm{°}180°$ ist. Deshalb ist der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }G{P}_{n}F\backslash sphericalangle\; GP\_nF$ gegeben durch $\mathrm{\sphericalangle }G{P}_{n}F={180}^{\circ }-\mathrm{\sphericalangle }{P}_{n}FG-\phi ={180}^{\circ }-{\mathrm{40,24}}^{\circ }-\phi \backslash sphericalangle\; GP\_nF\backslash ;=\backslash ;180^\backslash circ-\backslash ;\backslash sphericalangle\; P\_nFG\backslash ;-\backslash ;\backslash varphi\; =\; 180^\backslash circ-\; 40\{,\}24^\backslash circ-\backslash varphi$.

${\displaystyle \frac{\overline{G{P}_n}}{\sin ({\mathrm{40,24}}^{\circ })}=\frac{\mathrm{3,5}cm}{\sin ({180}^{\circ }-{\mathrm{40,24}}^{\circ }-\phi )}}\backslash displaystyle\; \backslash frac\{\backslash overline\{GP\_n\}\}\{\backslash sin(40\{,\}24^\backslash circ)\}\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{3\{,\}5\backslash ;cm\backslash ;\}\{\backslash sin(180^\backslash circ-40\{,\}24^\backslash circ-\backslash varphi)\}$

Nun multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit $sin({\mathrm{40,24}}^{\circ })sin(40\{,\}24^\backslash circ)$ und rundest auf Zweinachkommastellen .

${\displaystyle \overline{G{P}_n}=\frac{\mathrm{2,26}cm}{\sin ({180}^{\circ }-{\mathrm{40,24}}^{\circ }-\phi )}}\backslash displaystyle\backslash overline\{GP\_n\}\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{2\{,\}26\backslash ;cm\backslash ;\}\{\backslash sin(180^\backslash circ-40\{,\}24^\backslash circ-\backslash varphi)\}$

Außerdem gilt $sin(\alpha )=sin({180}^{\circ }-\alpha )sin(\alpha )=sin(180^\backslash circ\; -\alpha )$. Deshalb klammerst du im nächsten Schritt ${180}^{\circ }-\alpha 180^\backslash circ-\backslash alpha$ aus und erhältst:

${\displaystyle \overline{G{P}_n}=\frac{\mathrm{2,26}cm}{\sin ({180}^{\circ }-({\mathrm{40,24}}^{\circ }+\phi ))}}\backslash displaystyle\; \backslash overline\{GP\_n\}\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{2\{,\}26\backslash ;cm\backslash ;\}\{\backslash sin(180^\backslash circ-(40\{,\}24^\backslash circ+\backslash varphi))\}$

Nun wendest du noch $sin(\alpha )=sin({180}^{\circ }-\alpha )sin(\alpha )=sin(180^\backslash circ-\alpha )$ an. Das heißt du kannst das ${180}^{\circ }-180^\backslash circ-$ einfach weglassen.

${\displaystyle \overline{G{P}_n}=\frac{\mathrm{2,26}cm}{\sin ({\mathrm{40,24}}^{\circ }+\phi )}}\backslash displaystyle\; \backslash overline\{GP\_n\}\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{2\{,\}26\backslash ;cm\backslash ;\}\{\backslash sin(40\{,\}24^\backslash circ+\backslash varphi)\}$

Somit hast du gezeigt, dass die Länge der Strecke ${\displaystyle \overline{G{P}_n}=\frac{\mathrm{2,26}cm}{\sin ({\mathrm{40,24}}^{\circ }+\phi )}}\backslash displaystyle\; \backslash overline\{GP\_n\}\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{2\{,\}26\backslash ;cm\backslash ;\}\{\backslash sin(40\{,\}24^\backslash circ+\backslash varphi)\}$ ist.

Lösung zur Teilaufgabe e

Volumen der Pyramide $BCG{P}_{n}BCGP\_n$

Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.

Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch ${\displaystyle V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}\backslash displaystyle\; V\_\{Pyramide\}=\backslash frac13\backslash cdot\backslash ;G\backslash ;\backslash cdot\; h$

Grundfläche der Pyramide $BCG{P}_{n}BCGP\_n$

Das obige Schrägbild entspricht der Lösung aus Teilaufgabe b).

