Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Die Funktion $f_{1}$ hat eine Gleichung der Form $y=-\text{log}_3(x+b)+2$ mit $\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und $b \in \mathbb{R}$ . Der Graph der Funktion $f_{1}$ schneidet die $x$ -Achse im Punkt $P (8 ∣ 0)$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion $f_{1}$ die Gleichung $y=-\text{log}_3(x+1)+2$ hat. Geben Sie sodann die Definitionsmenge der Funktion $f_{1}$ an und zeichnen Sie den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [-0{,}5 ; 9]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \, \text{cm}$ ; $-2 \leqq x \leqq 10$ ; $-1 \leqq y \leqq 7$
(4 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe a
Berechnungen an Funktionen
Über $f_{1}$ weißt du, dass sie die Gleichung $y = - l o g_{3} (x + b) + 2$ hat und dass der Punkt $P (8 ∣ 0)$ auf dem Graphen liegt. Zunächst ist nur zu zeigen, dass $b = 1$ ist.
Schaue dir bei solchen Aufgaben immer genau die Funktionsgleichung an, dann stellst du fest, dass du drei unbekannte Größen hast, nämlich $y, x$ und $b$ . Der Punkt $P$ besteht aus einer $x -$ und einer $y -$ Koordinate, daher ist es naheliegend, den Punkt in die Gleichung einzusetzen.
$\def\arraystretch{1.25} %%\begin{array}\; 0 &=-log_3(8+b)+2 &|-2 \\-2 &=-log_3(8+b) &|\cdot (-1) \\2 &=log_3(8+b) &|3^{(…)} \\9 &=8+b &|-8 \end{array}%%$
$\Rightarrow b=1$
Definitionsmenge von Funktionen
In den Logarithmus darf man nur positive Zahlen einsetzen. Falls du das nicht mehr weißt, kannst du das im Artikel zum Logarithmus nochmal nachlesen.
Unsere Funktion $y = - l o g_{3} (x + 1) + 2$ ist also genau dann definiert, wenn der Ausdruck in der Klammer $x + 1$ positiv ist. Dafür musst du mit einer Ungleichung arbeiten.
$x+1 > 0\hspace{2cm}|-1$
$x > - 1$
Die Funktion $f_{1}$ ist also für alle $x > - 1$ definiert.
Formell: $\mathbb{D}=\{ {x|x>-1} \}$
Zeichnen von Funktionen
Um die Funktion zu zeichnen, tippst du die Funktion in deinen Taschenrechner ein, um eine Wertetabelle zu erhalten und zeichnest anschließend $f_{1}$ .
Der Graf von f1 in ein Koordinatensystem eingezeichnet
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Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = 2$ und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\def\arraystretch{1.25} \vec{v} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0{,}5 \end{array} \right)$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y=-2 \cdot \text{log}_3 (x) + 4{,}5$ hat $\left( \mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \right)$ und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.
(4 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe b
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ 2\cdot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x' \\ 2 \cdot (-log_3(x+1)+2) \end{pmatrix}$
$\Rightarrow y'=-2 \cdot log_3(x+1)+4$
Die orthogonale Affinität ist eine senkrechte Streckung des Graphen. Da die $x -$ Achse die Affinitätsachse ist, bleibt diese fest, der Affinitätsfaktor ist $2$ .
$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x' \\ -2 \cdot log_3(x'+1)+4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}$
Die Parallelverschiebung bildet jeden Punkt der Funktion entlang eines Verschiebungsvektors ab. Gehe dabei wie folgt vor:
$x^{''} = x^{'} + v_{x}$
$y^{''} = y^{'} + v_{y}$
Setze $y'=-2 \cdot log_3(x'+1)+4$ in das Gleichungssystem ein.
$x^{''} = x^{'} + v_{x}$
$y''=-2 \cdot log_3(x'+1)+4+v_y$
Setze die Koordinaten des Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}$ in das Gleichungssystem ein.
$x^{''} = x^{'} + 1$
$y''=-2 \cdot log_3(x'+1)+4+0{,}5$
Löse die erste Gleichung nach $x^{'}$ auf
$x^{'} = x^{''} - 1$
$y''=-2 \cdot log_3(x'+1)+4{,}5$
Setze das berechnete $x^{'} = x^{''} - 1$ in die zweite Gleichung ein.
$\Rightarrow y''=-2 \cdot log_3(x''-1+1)+4{,}5 =-2 \cdot log_3(x'')+4{,}5$
$\Rightarrow f_2: y=-2 \cdot log_3(x)+4{,}5$
Zeichne nun den Graphen von $f_{2}$ wie in der vorherigen Aufgabe in das Koordinatensystem ein.
Die Grafen der Logarithmusfunktionen f1 und f2 im Koordinatensystem eingezeichnet
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Punkte $A_n (x | -\text{log}_3(x+1)+2)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $D_n(x|-2 \cdot \text{log}_3(x)+4{,}5)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit den Punkten $B_{n}$ und $C_{n}$ für $0 < x < 16,53$ die Eckpunkte von Trapezen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Es gilt: $\overline{A_nB_n} = 2 \, \text{LE}$ ; $\sphericalangle B_nA_nD_n = 90^{\circ}$ ; $\sphericalangle A_nD_nC_n = 125^{\circ}$ ; $[A_nD_n]\,||\, [B_nC_n]$ .
