Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Die Funktion $f_{1}$ hat eine Gleichung der Form $y = - {log}_{3} (x + b) + 2$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ und $b \in ℝ$ . Der Graph der Funktion $f_{1}$ schneidet die $x$ -Achse im Punkt $P (8 | 0)$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion $f_{1}$ die Gleichung $y = - {log}_{3} (x + 1) + 2$ hat. Geben Sie sodann die Definitionsmenge der Funktion $f_{1}$ an und zeichnen Sie den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 0,5; 9]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 2 ≦ x ≦ 10$ ; $- 1 ≦ y ≦ 7$
(4 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe a
Berechnungen an Funktionen
Über $f_{1}$ weißt du, dass sie die Gleichung $y = - l o g_{3} (x + b) + 2$ hat und dass der Punkt $P (8 | 0)$ auf dem Graphen liegt. Zunächst ist nur zu zeigen, dass $b = 1$ ist.
Schaue dir bei solchen Aufgaben immer genau die Funktionsgleichung an, dann stellst du fest, dass du drei unbekannte Größen hast, nämlich $y, x$ und $b$ . Der Punkt $P$ besteht aus einer $x -$ und einer $y -$ Koordinate, daher ist es naheliegend, den Punkt in die Gleichung einzusetzen.
$\Rightarrow b = 1$
Definitionsmenge von Funktionen
In den Logarithmus darf man nur positive Zahlen einsetzen. Falls du das nicht mehr weißt, kannst du das im Artikel zum Logarithmus nochmal nachlesen.
Unsere Funktion $y = - l o g_{3} (x + 1) + 2$ ist also genau dann definiert, wenn der Ausdruck in der Klammer $x + 1$ positiv ist. Dafür musst du mit einer Ungleichung arbeiten.
$x + 1 > 0 | - 1$
$x > - 1$
Die Funktion $f_{1}$ ist also für alle $x > - 1$ definiert.
Formell: $𝔻 = {x | x > - 1}$
Zeichnen von Funktionen
Um die Funktion zu zeichnen, tippst du die Funktion in deinen Taschenrechner ein, um eine Wertetabelle zu erhalten und zeichnest anschließend $f_{1}$ .
Der Graf von f1 in ein Koordinatensystem eingezeichnet
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Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = 2$ und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y = - 2 \cdot {log}_{3} (x) + 4,5$ hat $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.
(4 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe b
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ 2 \cdot y \end{array}) = (\begin{array}{c} x^{'} \\ 2 \cdot (- l o g_{3} (x + 1) + 2) \end{array})$
$\Rightarrow y^{'} = - 2 \cdot l o g_{3} (x + 1) + 4$
Die orthogonale Affinität ist eine senkrechte Streckung des Graphen. Da die $x -$ Achse die Affinitätsachse ist, bleibt diese fest, der Affinitätsfaktor ist $2$ .
$(\begin{array}{c} x^{''} \\ y^{''} \end{array}) = (\begin{array}{c} x^{'} \\ - 2 \cdot l o g_{3} (x^{'} + 1) + 4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array})$
Die Parallelverschiebung bildet jeden Punkt der Funktion entlang eines Verschiebungsvektors ab. Gehe dabei wie folgt vor:
$x^{''} = x^{'} + v_{x}$
$y^{''} = y^{'} + v_{y}$
Setze $y^{'} = - 2 \cdot l o g_{3} (x^{'} + 1) + 4$ in das Gleichungssystem ein.
$x^{''} = x^{'} + v_{x}$
$y^{''} = - 2 \cdot l o g_{3} (x^{'} + 1) + 4 + v_{y}$
Setze die Koordinaten des Vektors $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array})$ in das Gleichungssystem ein.
$x^{''} = x^{'} + 1$
$y^{''} = - 2 \cdot l o g_{3} (x^{'} + 1) + 4 + 0,5$
Löse die erste Gleichung nach $x^{'}$ auf
$x^{'} = x^{''} - 1$
$y^{''} = - 2 \cdot l o g_{3} (x^{'} + 1) + 4,5$
Setze das berechnete $x^{'} = x^{''} - 1$ in die zweite Gleichung ein.
$\Rightarrow y^{''} = - 2 \cdot l o g_{3} (x^{''} - 1 + 1) + 4,5 = - 2 \cdot l o g_{3} (x^{''}) + 4,5$
$\Rightarrow f_{2} : y = - 2 \cdot l o g_{3} (x) + 4,5$
Zeichne nun den Graphen von $f_{2}$ wie in der vorherigen Aufgabe in das Koordinatensystem ein.
Die Grafen der Logarithmusfunktionen f1 und f2 im Koordinatensystem eingezeichnet
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Punkte $A_{n} (x | - {log}_{3} (x + 1) + 2)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $D_{n} (x | - 2 \cdot {log}_{3} (x) + 4,5)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind zusammen mit den Punkten $B_{n}$ und $C_{n}$ für $0 < x < 16,53$ die Eckpunkte von Trapezen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Es gilt: $A_{n} B_{n} = 2 LE$ ; $∢ B_{n} A_{n} D_{n} = 90^{\circ}$ ; $∢ A_{n} D_{n} C_{n} = 125^{\circ}$ ; $[A_{n} D_{n}] | | [B_{n} C_{n}]$ .