Die Grundfläche unserer Pyramide ist das Dreieck $BCGBCG$. Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich berechnen durch ${\displaystyle A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h}\backslash displaystyle\; A\_\{Dreieck\}\backslash ;=\backslash ;\backslash frac12\backslash ;\backslash cdot\backslash ;g\backslash ;\backslash cdot\backslash ;h$

Als Grundlinie $gg$ legst du die Strecke $\overline{BC}=8cm\backslash overline\{BC\}=8\backslash ;cm$ fest und als Höhe $hh$ die Strecke $\overline{GF}=\mathrm{3,5}cm\backslash overline\{GF\}=\backslash ;3\{,\}5\backslash ;cm$. Diese setzt du nun in die Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks ein:

${\displaystyle A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h=\frac{1}{2}\cdot \overline{BC}\cdot \overline{GF}=\frac{1}{2}\cdot 8cm\cdot \mathrm{3,5}cm=14c{m}^2}\backslash displaystyle\; A\_\{Dreieck\}\backslash ;=\backslash ;\backslash frac12\backslash ;\backslash cdot\backslash ;g\backslash ;\backslash cdot\backslash ;h\backslash ;=\backslash frac12\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash overline\{BC\}\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash overline\{GF\}\backslash ;=\backslash :\backslash frac12\backslash ;\backslash cdot\backslash ;8\backslash ;cm\backslash ;\backslash cdot\backslash ;3\{,\}5\backslash ;cm\backslash ;=\backslash ;14\backslash ;cm^2$

Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide $BCG{P}_{n}BCGP\_n$ ist $14c{m}^{2}14\backslash ;cm^2$.

Die Höhe der Pyramide $BCG{P}_{n}BCGP\_n$

Die Höhe der Pyramide ist die Strecke $[P_n{L}_n][P\_nL\_n]$. Diese bestimmst du mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Die Strecke $[L_n{P}_n][L\_nP\_n]$ bestimmst du mit ${\displaystyle sin(\beta )=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}}\backslash displaystyle\; sin(\backslash beta)\backslash ;=\backslash frac\{Gegenkathete\}\{Hypotenuse\}$, wobei die Gegenkathete die Strecke $[P_n{L}_n][P\_nL\_n]$ ist und $[G{P}_n][GP\_n]$ die Hypotenuse ist. Außerdem ist der Winkel $\beta \backslash beta$ Nebenwinkel von $\phi \backslash varphi$ und somit gilt: $\beta ={180}^{\circ }-\phi \backslash beta\backslash ;=\backslash ;180^\backslash circ-\backslash varphi$.

${\displaystyle sin(\beta )=sin(180-\phi )=\frac{\overline{P_n{L}_n}}{\overline{G{P}_n}}}\backslash displaystyle\; sin(\backslash beta)\backslash ;=\backslash ;sin(180-\backslash varphi)\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{\backslash overline\{P\_nL\_n\}\}\{\backslash overline\{GP\_n\}\}$

Nun stellst du die Gleichung so um, dass $P_n{L}_{n}P\_nL\_n$ auf einer Seite steht und setzt anschließend ein.

Die Höhe der Pyramide ist ${\displaystyle h=\sin (\phi )\cdot \frac{\mathrm{2,26}}{\sin (\phi +{\mathrm{40,24}}^{\circ })}cm}\backslash displaystyle\; h\backslash ;=\backslash sin(\backslash varphi)\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash frac\{2\{,\}26\}\{\backslash sin(\backslash varphi\backslash ;+\backslash ;40\{,\}24^\backslash circ)\}\backslash ;cm$.

Volumen der Pyramide

Nun setzt du die einzelnen Teilergebnisse in die Formel für das Volumen der Pyramide ein.

${\displaystyle V_{Pyramide}(\phi )=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h}\backslash displaystyle\; V\_\{Pyramide\}(\backslash varphi)\backslash ;=\backslash frac13\backslash cdot\backslash ;G\backslash ;\backslash cdot\; h\backslash ;$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot 14c{m}^2\cdot \sin (\phi )\cdot \frac{\mathrm{2,26}}{\sin (\phi +{\mathrm{40,24}}^{\circ })}cm}\backslash displaystyle\; =\backslash ;\backslash frac13\backslash ;\backslash cdot\backslash ;14\backslash ;cm^2\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash sin(\backslash varphi)\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash frac\{2\{,\}26\}\{\backslash sin(\backslash varphi\backslash ;+\backslash ;40\{,\}24^\backslash circ)\}\backslash ;cm$

${\displaystyle =\mathrm{10,55}\cdot \frac{\sin (\phi )}{\sin (\phi +{\mathrm{40,24}}^{\circ })}c{m}^3}\backslash displaystyle\; =\backslash ;10\{,\}55\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash frac\{\backslash sin(\backslash varphi)\}\{\backslash sin(\backslash varphi+40\{,\}24^\backslash circ)\}\backslash ;cm^3$

Das Volumen der Pyramide $BCG{P}_{n}BCGP\_n$ in Abhängigkeit von $\phi \backslash varphi$ ist ${\displaystyle V_{Pyramide}(\phi )=\mathrm{10,55}\cdot \frac{\sin (\phi )}{\sin (\phi +{\mathrm{40,24}}^{\circ })}c{m}^3}\backslash displaystyle\; V\_\{Pyramide\}(\backslash varphi)\backslash ;=\backslash ;10\{,\}55\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash frac\{\backslash sin(\backslash varphi)\}\{\backslash sin(\backslash varphi+40\{,\}24^\backslash circ)\}\backslash ;cm^3$.