Zeichnen Sie die Trapeze $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.
(2 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe c
Einzeichnen der Trapeze
Du kannst das gleiche Schema für $x = 1$ und $x = 5,5$ anwenden.
1. Zeichne zuerst die gegebenen Punkte $A_{n}$ und $D_{n}$ ein. ( $A_1(1|1{,}37), A_2(5{,}5|0{,}30), D_1(1|4{,}5), D_2(5{,}5|1{,}40)$ )
2. Zeichne eine parallele Hilfsgerade $h$ zur $x$ -Achse auf der Höhe von $A_{n}$ ein, so entsteht der $90^\circ$ -Winkel $\sphericalangle B_nA_nD_n$ .
3. Gehe nun auf der Hilfsgerade $h$ von $A_{n}$ $2\;\mathrm{cm}$ nach rechts und zeichne den Punkt $B_{n}$ ein.
4. Zeichne den $125^\circ$ -Winkel $\sphericalangle A_nD_nC_n$ ein.
5. Konstruiere ein Lot auf die Hilfsgerade $h$ durch den Punkt $B_{n}$ .
6. Der Schnittpunkt mit der Geraden, die durch den $125^\circ$ -Winkel entstanden ist, ergibt den Punkt $C_{n}$ .
Es ergeben sich die Parallelen $[A_{n} D_{n}]$ und $[B_{n} C_{n}]$ .
Trapeze A1B1C1D1 und A2B2C2D2 eingezeichnet in das Koordinatensystem
Die Abbildung zeigt die Trapeze $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ .
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Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\overline{B_nC_n}(x)=\left( \text{log}_3 \left( \dfrac{x+1}{x^2} \right) +3{,}90 \right) \, \text{LE}$ .
$\left[ \text{Teilergebnis}: \overline{A_nD_n}(x) = \left( \text{log}_3 \left( \dfrac{x+1}{x^2} \right) +2{,}5 \right) \, \text{LE} \right]$
(3 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe d
Länge der Strecke $[B_{n} C_{n}]$
Bestimme die Länge der Strecken $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von $x$ . Zu Veranschaulichungszwecken betrachte das Trapez $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} .$
Trapez 1
In der Abbildung kannst du erkennen, dass die Strecke $[B_{n} C_{n}]$ aufgeteilt werden kann in $[B_{n} G_{n}]$ und $[G_{n} C_{n}]$ . Du wählst die Strecke $D_{n} G_{n}$ , sodass ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck entstehen. Nach der Definition eines Rechtecks ist die Länge Strecke $[A_{n} D_{n}]$ gleich der Strecke $[B_{n} G_{n}]$ .
Berechne die Länge der Strecke $[A_{n} D_{n}]$ . Ziehe dazu die $y$ -Koordinate von $A_{n}$ von der $y$ -Koordinate $D_{n}$ ab. Benutze dazu die Rechenregeln mit dem Logarithmus.
$\overline{A_nD_n}(x)=\left[(-2)\cdot\log_3\left(x\right)+4{,}5-(-\log_3\left(x+1\right)+2)\right]LE$
$=\left[\log_3\left(x+1\right)-\log_3\left(x^2\right)+2{,}5\right]LE$
$=\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+2{,}5\right]LE$
Dies entspricht der Länge der Strecke $[B_{n} G_{n}]$ .
Berechne die Länge der Strecke $[G_{n} C_{n}]$ . Der obere Teil deines Trapezes ist ein rechtwinkliges Dreieck, deshalb kannst du die Länge der Strecke $[G_{n} C_{n}]$ mit dem Tangens berechnen. Berechne die Größe von $\alpha_1$ , das heißt von dem Teil von $\alpha$ ⁣, der im Dreieck liegt.
$\alpha_1=\alpha-90^\circ=125^\circ-90^\circ=35^\circ$
Die Größe von $\alpha_1$ beträgt $35^\circ$ .
Stelle die Gleichung von Tangens von $\alpha_1$ auf.
$\tan\left(35^\circ\right)=\displaystyle\frac{\overline{G_nC_n}}{\overline{D_nG_n}}=\frac{\overline{G_nC_n}}{\overline{A_nB_n}}=\frac{\overline{G_nC_n}}2$
Dass die Länge der Strecke $[D_{n} G n]$ gleich der Strecke $[A_{n} B_{n}]$ ist, folgt aus der Definition eines Rechtecks.
Löse die Gleichung nach der gesuchten Länge auf.
$\tan\left(35^\circ\right)=\dfrac{\overline{G_nC_n}}2\;\;\;\left|\cdot2\right.$
$\overline{G_nC_n}=2\cdot\tan(35^\circ)$
Berechne die Länge der Strecke $[B_{n} C_{n}]$ , indem du die Längen der Strecken $[G_{n} C_{n}]$ und $[B_{n} G_{n}]$ addierst.
$\overline{B_nC_n}(x)=\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+2{,}5+2\;\tan(35^\circ)\right]LE=\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+3{,}9\right]LE$
Die Länge der Strecke $\lbrack B_nC_n\rbrack$ in Abhängigkeit von $x$ beschreibt $\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+3{,}9\right]LE$ .
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Bestätigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A(x)=\left(2\cdot{\text{log}}_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+6{,}40\right)\,\text{FE}$ .
(1 Punkt)