Zeichnen Sie die Trapeze $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.
(2 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe c
Einzeichnen der Trapeze
Du kannst das gleiche Schema für $x = 1$ und $x = 5,5$ anwenden.
1. Zeichne zuerst die gegebenen Punkte $A_{n}$ und $D_{n}$ ein. ( $A_{1} (1 | 1,37), A_{2} (5,5 | 0,30), D_{1} (1 | 4,5), D_{2} (5,5 | 1,40)$ )
2. Zeichne eine parallele Hilfsgerade $h$ zur $x$ -Achse auf der Höhe von $A_{n}$ ein, so entsteht der $90^{\circ}$ -Winkel $∢ B_{n} A_{n} D_{n}$ .
3. Gehe nun auf der Hilfsgerade $h$ von $A_{n}$ $2 cm$ nach rechts und zeichne den Punkt $B_{n}$ ein.
4. Zeichne den $125^{\circ}$ -Winkel $∢ A_{n} D_{n} C_{n}$ ein.
5. Konstruiere ein Lot auf die Hilfsgerade $h$ durch den Punkt $B_{n}$ .
6. Der Schnittpunkt mit der Geraden, die durch den $125^{\circ}$ -Winkel entstanden ist, ergibt den Punkt $C_{n}$ .
Es ergeben sich die Parallelen $[A_{n} D_{n}]$ und $[B_{n} C_{n}]$ .
Trapeze A1B1C1D1 und A2B2C2D2 eingezeichnet in das Koordinatensystem
Die Abbildung zeigt die Trapeze $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ .
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Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $B_{n} C_{n} (x) = ({log}_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 3,90) LE$ .
$[Teilergebnis : A_{n} D_{n} (x) = ({log}_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 2,5) LE]$
(3 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe d
Länge der Strecke $[B_{n} C_{n}]$
Bestimme die Länge der Strecken $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von $x$ . Zu Veranschaulichungszwecken betrachte das Trapez $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} .$
Trapez 1
In der Abbildung kannst du erkennen, dass die Strecke $[B_{n} C_{n}]$ aufgeteilt werden kann in $[B_{n} G_{n}]$ und $[G_{n} C_{n}]$ . Du wählst die Strecke $D_{n} G_{n}$ , sodass ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck entstehen. Nach der Definition eines Rechtecks ist die Länge Strecke $[A_{n} D_{n}]$ gleich der Strecke $[B_{n} G_{n}]$ .
Berechne die Länge der Strecke $[A_{n} D_{n}]$ . Ziehe dazu die $y$ -Koordinate von $A_{n}$ von der $y$ -Koordinate $D_{n}$ ab. Benutze dazu die Rechenregeln mit dem Logarithmus.
$A_{n} D_{n} (x) = [(- 2) \cdot \log_{3} (x) + 4,5 - (- \log_{3} (x + 1) + 2)] L E$
$= [\log_{3} (x + 1) - \log_{3} (x^{2}) + 2,5] L E$
$= [\log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 2,5] L E$
Dies entspricht der Länge der Strecke $[B_{n} G_{n}]$ .
Berechne die Länge der Strecke $[G_{n} C_{n}]$ . Der obere Teil deines Trapezes ist ein rechtwinkliges Dreieck, deshalb kannst du die Länge der Strecke $[G_{n} C_{n}]$ mit dem Tangens berechnen. Berechne die Größe von $α_{1}$ , das heißt von dem Teil von $α$ ⁣, der im Dreieck liegt.
$α_{1} = α - 90^{\circ} = 125^{\circ} - 90^{\circ} = 35^{\circ}$
Die Größe von $α_{1}$ beträgt $35^{\circ}$ .
Stelle die Gleichung von Tangens von $α_{1}$ auf.
$\tan (35^{\circ}) = \frac{G_{n} C_{n}}{D_{n} G_{n}} = \frac{G_{n} C_{n}}{A_{n} B_{n}} = \frac{G_{n} C_{n}}{2}$
Dass die Länge der Strecke $[D_{n} G n]$ gleich der Strecke $[A_{n} B_{n}]$ ist, folgt aus der Definition eines Rechtecks.
Löse die Gleichung nach der gesuchten Länge auf.
$\tan (35^{\circ}) = \frac{G_{n} C_{n}}{2} | \cdot 2$
$G_{n} C_{n} = 2 \cdot \tan (35^{\circ})$
Berechne die Länge der Strecke $[B_{n} C_{n}]$ , indem du die Längen der Strecken $[G_{n} C_{n}]$ und $[B_{n} G_{n}]$ addierst.
$B_{n} C_{n} (x) = [\log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 2,5 + 2 \tan (35^{\circ})] L E = [\log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 3,9] L E$
Die Länge der Strecke $[B_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von $x$ beschreibt $[\log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 3,9] L E$ .
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Bestätigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Trapeze $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A (x) = (2 \cdot {log}_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 6,40) FE$ .
(1 Punkt)

