Nachtermin Teil B

Lösung zur Teilaufgabe a

Berechnungen an Funktionen

Über $f_1$ weißt du, dass sie die Gleichung $y=-log_3(x+b)+2$ hat und dass der Punkt $P(8|0)$ auf dem Graphen liegt. Zunächst ist nur zu zeigen, dass $b=1$ ist.

Schaue dir bei solchen Aufgaben immer genau die Funktionsgleichung an, dann stellst du fest, dass du drei unbekannte Größen hast, nämlich $y,x$ und $b$. Der Punkt $P$ besteht aus einer $x-$ und einer $y-$Koordinate, daher ist es naheliegend, den Punkt in die Gleichung einzusetzen.

$\def\arraystretch{1.25}$

$\Rightarrow b=1$

Definitionsmenge von Funktionen

In den Logarithmus darf man nur positive Zahlen einsetzen. Falls du das nicht mehr weißt, kannst du das im Artikel zum Logarithmus nochmal nachlesen.

Unsere Funktion $y=-log_3(x+1)+2$ ist also genau dann definiert, wenn der Ausdruck in der Klammer $x+1$ positiv ist. Dafür musst du mit einer Ungleichung arbeiten.

$x+1 > 0\hspace{2cm}|-1$

$x>-1$

Die Funktion $f_1$ ist also für alle $x>-1$ definiert.

Formell: $\mathbb{D}=\{ {x|x>-1} \}$

Zeichnen von Funktionen

Um die Funktion zu zeichnen, tippst du die Funktion in deinen Taschenrechner ein, um eine Wertetabelle zu erhalten und zeichnest anschließend $f_1$.

Lösung zur Teilaufgabe b

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ 2\cdot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x' \\ 2 \cdot (-log_3(x+1)+2) \end{pmatrix}$

$\Rightarrow y'=-2 \cdot log_3(x+1)+4$

Die orthogonale Affinität ist eine senkrechte Streckung des Graphen. Da die $x-$Achse die Affinitätsachse ist, bleibt diese fest, der Affinitätsfaktor ist $2$.

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x' \\ -2 \cdot log_3(x'+1)+4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}$

Die Parallelverschiebung bildet jeden Punkt der Funktion entlang eines Verschiebungsvektors ab. Gehe dabei wie folgt vor:

$x''=x'+v_x$

$y''=y'+v_y$

Setze $y'=-2 \cdot log_3(x'+1)+4$ in das Gleichungssystem ein.

$x''=x'+v_x$

$y''=-2 \cdot log_3(x'+1)+4+v_y$

Setze die Koordinaten des Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}$ in das Gleichungssystem ein.

$x''=x'+1$

$y''=-2 \cdot log_3(x'+1)+4+0{,}5$

Löse die erste Gleichung nach $x'$ auf

$x'=x''-1$

$y''=-2 \cdot log_3(x'+1)+4{,}5$

Setze das berechnete $x'=x''-1$ in die zweite Gleichung ein.

$\Rightarrow y''=-2 \cdot log_3(x''-1+1)+4{,}5 =-2 \cdot log_3(x'')+4{,}5$

$\Rightarrow f_2: y=-2 \cdot log_3(x)+4{,}5$

Zeichne nun den Graphen von $f_2$ wie in der vorherigen Aufgabe in das Koordinatensystem ein.

Lösung zur Teilaufgabe c

Einzeichnen der Trapeze

Du kannst das gleiche Schema für $x=1$ und $x=5{,}5$ anwenden.

1. Zeichne zuerst die gegebenen Punkte $A_n$ und $D_n$ ein. ($A_1(1|1{,}37), A_2(5{,}5|0{,}30), D_1(1|4{,}5), D_2(5{,}5|1{,}40)$)

2. Zeichne eine parallele Hilfsgerade $h$ zur $x$-Achse auf der Höhe von $A_n$ ein, so entsteht der $90^\circ$-Winkel $\sphericalangle B_nA_nD_n$.

3. Gehe nun auf der Hilfsgerade $h$ von $A_n$ $2\;\mathrm{cm}$ nach rechts und zeichne den Punkt $B_n$ ein.

4. Zeichne den $125^\circ$-Winkel $\sphericalangle A_nD_nC_n$ ein.

5. Konstruiere ein Lot auf die Hilfsgerade $h$ durch den Punkt $B_n$.

6. Der Schnittpunkt mit der Geraden, die durch den $125^\circ$-Winkel entstanden ist, ergibt den Punkt $C_n$.

Es ergeben sich die Parallelen $[A_nD_n]$ und $[B_nC_n]$.