Lösung zur Teilaufgabe e
Flächeninhalt des Trapezes
Berechne den Flächeninhalt von dem Trapez $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Zu Veranschaulichungszwecken wird die Abbildung des Trapezes $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ benutzt.
Drehe in Gedanken dein Trapez um $90 °$ nach rechts, um die parallelen Seiten übereinander zu haben.
gedrehtes Trapez
Setze in die Formel für den Trapezflächeninhalt ein und vereinfache anschließend durch Ausklammern.
$A\left(x\right)=\frac{b+d}2\cdot h$
$=\frac12\cdot\left(\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+3{,}9+\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+2{,}5\right)\cdot2\;FE$
$=2\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+(3{,}9+2{,}5)\;FE$
$=2\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+6{,}4\;FE$
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Das Trapez $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ hat einen Flächeninhalt von $8 \, \text{FE}$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $A_{3}$ .

(3 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe f

Bestimmung der Koordinaten von $A_{3}$

Setze $A (x)$ gleich $8$ und löse nach $x$ auf.

$\displaystyle A\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 8$
$\displaystyle 2\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+6{,}4$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle -6{,}4$
$\displaystyle 2\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)$	$=$	$\displaystyle 1{,}6$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{5}$
	↓	Löse mit der Definition des Logarithmus. Stelle demnach um mit der Regel: $\log_b\left(x\right)=c\;\Leftrightarrow\;x=b^c$
$\displaystyle \frac{x+1}{x^2}$	$=$	$\displaystyle 3^{\frac{4}{5}}$	$\displaystyle \cdot x^2$
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle 3^{\frac{4}{5}}\cdot x^2$	$\displaystyle -(x+1)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3^{\frac{4}{5}}x^2-x-1$

Setze in die Mitternachtsformel ein.