Lösung zur Teilaufgabe e
Flächeninhalt des Trapezes
Berechne den Flächeninhalt von dem Trapez $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Zu Veranschaulichungszwecken wird die Abbildung des Trapezes $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ benutzt.
Drehe in Gedanken dein Trapez um $90 °$ nach rechts, um die parallelen Seiten übereinander zu haben.
gedrehtes Trapez
Setze in die Formel für den Trapezflächeninhalt ein und vereinfache anschließend durch Ausklammern.
$A (x) = \frac{b + d}{2} \cdot h$
$= \frac{1}{2} \cdot (\log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 3,9 + \log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 2,5) \cdot 2 F E$
$= 2 \cdot \log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + (3,9 + 2,5) F E$
$= 2 \cdot \log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 6,4 F E$
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Das Trapez $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ hat einen Flächeninhalt von $8 FE$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $A_{3}$ .

(3 Punkte)

2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das Rechteck $A B C D$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ . Der Punkt $E$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[A D]$ , der Punkt $F$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[B C]$ . Die Spitze $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $E$ .
Es gilt: $A B = 6,5 cm; A D = 8 cm; E S = 5,5 cm$
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei $[E F]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $E$ links vom Punkt $F$ liegen soll.
  Für die Zeichnung: $q = \frac{1}{2}; ω = 45^{\circ}$
  Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[F S]$ sowie das Maß des Winkels $S F E$ .
  $[Ergebnisse: F S = 8,51 cm; ∢ S F E = {40,24}^{\circ}]$
  (4 Punkte)
  