Die Abbildung zeigt die Trapeze $A_1B_1C_1D_1$ und $A_2B_2C_2D_2$.

Lösung zur Teilaufgabe d

Länge der Strecke $[B_nC_n]$

Bestimme die Länge der Strecken $[B_nC_n]$ in Abhängigkeit von $x$. Zu Veranschaulichungszwecken betrachte das Trapez $A_1B_1C_1D_1.$

In der Abbildung kannst du erkennen, dass die Strecke $[B_nC_n]$ aufgeteilt werden kann in $[B_nG_n]$ und $[G_nC_n]$. Du wählst die Strecke $D_nG_n$, sodass ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck entstehen. Nach der Definition eines Rechtecks ist die Länge Strecke $[A_nD_n]$ gleich der Strecke $[B_nG_n]$.

Berechne die Länge der Strecke $[A_nD_n]$. Ziehe dazu die $y$-Koordinate von $A_n$ von der $y$-Koordinate $D_n$ ab. Benutze dazu die Rechenregeln mit dem Logarithmus.

$\overline{A_nD_n}(x)=\left[(-2)\cdot\log_3\left(x\right)+4{,}5-(-\log_3\left(x+1\right)+2)\right]LE$

$=\left[\log_3\left(x+1\right)-\log_3\left(x^2\right)+2{,}5\right]LE$

$=\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+2{,}5\right]LE$

Dies entspricht der Länge der Strecke $[B_nG_n]$.

Berechne die Länge der Strecke $[G_nC_n]$. Der obere Teil deines Trapezes ist ein rechtwinkliges Dreieck, deshalb kannst du die Länge der Strecke $[G_nC_n]$ mit dem Tangens berechnen. Berechne die Größe von $\alpha_1$, das heißt von dem Teil von $\alpha$⁣, der im Dreieck liegt.

$\alpha_1=\alpha-90^\circ=125^\circ-90^\circ=35^\circ$

Die Größe von $\alpha_1$ beträgt $35^\circ$.

Stelle die Gleichung von Tangens von $\alpha_1$ auf.

$\tan\left(35^\circ\right)=\displaystyle\frac{\overline{G_nC_n}}{\overline{D_nG_n}}=\frac{\overline{G_nC_n}}{\overline{A_nB_n}}=\frac{\overline{G_nC_n}}2$

Dass die Länge der Strecke $[D_nGn]$ gleich der Strecke $[A_nB_n]$ ist, folgt aus der Definition eines Rechtecks.

Löse die Gleichung nach der gesuchten Länge auf.

$\tan\left(35^\circ\right)=\dfrac{\overline{G_nC_n}}2\;\;\;\left|\cdot2\right.$

$\overline{G_nC_n}=2\cdot\tan(35^\circ)$

Berechne die Länge der Strecke $[B_nC_n]$, indem du die Längen der Strecken $[G_nC_n]$ und $[B_nG_n]$ addierst.

$\overline{B_nC_n}(x)=\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+2{,}5+2\;\tan(35^\circ)\right]LE=\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+3{,}9\right]LE$

Die Länge der Strecke $\lbrack B_nC_n\rbrack$ in Abhängigkeit von $x$ beschreibt $\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+3{,}9\right]LE$.

Lösung zur Teilaufgabe e

Flächeninhalt des Trapezes

Berechne den Flächeninhalt von dem Trapez $A_nB_nC_nD_n$. Zu Veranschaulichungszwecken wird die Abbildung des Trapezes $A_1B_1C_1D_1$ benutzt.

Drehe in Gedanken dein Trapez um $90°$ nach rechts, um die parallelen Seiten übereinander zu haben.

Setze in die Formel für den Trapezflächeninhalt ein und vereinfache anschließend durch Ausklammern.

$A\left(x\right)=\frac{b+d}2\cdot h$

$=\frac12\cdot\left(\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+3{,}9+\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+2{,}5\right)\cdot2\;FE$

$=2\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+(3{,}9+2{,}5)\;FE$

$=2\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+6{,}4\;FE$

Lösung zur Teilaufgabe f

Bestimmung der Koordinaten von $A_3$

Setze $A(x)$ gleich $8$ und löse nach $x$ auf.