$x_{1{,}2}=\displaystyle\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot3^{\frac45}\cdot(-1)}}{2\cdot3^{\frac45}}$

$x_1=-0{,}47\;\;\;\;\;\;x_2=0{,}88$

Da $x$ größer $0$ sein muss, kommt nur $x_{2}$ infrage. Der Grund dafür ist, dass der Logarithmus nicht für negative Zahlen definiert ist.

Berechne die $y$ -Koordinate für $x_{2}$ . Setze dafür $x_{2}$ in $f_{1}$ ein. $f_1(x_2)=f_1(0{,}88)=-\log_3\left(0{,}88+1\right)+2=-\log_3\left(1{,}88\right)+2=1{,}43$

$A_{3}$ muss der Punkt $(0{,}88\vert 1{,}43)$ sein.

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Das Rechteck $A B C D$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ . Der Punkt $E$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A D]$ , der Punkt $F$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[B C]$ . Die Spitze $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $E$ .

Es gilt: $\overline{AB}=6{,}5 \, \text{cm}; \; \overline{AD}=8 \, \text{cm}; \; \overline{ES}=5{,}5 \, \text{cm}$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei $[E F]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $E$ links vom Punkt $F$ liegen soll.

Für die Zeichnung: $q = \dfrac{1}{2}; \; \omega = 45^{\circ}$

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[F S]$ sowie das Maß des Winkels $S F E$ .

$\left[ \text{Ergebnisse:}\; \overline{FS}=8{,}51 \, \text{cm}; \; \sphericalangle SFE = 40{,}24 ^{\circ} \right]$

(4 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe a

Schrägbild der Pyramide

Im ersten Schritt zeichnest du die Strecke $[A B]$ und legst an diese Strecke im Punkt $A$ den Winkel $\omega=45^\circ$ an. Zeichne nun an diesen Winkel die Strecke $[A D]$ an. Die Strecke $[A D]$ hat in deiner Zeichnung die Länge $4\;cm$ , da der Streckungsfaktor $\displaystyle q=\frac12$ ist.

Im nächsten Schritt zeichnest du die Strecke $[D C]$ parallel zur Strecke $[A B]$ und $[B C]$ parallel zu $[A D]$ ein. Außerdem zeichnest du $E$ , den Mittelpunkt der Strecke $[A D]$ , mithilfe der Mittelsenkrechten. Zudem zeichnest du $F$ , den Mittelpunkt der Strecke $[B C]$ , ein.

Danach zeichnest du die Strecke $\overline{ES}=5{,}5\;cm$ ein. Diese steht senkrecht auf der Strecke $[E F]$ und hat in der Abbildung keine Streckung oder Stauchung, da sie parallel zur Bildebene verläuft. Im letzten Schritt verbindest du alle Eckpunkte der Grundfläche ( $A, B, C, D$ ) mit der Spitze $S$ .

Länge der Strecke $\overline{FS}$

Außerdem ist die Länge der Strecke $\overline{FS}$ gesucht.

Diese berechnest du mithilfe vom Satz des Pythagoras und dem rechtwinkligen Dreieck $E F S$ , wobei $[F S]$ die Hypotenuse ist.

$\displaystyle a^2+b^2$	$=$	$\displaystyle c^2$
$\displaystyle (\overline{EF})^2+(\overline{ES})^2\;$	$=$	$\displaystyle \:(\overline{FS})^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle \sqrt{(\overline{EF})^2+(\overline{ES})^2}\;$	$=$	$\displaystyle \:\overline{FS}$
	↓	Setze die Strecken $[E F]$ und $[E S]$ ein.
$\displaystyle \sqrt{(6{,}5\;cm)^2+(5{,}5\;cm)^2}$	$=$	$\displaystyle \overline{FS}$
	↓	Berechne
$\displaystyle \overline{FS}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{72{,}5\;cm^2}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 8{,}51\;cm$

Die Länge der Strecke $[F S]$ beträgt $8{,}51\;cm$ .

Maß des Winkels SFE

Bei der Berechnung des Winkels sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens hilfreich.