  Lösung zur Teilaufgabe a
  Schrägbild der Pyramide
  Im ersten Schritt zeichnest du die Strecke $[A B]$ und legst an diese Strecke im Punkt $A$ den Winkel $ω = 45^{\circ}$ an. Zeichne nun an diesen Winkel die Strecke $[A D]$ an. Die Strecke $[A D]$ hat in deiner Zeichnung die Länge $4 c m$ , da der Streckungsfaktor $q = \frac{1}{2}$ ist.
  Im nächsten Schritt zeichnest du die Strecke $[D C]$ parallel zur Strecke $[A B]$ und $[B C]$ parallel zu $[A D]$ ein. Außerdem zeichnest du $E$ , den Mittelpunkt der Strecke $[A D]$ , mithilfe der Mittelsenkrechten. Zudem zeichnest du $F$ , den Mittelpunkt der Strecke $[B C]$ , ein.
  Danach zeichnest du die Strecke $E S = 5,5 c m$ ein. Diese steht senkrecht auf der Strecke $[E F]$ und hat in der Abbildung keine Streckung oder Stauchung, da sie parallel zur Bildebene verläuft. Im letzten Schritt verbindest du alle Eckpunkte der Grundfläche ( $A, B, C, D$ ) mit der Spitze $S$ .
  Länge der Strecke $F S$
  Außerdem ist die Länge der Strecke $F S$ gesucht.
  Diese berechnest du mithilfe vom Satz des Pythagoras und dem rechtwinkligen Dreieck $E F S$ , wobei $[F S]$ die Hypotenuse ist.
  $a^{2} + b^{2}$ $=$ $c^{2}$
  $(E F)^{2} + (E S)^{2}$ $=$ $(F S)^{2}$ $\sqrt{}$
  $\sqrt{(E F)^{2} + (E S)^{2}}$ $=$ $F S$
  ↓
  Setze die Strecken $[E F]$ und $[E S]$ ein.
  $\sqrt{(6,5 c m)^{2} + (5,5 c m)^{2}}$ $=$ $F S$
  ↓
  Berechne
  $F S$ $=$ $\sqrt{72,5 c m^{2}}$
  $\approx$ $8,51 c m$
  Die Länge der Strecke $[F S]$ beträgt $8,51 c m$ .
  Maß des Winkels SFE
  Bei der Berechnung des Winkels sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens hilfreich.
  $t a n α = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e} = \frac{S E}{E F} = \frac{5,5 c m}{6,5 c m} = \frac{5,5}{6,5}$
  $α = \tan^{- 1} (\frac{5,5}{6,5}) \approx {40,24}^{\circ}$
  Das Maß des Winkel $S F E$ beträgt also ungefähr ${40,24}^{\circ}$ .
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2. Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[F S]$ und bilden zusammen mit dem Punkt $G \in [E F]$ Winkel $F G P_{n}$ mit dem Maß $φ \in] 0^{\circ}; {118,61}^{\circ} [$ . Es gilt: $E G = 3 cm$ .
  Die Punkte $P_{n}$ sind die Spitzen von Pyramiden $B C G P_{n}$ mit der Grundfläche $B C G$ und den Höhen $[P_{n} L_{n}]$ mit $L_{n} \in [E F]$ . Zeichnen Sie die Pyramide $B C G P_{1}$ für $φ = 110^{\circ}$ und die zugehörige Höhe $[P_{1} L_{1}]$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.
  (2 Punkte)
  
  Lösung zur Teilaufgabe b
  Einzeichnen der Pyramide $B C G P_{1}$
  Im ersten Schritt zeichnest du den Punkt G in deine Zeichnung ein. Es ist gegeben, dass $G$ auf der Strecke $[E F]$ liegt und zusätzlich ist gegeben, dass die Strecke $[E G]$ die Länge $3 c m$ hat. Das heißt $G$ liegt auf $[E F]$ und hat von $E$ den Abstand $3 c m$ .
  Im zweiten Schritt legst du an die Strecke $[G F]$ im Punkt $G$ den Winkel $φ = 110^{\circ}$ an und zeichnest an diesen Winkel die Strecke $[G P_{1}]$ , wobei der Punkt $P_{1}$ auf der Strecke $[F S]$ liegt.
  Somit hast du alle Eckpunkte der Pyramide, nun musst du nur noch diese Punkte verbinden. Zeichnen also die Kanten $B G, G C, G P_{1}, B P_{1},$ und $C P_{1}$ ein.
  Zuletzt zeichnest du noch die Höhe der Pyramide $B C G P_{1}$ in deine Zeichnung ein. Dazu fällst du das Lot von der Spitze der Teilpyramide $P_{1}$ auf die Strecke $[E F]$ und erhältst somit die Höhe $h_{1}$ .
  kleine Pyramide BCGP1 in der großen Pyramide ABCDS
  Das rote Körper in der Abbildung stellt die Pyramide $B C G P_{1}$ dar.
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3. Begründen Sie die obere Intervallgrenze für $φ$ .
  (2 Punkte)
  