Setze in die Mitternachtsformel ein.

$x_{1{,}2}=\displaystyle\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot3^{\frac45}\cdot(-1)}}{2\cdot3^{\frac45}}$

$x_1=-0{,}47\;\;\;\;\;\;x_2=0{,}88$

Da $x$ größer $0$ sein muss, kommt nur $x_2$ infrage. Der Grund dafür ist, dass der Logarithmus nicht für negative Zahlen definiert ist.

Berechne die $y$-Koordinate für $x_2$. Setze dafür $x_2$ in $f_1$ ein. $f_1(x_2)=f_1(0{,}88)=-\log_3\left(0{,}88+1\right)+2=-\log_3\left(1{,}88\right)+2=1{,}43$

$A_3$ muss der Punkt $(0{,}88\vert 1{,}43)$ sein.

Lösung zur Teilaufgabe a

Schrägbild der Pyramide

Im ersten Schritt zeichnest du die Strecke $[AB]$ und legst an diese Strecke im Punkt $A$ den Winkel $\omega=45^\circ$ an. Zeichne nun an diesen Winkel die Strecke $[AD]$ an. Die Strecke $[AD]$ hat in deiner Zeichnung die Länge $4\;cm$, da der Streckungsfaktor $\displaystyle q=\frac12$ ist.

Im nächsten Schritt zeichnest du die Strecke $[DC]$ parallel zur Strecke $[AB]$ und $[BC]$ parallel zu $[AD]$ ein. Außerdem zeichnest du $E$, den Mittelpunkt der Strecke $[AD]$, mithilfe der Mittelsenkrechten. Zudem zeichnest du $F$, den Mittelpunkt der Strecke $[BC]$, ein.

Danach zeichnest du die Strecke $\overline{ES}=5{,}5\;cm$ ein. Diese steht senkrecht auf der Strecke $[EF]$ und hat in der Abbildung keine Streckung oder Stauchung, da sie parallel zur Bildebene verläuft. Im letzten Schritt verbindest du alle Eckpunkte der Grundfläche ($A, B, C, D$) mit der Spitze $S$.

Länge der Strecke $\overline{FS}$

Außerdem ist die Länge der Strecke $\overline{FS}$ gesucht.

Diese berechnest du mithilfe vom Satz des Pythagoras und dem rechtwinkligen Dreieck $EFS$, wobei $[FS]$ die Hypotenuse ist.

Die Länge der Strecke $[FS]$ beträgt $8{,}51\;cm$.

Maß des Winkels SFE

Bei der Berechnung des Winkels sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens hilfreich.

$\displaystyle tan\;\alpha\;=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{\overline{SE}}{\overline{EF}}=\frac{5{,}5\;cm}{6{,}5\;cm}\;=\frac{5{,}5}{6{,}5}$

$\displaystyle \alpha\;=\;\tan^{-1}(\frac{5{,}5}{6{,}5})\;\approx\;40{,}24^\circ$

Das Maß des Winkel $SFE$ beträgt also ungefähr $40{,}24^\circ$.

Lösung zur Teilaufgabe b

Einzeichnen der Pyramide $BCGP_1$

Im ersten Schritt zeichnest du den Punkt G in deine Zeichnung ein. Es ist gegeben, dass $G$ auf der Strecke $[EF]$ liegt und zusätzlich ist gegeben, dass die Strecke $[EG]$ die Länge $3\;cm$ hat. Das heißt $G$ liegt auf $[EF]$ und hat von $E$ den Abstand $3\;cm$.

Im zweiten Schritt legst du an die Strecke $[GF]$ im Punkt $G$ den Winkel $\varphi\;=\;110^\circ$ an und zeichnest an diesen Winkel die Strecke $[GP_1]$, wobei der Punkt $P_1$ auf der Strecke $[FS]$ liegt.

Somit hast du alle Eckpunkte der Pyramide, nun musst du nur noch diese Punkte verbinden. Zeichnen also die Kanten $BG,\;GC,\;GP_1,\;BP_1,$ und $\; CP_1$ ein.