Lösung zur Teilaufgabe f

Prozentuale Anteil von $BCG{P}_{2}BCGP\_2$ an $ABCDSABCDS$

Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.

Das Volumen der Pyramide ABCDS hat das Volumen $\mathrm{95,33}c{m}^{3}95\{,\}33\backslash ;cm^3$.

Volumen der Pyramide $BCG{P}_{2}BCGP\_2$

Gegeben ist, dass das $GF{P}_{2}GFP\_2$ ein gleichschenkliges Dreieck ist. Deshalb ist der Winkel $\mathrm{\sphericalangle }{P}_{2}FG=\mathrm{\sphericalangle }G{P}_{2}F={\mathrm{40,24}}^{\circ }\backslash sphericalangle\; P\_2FG\backslash ;=\backslash ;\backslash sphericalangle\; GP\_2F\backslash ;=\backslash ;40\{,\}24^\backslash circ$.

Nun berechnest du $\phi \backslash varphi$ mithilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck. $\phi ={180}^{\circ }-\mathrm{\sphericalangle }{P}_{2}FG-\mathrm{\sphericalangle }G{P}_{2}F={180}^{\circ }-{\mathrm{40,24}}^{\circ }-{\mathrm{40,24}}^{\circ }={\mathrm{99,52}}^{\circ }\backslash varphi\backslash ;=\backslash :180^\backslash circ\backslash ;-\backslash ;\backslash sphericalangle\; P\_2FG\backslash ;-\backslash sphericalangle\; GP\_2F\backslash ;=\backslash :180^\backslash circ\backslash ;-\backslash ;40\{,\}24^\backslash circ\backslash ;-\backslash ;40\{,\}24^\backslash circ\backslash ;=\backslash :99\{,\}52^\backslash circ$

Nun nutzt die Ergebnisse aus Teilaufgabe e). Dort hast du festgestellt, dass das Volumen in Abhängigkeit von $\phi \backslash varphi$ ist:

${\displaystyle V(\phi )=\frac{\mathrm{10,55}\cdot \sin (\phi )}{\sin (\phi +{\mathrm{40,24}}^{\circ })}c{m}^3}\backslash displaystyle\; V(\backslash varphi)=\backslash ;\backslash frac\{10\{,\}55\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash sin(\backslash varphi)\}\{\backslash sin(\backslash varphi\backslash ;+\backslash ;40\{,\}24^\backslash circ)\}\backslash ;cm^3$

${\displaystyle V_{BCG{P}_2}=V({\mathrm{99,52}}^{\circ })=\frac{\mathrm{10,55}\cdot \sin ({\mathrm{99,52}}^{\circ })}{\sin ({\mathrm{99,52}}^{\circ }+{\mathrm{40,24}}^{\circ })}c{m}^3\approx \mathrm{16,11}c{m}^3}\backslash displaystyle\; V\_\{BCGP\_2\}\backslash ;=\backslash :V(99\{,\}52^\backslash circ)=\backslash ;\backslash frac\{10\{,\}55\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash sin(99\{,\}52^\backslash circ)\}\{\backslash sin(99\{,\}52^\backslash circ\backslash ;+\backslash ;40\{,\}24^\backslash circ)\}\backslash ;cm^3\backslash approx\backslash ;16\{,\}11\backslash ;cm^3$

Das Volumen der Pyramide $BCG{P}_{2}BCGP\_2$ beträgt ungefähr $\mathrm{16,11}c{m}^{3}16\{,\}11\backslash ;cm^3$.

Prozentualer Anteil

Gesucht ist der Prozentsatz $pp$. Diesen erhältst du, indem du den Prozentwert $WW$ durch den Grundwert $GG$ teilst.

${\displaystyle p=\frac{W}{G}=\frac{V_{BCG{P}_2}}{V_{ABCDS}}=\frac{\mathrm{16,11}c{m}^3}{\mathrm{95,33}c{m}^3}\approx \mathrm{0,1690}=\mathrm{16,90}\mathrm{\%}}\backslash displaystyle\; p=\backslash ;\backslash frac\; WG\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{V\_\{BCGP\_2\}\}\{V\_\{ABCDS\}\}\backslash ;=\backslash :\backslash frac\{16\{,\}11\backslash ;cm^3\}\{95\{,\}33\backslash ;cm^3\}\backslash ;\backslash approx\backslash ;0\{,\}1690\backslash ;=\backslash ;16\{,\}90\backslash \%$

Das Volumen der Pyramide $BCG{P}_{2}BCGP\_2$ nimmt circa $\mathrm{16,90}\mathrm{\%}16\{,\}90\backslash \%$ des Volumens der Pyramide $ABCDSABCDS$ ein.