  Lösung zur Teilaufgabe c
  Obere Grenze von $φ$
  Der Winkel $φ$ ist der Winkel $∢ F G P_{n}$ und den größten Winkel $φ$ erhält man, wenn $P_{n} = S$ ist, also gilt für die obere Grenze der Winkel $∢ F G S$ . Das kannst du ausprobieren, indem du den Schieberegler in dem obigen Applet bewegst.
  Nun musst du den Winkel $∢ F G S$ bestimmen. Aus Teilaufgabe b) weißt du, dass $φ \in] 0^{\circ}; {118,61}^{\circ} [$ , das heißt $φ$ hat die obere Grenze ${118,61}^{\circ}$ . Und da die obere Grenze von $φ$ dem Winkel $∢ F G S$ entspricht, musst du nur noch nachrechnen, dass $∢ F G S = {118,61}^{\circ}$ ist.
  Dafür nutzt du die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.
  Außerdem ist der Winkel $∢ F G S$ der Nebenwinkel von $∢ S G E$ und deshalb gilt für $∢ F G S = 180^{\circ} - ∢ S G E$ . Im Folgenden wird der Winkel $∢ S G E$ als $β$ bezeichnet.
  Dreiecke EGS und GFS und die Winkel phi und der Nebenwinkel von phi im Koordinatensystem eingetragen
  $t a n β = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e} = \frac{5,5 c m}{3 c m} = \frac{11}{6}$
  $β = \tan^{- 1} (\frac{11}{6}) \approx {61,39}^{\circ}$
  Nun bestimmst du $∢ F G S$ , den Nebenwinkel von $β$ , indem du $180 ° - β$ rechnest.
  $∢ F G S = 180^{\circ} - β = 180^{\circ} - {61,39}^{\circ} = {118,61}^{\circ}$
  Somit ist die obere Intervallgrenze von $φ = {118,61}^{\circ}$ .
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4. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[G P_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
  $G P_{n} (φ) = \frac{2,26}{sin (φ + {40,24}^{\circ})}$
  (2 Punkte)
  
  Lösung zur Teilaufgabe d
  Länge der Strecke $G P_{n}$
  Zur Bestimmung der Länge der Strecke $G P_{n}$ nimmst du den Sinussatz zu Hilfe. Mithilfe dessen stellst du folgende Gleichung auf:
  $\frac{G P_{n}}{∢ P_{n} F G} = \frac{G F}{∢ G P_{n} F}$
  Dreieck GFPn und dessen Winkel
  Nun setzt du Schritt für Schritt ein. Und formst anschließend nach $G P_{n}$ um.
  Der Winkel $∢ S F E$ entspricht dem Winkel $∢ P_{n} F G$ und deshalb gilt: $∢ S F E = ∢ P_{n} F G = {40,24}^{\circ}$ .
  $\frac{G P_{n}}{{40,24}^{\circ}} = \frac{G F}{∢ G P_{n} F}$
  Die Strecke $G F$ ist einfach $E F - E G = 6,5 c m - 3 c m = 3,5 c m$ .
  $\frac{G P_{n}}{{40,24}^{\circ}} = \frac{3,5 c m}{∢ G P_{n} F}$
  Nun bestimmst du noch den Winkel $∢ G P_{n} F$ in Abhängigkeit von $φ$ . Dafür nutzt du, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer $180 °$ ist. Deshalb ist der Winkel $∢ G P_{n} F$ gegeben durch $∢ G P_{n} F = 180^{\circ} - ∢ P_{n} F G - φ = 180^{\circ} - {40,24}^{\circ} - φ$ .
  $\frac{G P_{n}}{\sin ({40,24}^{\circ})} = \frac{3,5 c m}{\sin (180^{\circ} - {40,24}^{\circ} - φ)}$
  Nun multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit $s i n ({40,24}^{\circ})$ und rundest auf Zweinachkommastellen .
  $G P_{n} = \frac{2,26 c m}{\sin (180^{\circ} - {40,24}^{\circ} - φ)}$
  Außerdem gilt $s i n (α) = s i n (180^{\circ} - α)$ . Deshalb klammerst du im nächsten Schritt $180^{\circ} - α$ aus und erhältst:
  $G P_{n} = \frac{2,26 c m}{\sin (180^{\circ} - ({40,24}^{\circ} + φ))}$
  Nun wendest du noch $s i n (α) = s i n (180^{\circ} - α)$ an. Das heißt du kannst das $180^{\circ} -$ einfach weglassen.
  $G P_{n} = \frac{2,26 c m}{\sin ({40,24}^{\circ} + φ)}$
  Somit hast du gezeigt, dass die Länge der Strecke $G P_{n} = \frac{2,26 c m}{\sin ({40,24}^{\circ} + φ)}$ ist.
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5. Berechnen Sie das Volumen $V$ der Pyramiden $B C G P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ .
  $[Ergebnis: V (φ) = \frac{10,55 \cdot sin φ}{sin (φ + {40,24}^{\circ}} {cm}^{3}]$
  (3 Punkte)
  