Zuletzt zeichnest du noch die Höhe der Pyramide $BCGP_1$ in deine Zeichnung ein. Dazu fällst du das Lot von der Spitze der Teilpyramide $P_1$ auf die Strecke $[EF]$ und erhältst somit die Höhe $h_1$.

Das rote Körper in der Abbildung stellt die Pyramide $BCGP_1$ dar.

Lösung zur Teilaufgabe c

Obere Grenze von $\varphi$

Der Winkel $\varphi$ ist der Winkel $\sphericalangle FGP_n$ und den größten Winkel $\varphi$ erhält man, wenn $P_n\; =\;S\;$ ist, also gilt für die obere Grenze der Winkel $\sphericalangle FGS$. Das kannst du ausprobieren, indem du den Schieberegler in dem obigen Applet bewegst.

Nun musst du den Winkel $\sphericalangle FGS$ bestimmen. Aus Teilaufgabe b) weißt du, dass $\varphi\;\in\;\rbrack0^\circ;118{,}61^\circ\lbrack$, das heißt $\varphi\;$ hat die obere Grenze $118{,}61^\circ$. Und da die obere Grenze von $\varphi$ dem Winkel $\sphericalangle FGS$ entspricht, musst du nur noch nachrechnen, dass $\sphericalangle FGS = 118{,}61^\circ$ ist.

Dafür nutzt du die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Außerdem ist der Winkel $\sphericalangle FGS$ der Nebenwinkel von $\sphericalangle SGE$ und deshalb gilt für $\sphericalangle FGS=180^\circ\;-\sphericalangle SGE$. Im Folgenden wird der Winkel $\sphericalangle SGE$ als $\beta$ bezeichnet.

$\displaystyle tan\beta\;=\;\frac{Gegenkathete}{Ankathete}\;=\;\frac{5{,}5\;cm}{3\;cm}=\:\frac{11}6$

$\displaystyle \beta\;=\;\tan^{-1}\left(\frac{11}6\right)\;\approx\;61{,}39^\circ$

Nun bestimmst du $\sphericalangle FGS\;$, den Nebenwinkel von $\beta$, indem du $180°-\beta$ rechnest.

$\sphericalangle FGS\; = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 61{,}39^\circ = 118{,}61^\circ$

Somit ist die obere Intervallgrenze von $\varphi = 118{,}61^\circ$.

Lösung zur Teilaufgabe d

Länge der Strecke $\overline{GP_n}$

Zur Bestimmung der Länge der Strecke $\overline{GP_n}$ nimmst du den Sinussatz zu Hilfe. Mithilfe dessen stellst du folgende Gleichung auf:

$\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{\sphericalangle P_nFG}\;=\;\frac{\overline{GF}}{\sphericalangle GP_nF}$

Nun setzt du Schritt für Schritt ein. Und formst anschließend nach $\overline{GP_n}$ um.

Der Winkel $\sphericalangle SFE$ entspricht dem Winkel $\sphericalangle P_nFG$ und deshalb gilt: $\sphericalangle SFE = \sphericalangle P_nFG = 40{,}24^\circ$.

$\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{40{,}24^\circ}\;=\;\frac{\overline{GF}}{\sphericalangle GP_nF}$

Die Strecke $\overline{GF}$ ist einfach $\overline{EF}-\overline{EG} = 6{,}5\;cm-3\;cm = 3{,}5\;cm$.

$\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{40{,}24^\circ}\;=\;\frac{3{,}5\;cm}{\sphericalangle GP_nF}$

Nun bestimmst du noch den Winkel $\sphericalangle GP_nF$ in Abhängigkeit von $\varphi$. Dafür nutzt du, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer $180°$ ist. Deshalb ist der Winkel $\sphericalangle GP_nF$ gegeben durch $\sphericalangle GP_nF\;=\;180^\circ-\;\sphericalangle P_nFG\;-\;\varphi = 180^\circ- 40{,}24^\circ-\varphi$.

$\displaystyle \frac{\overline{GP_n}}{\sin(40{,}24^\circ)}\;=\;\frac{3{,}5\;cm\;}{\sin(180^\circ-40{,}24^\circ-\varphi)}$

Nun multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit $sin(40{,}24^\circ)$ und rundest auf Zweinachkommastellen .