$\displaystyle tan\;\alpha\;=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{\overline{SE}}{\overline{EF}}=\frac{5{,}5\;cm}{6{,}5\;cm}\;=\frac{5{,}5}{6{,}5}$

$\displaystyle \alpha\;=\;\tan^{-1}(\frac{5{,}5}{6{,}5})\;\approx\;40{,}24^\circ$

Das Maß des Winkel $S F E$ beträgt also ungefähr $40{,}24^\circ$ .

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Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[F S]$ und bilden zusammen mit dem Punkt $G \in [EF]$ Winkel $F G P_{n}$ mit dem Maß $\varphi \in ]0^{\circ}; 118{,}61^{\circ}[$ . Es gilt: $\overline{EG}=3 \, \text{cm}$ .
Die Punkte $P_{n}$ sind die Spitzen von Pyramiden $B C G P_{n}$ mit der Grundfläche $B C G$ und den Höhen $[P_{n} L_{n}]$ mit $L_n \in [EF]$ . Zeichnen Sie die Pyramide $B C G P_{1}$ für $\varphi = 110^{\circ}$ und die zugehörige Höhe $[P_{1} L_{1}]$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.
(2 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe b
Einzeichnen der Pyramide $B C G P_{1}$
Im ersten Schritt zeichnest du den Punkt G in deine Zeichnung ein. Es ist gegeben, dass $G$ auf der Strecke $[E F]$ liegt und zusätzlich ist gegeben, dass die Strecke $[E G]$ die Länge $3\;cm$ hat. Das heißt $G$ liegt auf $[E F]$ und hat von $E$ den Abstand $3\;cm$ .
Im zweiten Schritt legst du an die Strecke $[G F]$ im Punkt $G$ den Winkel $\varphi\;=\;110^\circ$ an und zeichnest an diesen Winkel die Strecke $[G P_{1}]$ , wobei der Punkt $P_{1}$ auf der Strecke $[F S]$ liegt.
Somit hast du alle Eckpunkte der Pyramide, nun musst du nur noch diese Punkte verbinden. Zeichnen also die Kanten $BG,\;GC,\;GP_1,\;BP_1,$ und $\; CP_1$ ein.
Zuletzt zeichnest du noch die Höhe der Pyramide $B C G P_{1}$ in deine Zeichnung ein. Dazu fällst du das Lot von der Spitze der Teilpyramide $P_{1}$ auf die Strecke $[E F]$ und erhältst somit die Höhe $h_{1}$ .
kleine Pyramide BCGP1 in der großen Pyramide ABCDS
Das rote Körper in der Abbildung stellt die Pyramide $B C G P_{1}$ dar.
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Begründen Sie die obere Intervallgrenze für $\varphi$ .
(2 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe c
Obere Grenze von $\varphi$
Der Winkel $\varphi$ ist der Winkel $\sphericalangle FGP_n$ und den größten Winkel $\varphi$ erhält man, wenn $P_n\; =\;S\;$ ist, also gilt für die obere Grenze der Winkel $\sphericalangle FGS$ . Das kannst du ausprobieren, indem du den Schieberegler in dem obigen Applet bewegst.
Nun musst du den Winkel $\sphericalangle FGS$ bestimmen. Aus Teilaufgabe b) weißt du, dass $\varphi\;\in\;\rbrack0^\circ;118{,}61^\circ\lbrack$ , das heißt $\varphi\;$ hat die obere Grenze $118{,}61^\circ$ . Und da die obere Grenze von $\varphi$ dem Winkel $\sphericalangle FGS$ entspricht, musst du nur noch nachrechnen, dass $\sphericalangle FGS = 118{,}61^\circ$ ist.
Dafür nutzt du die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.
Außerdem ist der Winkel $\sphericalangle FGS$ der Nebenwinkel von $\sphericalangle SGE$ und deshalb gilt für $\sphericalangle FGS=180^\circ\;-\sphericalangle SGE$ . Im Folgenden wird der Winkel $\sphericalangle SGE$ als $\beta$ bezeichnet.
Dreiecke EGS und GFS und die Winkel phi und der Nebenwinkel von phi im Koordinatensystem eingetragen
$\displaystyle tan\beta\;=\;\frac{Gegenkathete}{Ankathete}\;=\;\frac{5{,}5\;cm}{3\;cm}=\:\frac{11}6$