  Lösung zur Teilaufgabe e
  Volumen der Pyramide $B C G P_{n}$
  Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.
  Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch $V_{P y r a m i d e} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
  Grundfläche der Pyramide $B C G P_{n}$
  Pyramiden ABCDS und GBCPn
  Das obige Schrägbild entspricht der Lösung aus Teilaufgabe b).
  Die Grundfläche unserer Pyramide ist das Dreieck $B C G$ . Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich berechnen durch $A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
  Als Grundlinie $g$ legst du die Strecke $B C = 8 c m$ fest und als Höhe $h$ die Strecke $G F = 3,5 c m$ . Diese setzt du nun in die Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks ein:
  $A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot G F = \frac{1}{2} \cdot 8 c m \cdot 3,5 c m = 14 c m^{2}$
  Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide $B C G P_{n}$ ist $14 c m^{2}$ .
  Die Höhe der Pyramide $B C G P_{n}$
  Die Höhe der Pyramide ist die Strecke $[P_{n} L_{n}]$ . Diese bestimmst du mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Die Strecke $[L_{n} P_{n}]$ bestimmst du mit $s i n (β) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$ , wobei die Gegenkathete die Strecke $[P_{n} L_{n}]$ ist und $[G P_{n}]$ die Hypotenuse ist. Außerdem ist der Winkel $β$ Nebenwinkel von $φ$ und somit gilt: $β = 180^{\circ} - φ$ .
  $s i n (β) = s i n (180 - φ) = \frac{P_{n} L_{n}}{G P_{n}}$
  Nun stellst du die Gleichung so um, dass $P_{n} L_{n}$ auf einer Seite steht und setzt anschließend ein.
  $s i n (180 - φ)$ $=$ $\frac{P_{n} L_{n}}{G P_{n}}$ $\cdot G P_{n}$
  $P_{n} L_{n}$ $=$ $\sin (180^{\circ} - φ) \cdot G P_{n}$
  ↓
  $s i n (180^{\circ} - φ) = s i n (φ)$
  $P_{n} L_{n}$ $=$ $\sin (φ) \cdot G P_{n}$
  ↓
  Setze $[G P_{n}]$ aus Teilaufgabe d) ein.
  $=$ $\sin (φ) \cdot \frac{2,26}{\sin (φ + {40,24}^{\circ})}$
  Die Höhe der Pyramide ist $h = \sin (φ) \cdot \frac{2,26}{\sin (φ + {40,24}^{\circ})} c m$ .
  Volumen der Pyramide
  Nun setzt du die einzelnen Teilergebnisse in die Formel für das Volumen der Pyramide ein.
  $V_{P y r a m i d e} (φ) = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
  $= \frac{1}{3} \cdot 14 c m^{2} \cdot \sin (φ) \cdot \frac{2,26}{\sin (φ + {40,24}^{\circ})} c m$
  $= 10,55 \cdot \frac{\sin (φ)}{\sin (φ + {40,24}^{\circ})} c m^{3}$
  Das Volumen der Pyramide $B C G P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ ist $V_{P y r a m i d e} (φ) = 10,55 \cdot \frac{\sin (φ)}{\sin (φ + {40,24}^{\circ})} c m^{3}$ .
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6. Das Dreieck $G F P_{2}$ ist gleichschenklig mit der Basis $[F P_{2}]$ . Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $B C G P_{2}$ am Volumen der Pyramide $A B C D S$ .
  (4 Punkte)Lösung zur Teilaufgabe B 2.1
  