$\displaystyle\overline{GP_n}\;=\;\frac{2{,}26\;cm\;}{\sin(180^\circ-40{,}24^\circ-\varphi)}$

Außerdem gilt $sin(α)=sin(180^\circ -α)$. Deshalb klammerst du im nächsten Schritt $180^\circ-\alpha$ aus und erhältst:

$\displaystyle \overline{GP_n}\;=\;\frac{2{,}26\;cm\;}{\sin(180^\circ-(40{,}24^\circ+\varphi))}$

Nun wendest du noch $sin(α)=sin(180^\circ−α)$ an. Das heißt du kannst das $180^\circ-$ einfach weglassen.

$\displaystyle \overline{GP_n}\;=\;\frac{2{,}26\;cm\;}{\sin(40{,}24^\circ+\varphi)}$

Somit hast du gezeigt, dass die Länge der Strecke $\displaystyle \overline{GP_n}\;=\;\frac{2{,}26\;cm\;}{\sin(40{,}24^\circ+\varphi)}$ ist.

Lösung zur Teilaufgabe e

Volumen der Pyramide $BCGP_n$

Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.

Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch $\displaystyle V_{Pyramide}=\frac13\cdot\;G\;\cdot h$

Grundfläche der Pyramide $BCGP_n$

Das obige Schrägbild entspricht der Lösung aus Teilaufgabe b).

Die Grundfläche unserer Pyramide ist das Dreieck $BCG$. Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich berechnen durch $\displaystyle A_{Dreieck}\;=\;\frac12\;\cdot\;g\;\cdot\;h$

Als Grundlinie $g$ legst du die Strecke $\overline{BC}=8\;cm$ fest und als Höhe $h$ die Strecke $\overline{GF}=\;3{,}5\;cm$. Diese setzt du nun in die Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks ein:

$\displaystyle A_{Dreieck}\;=\;\frac12\;\cdot\;g\;\cdot\;h\;=\frac12\;\cdot\;\overline{BC}\;\cdot\;\overline{GF}\;=\:\frac12\;\cdot\;8\;cm\;\cdot\;3{,}5\;cm\;=\;14\;cm^2$

Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide $BCGP_n$ ist $14\;cm^2$.

Die Höhe der Pyramide $BCGP_n$

Die Höhe der Pyramide ist die Strecke $[P_nL_n]$. Diese bestimmst du mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Die Strecke $[L_nP_n]$ bestimmst du mit $\displaystyle sin(\beta)\;=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$, wobei die Gegenkathete die Strecke $[P_nL_n]$ ist und $[GP_n]$ die Hypotenuse ist. Außerdem ist der Winkel $\beta$ Nebenwinkel von $\varphi$ und somit gilt: $\beta\;=\;180^\circ-\varphi$.

$\displaystyle sin(\beta)\;=\;sin(180-\varphi)\;=\;\frac{\overline{P_nL_n}}{\overline{GP_n}}$

Nun stellst du die Gleichung so um, dass $P_nL_n$ auf einer Seite steht und setzt anschließend ein.

Die Höhe der Pyramide ist $\displaystyle h\;=\sin(\varphi)\;\cdot\;\frac{2{,}26}{\sin(\varphi\;+\;40{,}24^\circ)}\;cm$.

Volumen der Pyramide

Nun setzt du die einzelnen Teilergebnisse in die Formel für das Volumen der Pyramide ein.

$\displaystyle V_{Pyramide}(\varphi)\;=\frac13\cdot\;G\;\cdot h\;$

$\displaystyle =\;\frac13\;\cdot\;14\;cm^2\;\cdot\;\sin(\varphi)\;\cdot\;\frac{2{,}26}{\sin(\varphi\;+\;40{,}24^\circ)}\;cm$

$\displaystyle =\;10{,}55\;\cdot\;\frac{\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+40{,}24^\circ)}\;cm^3$

Das Volumen der Pyramide $BCGP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ ist $\displaystyle V_{Pyramide}(\varphi)\;=\;10{,}55\;\cdot\;\frac{\sin(\varphi)}{\sin(\varphi+40{,}24^\circ)}\;cm^3$.

Lösung zur Teilaufgabe f

Prozentuale Anteil von $BCGP_2$ an $ABCDS$

Für diese Teilaufgabe solltest du wissen, wie man das Volumen einer Pyramide bestimmt.