$\displaystyle \beta\;=\;\tan^{-1}\left(\frac{11}6\right)\;\approx\;61{,}39^\circ$
Nun bestimmst du $\sphericalangle FGS\;$ , den Nebenwinkel von $\beta$ , indem du $180°-\beta$ rechnest.
$\sphericalangle FGS\; = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 61{,}39^\circ = 118{,}61^\circ$
Somit ist die obere Intervallgrenze von $\varphi = 118{,}61^\circ$ .
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Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[G P_{n}]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$\overline{GP_n}(\varphi) = \dfrac{2{,}26}{\text{sin}(\varphi + 40{,}24^{\circ})}$
(2 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe d
Länge der Strecke $\overline{GP_n}$
Zur Bestimmung der Länge der Strecke $\overline{GP_n}$ nimmst du den Sinussatz zu Hilfe. Mithilfe dessen stellst du folgende Gleichung auf:
$\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{\sphericalangle P_nFG}\;=\;\frac{\overline{GF}}{\sphericalangle GP_nF}$
Dreieck GFPn und dessen Winkel
Nun setzt du Schritt für Schritt ein. Und formst anschließend nach $\overline{GP_n}$ um.
Der Winkel $\sphericalangle SFE$ entspricht dem Winkel $\sphericalangle P_nFG$ und deshalb gilt: $\sphericalangle SFE = \sphericalangle P_nFG = 40{,}24^\circ$ .
$\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{40{,}24^\circ}\;=\;\frac{\overline{GF}}{\sphericalangle GP_nF}$
Die Strecke $\overline{GF}$ ist einfach $\overline{EF}-\overline{EG} = 6{,}5\;cm-3\;cm = 3{,}5\;cm$ .
$\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{40{,}24^\circ}\;=\;\frac{3{,}5\;cm}{\sphericalangle GP_nF}$
Nun bestimmst du noch den Winkel $\sphericalangle GP_nF$ in Abhängigkeit von $\varphi$ . Dafür nutzt du, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer $180 °$ ist. Deshalb ist der Winkel $\sphericalangle GP_nF$ gegeben durch $\sphericalangle GP_nF\;=\;180^\circ-\;\sphericalangle P_nFG\;-\;\varphi = 180^\circ- 40{,}24^\circ-\varphi$ .
$\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{\sin(40{,}24^\circ)}\;=\;\frac{3{,}5\;cm\;}{\sin(180^\circ-40{,}24^\circ-\varphi)}$
Nun multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit $sin(40{,}24^\circ)$ und rundest auf Zweinachkommastellen .
$\displaystyle\overline{GP_n}\;=\;\frac{2{,}26\;cm\;}{\sin(180^\circ-40{,}24^\circ-\varphi)}$
Außerdem gilt $sin(α)=sin(180^\circ -α)$ . Deshalb klammerst du im nächsten Schritt $180^\circ-\alpha$ aus und erhältst:
$\displaystyle \overline{GP_n}\;=\;\frac{2{,}26\;cm\;}{\sin(180^\circ-(40{,}24^\circ+\varphi))}$
Nun wendest du noch $sin(α)=sin(180^\circ−α)$ an. Das heißt du kannst das $180^\circ-$ einfach weglassen.
$\displaystyle \overline{GP_n}\;=\;\frac{2{,}26\;cm\;}{\sin(40{,}24^\circ+\varphi)}$
Somit hast du gezeigt, dass die Länge der Strecke $\displaystyle \overline{GP_n}\;=\;\frac{2{,}26\;cm\;}{\sin(40{,}24^\circ+\varphi)}$ ist.
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Berechnen Sie das Volumen $V$ der Pyramiden $B C G P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ .

$\left[ \text{Ergebnis:} \; V(\varphi) = \dfrac{10{,}55 \cdot \text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi + 40{,}24^{\circ}} \, \text{cm}^3 \right]$

(3 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe e

Volumen der Pyramide $B C G P_{n}$

Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.

Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch $\displaystyle V_{Pyramide}=\frac13\cdot\;G\;\cdot h$

Grundfläche der Pyramide $B C G P_{n}$

Das obige Schrägbild entspricht der Lösung aus Teilaufgabe b).

Die Grundfläche unserer Pyramide ist das Dreieck $B C G$ . Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich berechnen durch $\displaystyle A_{Dreieck}\;=\;\frac12\;\cdot\;g\;\cdot\;h$

Als Grundlinie $g$ legst du die Strecke $\overline{BC}=8\;cm$ fest und als Höhe $h$ die Strecke $\overline{GF}=\;3{,}5\;cm$ . Diese setzt du nun in die Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks ein:

$\displaystyle A_{Dreieck}\;=\;\frac12\;\cdot\;g\;\cdot\;h\;=\frac12\;\cdot\;\overline{BC}\;\cdot\;\overline{GF}\;=\:\frac12\;\cdot\;8\;cm\;\cdot\;3{,}5\;cm\;=\;14\;cm^2$

Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide $B C G P_{n}$ ist $14\;cm^2$ .

Die Höhe der Pyramide $B C G P_{n}$

Die Höhe der Pyramide ist die Strecke $[P_{n} L_{n}]$ . Diese bestimmst du mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Die Strecke $[L_{n} P_{n}]$ bestimmst du mit $\displaystyle sin(\beta)\;=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ , wobei die Gegenkathete die Strecke $[P_{n} L_{n}]$ ist und $[G P_{n}]$ die Hypotenuse ist. Außerdem ist der Winkel $\beta$ Nebenwinkel von $\varphi$ und somit gilt: $\beta\;=\;180^\circ-\varphi$ .

$\displaystyle sin(\beta)\;=\;sin(180-\varphi)\;=\;\frac{\overline{P_nL_n}}{\overline{GP_n}}$

Nun stellst du die Gleichung so um, dass $P_{n} L_{n}$ auf einer Seite steht und setzt anschließend ein.

$\displaystyle \displaystyle sin(180-\varphi)\;$	$=$	$\displaystyle \;\frac{\overline{P_nL_n}}{\overline{GP_n}}$	$\displaystyle \cdot \overline{GP_n}$
$\displaystyle \overline{P_nL_n}$	$=$	$\displaystyle \sin(180^\circ-\varphi)\;\cdot\;\overline{GP_n}$
	↓	$sin(180^\circ-\;\varphi)= sin(\varphi)$
$\displaystyle \overline{P_nL_n}$	$=$	$\displaystyle \sin(\varphi)\;\cdot\;\overline{GP_n}$
	↓	Setze $\;\lbrack GP_n\rbrack$ aus Teilaufgabe d) ein.
	$=$	$\displaystyle \sin(\varphi)\;\cdot\;\frac{2{,}26}{\sin(\varphi\;+\;40{,}24^\circ)}$

Die Höhe der Pyramide ist $\displaystyle h\;=\sin(\varphi)\;\cdot\;\frac{2{,}26}{\sin(\varphi\;+\;40{,}24^\circ)}\;cm$ .

Volumen der Pyramide

Nun setzt du die einzelnen Teilergebnisse in die Formel für das Volumen der Pyramide ein.

$\displaystyle V_{Pyramide}(\varphi)\;=\frac13\cdot\;G\;\cdot h\;$

$\displaystyle =\;\frac13\;\cdot\;14\;cm^2\;\cdot\;\sin(\varphi)\;\cdot\;\frac{2{,}26}{\sin(\varphi\;+\;40{,}24^\circ)}\;cm$

$\displaystyle =\;10{,}55\;\cdot\;\frac{\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+40{,}24^\circ)}\;cm^3$

Das Volumen der Pyramide $B C G P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ ist $\displaystyle V_{Pyramide}(\varphi)\;=\;10{,}55\;\cdot\;\frac{\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+40{,}24^\circ)}\;cm^3$ .

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Das Dreieck $G F P_{2}$ ist gleichschenklig mit der Basis $[F P_{2}]$ . Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $B C G P_{2}$ am Volumen der Pyramide $A B C D S$ .

(4 Punkte)Lösung zur Teilaufgabe B 2.1