  Lösung zur Teilaufgabe f
  Prozentuale Anteil von $B C G P_{2}$ an $A B C D S$
  Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.
  $V_{A B C D S}$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
  $=$ $\frac{1}{3} \cdot (A B \cdot A C) \cdot E S$
  $=$ $\frac{1}{3} \cdot (6,5 \cdot 8) \cdot 5,5$
  $=$ $95,33 c m^{3}$
  Das Volumen der Pyramide ABCDS hat das Volumen $95,33 c m^{3}$ .
  Volumen der Pyramide $B C G P_{2}$
  Gegeben ist, dass das $G F P_{2}$ ein gleichschenkliges Dreieck ist. Deshalb ist der Winkel $∢ P_{2} F G = ∢ G P_{2} F = {40,24}^{\circ}$ .
  Nun berechnest du $φ$ mithilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck. $φ = 180^{\circ} - ∢ P_{2} F G - ∢ G P_{2} F = 180^{\circ} - {40,24}^{\circ} - {40,24}^{\circ} = {99,52}^{\circ}$
  Nun nutzt die Ergebnisse aus Teilaufgabe e). Dort hast du festgestellt, dass das Volumen in Abhängigkeit von $φ$ ist:
  $V (φ) = \frac{10,55 \cdot \sin (φ)}{\sin (φ + {40,24}^{\circ})} c m^{3}$
  $V_{B C G P_{2}} = V ({99,52}^{\circ}) = \frac{10,55 \cdot \sin ({99,52}^{\circ})}{\sin ({99,52}^{\circ} + {40,24}^{\circ})} c m^{3} \approx 16,11 c m^{3}$
  Das Volumen der Pyramide $B C G P_{2}$ beträgt ungefähr $16,11 c m^{3}$ .
  Prozentualer Anteil
  Gesucht ist der Prozentsatz $p$ . Diesen erhältst du, indem du den Prozentwert $W$ durch den Grundwert $G$ teilst.
  $p = \frac{W}{G} = \frac{V_{B C G P_{2}}}{V_{A B C D S}} = \frac{16,11 c m^{3}}{95,33 c m^{3}} \approx 0,1690 = 16,90 %$
  Das Volumen der Pyramide $B C G P_{2}$ nimmt circa $16,90 %$ des Volumens der Pyramide $A B C D S$ ein.
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$A (x)$	$=$	$8$
$2 \cdot \log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}}) + 6,4$	$=$	$8$	$- 6,4$
$2 \cdot \log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}})$	$=$	$1,6$	$: 2$
$\log_{3} (\frac{x + 1}{x^{2}})$	$=$	$\frac{4}{5}$
	↓	Löse mit der Definition des Logarithmus. Stelle demnach um mit der Regel: $\log_{b} (x) = c \Leftrightarrow x = b^{c}$
$\frac{x + 1}{x^{2}}$	$=$	$3^{\frac{4}{5}}$	$\cdot x^{2}$
$x + 1$	$=$	$3^{\frac{4}{5}} \cdot x^{2}$	$- (x + 1)$
$0$	$=$	$3^{\frac{4}{5}} x^{2} - x - 1$

$a^{2} + b^{2}$	$=$	$c^{2}$
$(E F)^{2} + (E S)^{2}$	$=$	$(F S)^{2}$	$\sqrt{}$
$\sqrt{(E F)^{2} + (E S)^{2}}$	$=$	$F S$
	↓	Setze die Strecken $[E F]$ und $[E S]$ ein.
$\sqrt{(6,5 c m)^{2} + (5,5 c m)^{2}}$	$=$	$F S$
	↓	Berechne
$F S$	$=$	$\sqrt{72,5 c m^{2}}$
	$\approx$	$8,51 c m$

$s i n (180 - φ)$	$=$	$\frac{P_{n} L_{n}}{G P_{n}}$	$\cdot G P_{n}$
$P_{n} L_{n}$	$=$	$\sin (180^{\circ} - φ) \cdot G P_{n}$
	↓	$s i n (180^{\circ} - φ) = s i n (φ)$
$P_{n} L_{n}$	$=$	$\sin (φ) \cdot G P_{n}$
	↓	Setze $[G P_{n}]$ aus Teilaufgabe d) ein.
	$=$	$\sin (φ) \cdot \frac{2,26}{\sin (φ + {40,24}^{\circ})}$

$V_{A B C D S}$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (A B \cdot A C) \cdot E S$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (6,5 \cdot 8) \cdot 5,5$
	$=$	$95,33 c m^{3}$

Nachtermin Teil B

Lösung zur Teilaufgabe a

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Definitionsmenge von Funktionen

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Länge der Strecke $F S$

Einzeichnen der Pyramide $B C G P_{1}$

Obere Grenze von $φ$

Länge der Strecke $G P_{n}$

Volumen der Pyramide $B C G P_{n}$

Grundfläche der Pyramide $B C G P_{n}$

Die Höhe der Pyramide $B C G P_{n}$

Prozentuale Anteil von $B C G P_{2}$ an $A B C D S$

Volumen der Pyramide $B C G P_{2}$