Lösung zur Teilaufgabe a

Berechnungen an Funktionen

Über $f_1$ weißt du, dass sie die Gleichung $y=-log_3(x+b)+2$ hat und dass der Punkt $P(8|0)$ auf dem Graphen liegt. Zunächst ist nur zu zeigen, dass $b=1$ ist.

Schaue dir bei solchen Aufgaben immer genau die Funktionsgleichung an, dann stellst du fest, dass du drei unbekannte Größen hast, nämlich $y,x$ und $b$. Der Punkt $P$ besteht aus einer $x-$ und einer $y-$Koordinate, daher ist es naheliegend, den Punkt in die Gleichung einzusetzen.

$\def\arraystretch{1.25}$

$\Rightarrow b=1$

Definitionsmenge von Funktionen

In den Logarithmus darf man nur positive Zahlen einsetzen. Falls du das nicht mehr weißt, kannst du das im Artikel zum Logarithmus nochmal nachlesen.

Unsere Funktion $y=-log_3(x+1)+2$ ist also genau dann definiert, wenn der Ausdruck in der Klammer $x+1$ positiv ist. Dafür musst du mit einer Ungleichung arbeiten.

$x+1 > 0\hspace{2cm}|-1$

$x>-1$

Die Funktion $f_1$ ist also für alle $x>-1$ definiert.

Formell: $\mathbb{D}=\{ {x|x>-1} \}$

Zeichnen von Funktionen

Um die Funktion zu zeichnen, tippst du die Funktion in deinen Taschenrechner ein, um eine Wertetabelle zu erhalten und zeichnest anschließend $f_1$.

Lösung zur Teilaufgabe b

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ 2\cdot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x' \\ 2 \cdot (-log_3(x+1)+2) \end{pmatrix}$

$\Rightarrow y'=-2 \cdot log_3(x+1)+4$

Die orthogonale Affinität ist eine senkrechte Streckung des Graphen. Da die $x-$Achse die Affinitätsachse ist, bleibt diese fest, der Affinitätsfaktor ist $2$.

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x' \\ -2 \cdot log_3(x'+1)+4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}$

Die Parallelverschiebung bildet jeden Punkt der Funktion entlang eines Verschiebungsvektors ab. Gehe dabei wie folgt vor:

$x''=x'+v_x$

$y''=y'+v_y$

Setze $y'=-2 \cdot log_3(x'+1)+4$ in das Gleichungssystem ein.

$x''=x'+v_x$

$y''=-2 \cdot log_3(x'+1)+4+v_y$

Setze die Koordinaten des Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}$ in das Gleichungssystem ein.

$x''=x'+1$

$y''=-2 \cdot log_3(x'+1)+4+0{,}5$

Löse die erste Gleichung nach $x'$ auf

$x'=x''-1$

$y''=-2 \cdot log_3(x'+1)+4{,}5$

Setze das berechnete $x'=x''-1$ in die zweite Gleichung ein.

$\Rightarrow y''=-2 \cdot log_3(x''-1+1)+4{,}5 =-2 \cdot log_3(x'')+4{,}5$

$\Rightarrow f_2: y=-2 \cdot log_3(x)+4{,}5$

Zeichne nun den Graphen von $f_2$ wie in der vorherigen Aufgabe in das Koordinatensystem ein.

Lösung zur Teilaufgabe c

Einzeichnen der Trapeze

Du kannst das gleiche Schema für $x=1$ und $x=5{,}5$ anwenden.

1. Zeichne zuerst die gegebenen Punkte $A_n$ und $D_n$ ein. ($A_1(1|1{,}37), A_2(5{,}5|0{,}30), D_1(1|4{,}5), D_2(5{,}5|1{,}40)$)

2. Zeichne eine parallele Hilfsgerade $h$ zur $x$-Achse auf der Höhe von $A_n$ ein, so entsteht der $90^\circ$-Winkel $\sphericalangle B_nA_nD_n$.

3. Gehe nun auf der Hilfsgerade $h$ von $A_n$ $2\;\mathrm{cm}$ nach rechts und zeichne den Punkt $B_n$ ein.

4. Zeichne den $125^\circ$-Winkel $\sphericalangle A_nD_nC_n$ ein.

5. Konstruiere ein Lot auf die Hilfsgerade $h$ durch den Punkt $B_n$.

6. Der Schnittpunkt mit der Geraden, die durch den $125^\circ$-Winkel entstanden ist, ergibt den Punkt $C_n$.

Es ergeben sich die Parallelen $[A_nD_n]$ und $[B_nC_n]$.

Die Abbildung zeigt die Trapeze $A_1B_1C_1D_1$ und $A_2B_2C_2D_2$.

Lösung zur Teilaufgabe d

Länge der Strecke $[B_nC_n]$

Bestimme die Länge der Strecken $[B_nC_n]$ in Abhängigkeit von $x$. Zu Veranschaulichungszwecken betrachte das Trapez $A_1B_1C_1D_1.$

In der Abbildung kannst du erkennen, dass die Strecke $[B_nC_n]$ aufgeteilt werden kann in $[B_nG_n]$ und $[G_nC_n]$. Du wählst die Strecke $D_nG_n$, sodass ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck entstehen. Nach der Definition eines Rechtecks ist die Länge Strecke $[A_nD_n]$ gleich der Strecke $[B_nG_n]$.

Berechne die Länge der Strecke $[A_nD_n]$. Ziehe dazu die $y$-Koordinate von $A_n$ von der $y$-Koordinate $D_n$ ab. Benutze dazu die Rechenregeln mit dem Logarithmus.

$\overline{A_nD_n}(x)=\left[(-2)\cdot\log_3\left(x\right)+4{,}5-(-\log_3\left(x+1\right)+2)\right]LE$

$=\left[\log_3\left(x+1\right)-\log_3\left(x^2\right)+2{,}5\right]LE$

$=\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+2{,}5\right]LE$

Dies entspricht der Länge der Strecke $[B_nG_n]$.

Berechne die Länge der Strecke $[G_nC_n]$. Der obere Teil deines Trapezes ist ein rechtwinkliges Dreieck, deshalb kannst du die Länge der Strecke $[G_nC_n]$ mit dem Tangens berechnen. Berechne die Größe von $\alpha_1$, das heißt von dem Teil von $\alpha$⁣, der im Dreieck liegt.

$\alpha_1=\alpha-90^\circ=125^\circ-90^\circ=35^\circ$

Die Größe von $\alpha_1$ beträgt $35^\circ$.

Stelle die Gleichung von Tangens von $\alpha_1$ auf.

$\tan\left(35^\circ\right)=\displaystyle\frac{\overline{G_nC_n}}{\overline{D_nG_n}}=\frac{\overline{G_nC_n}}{\overline{A_nB_n}}=\frac{\overline{G_nC_n}}2$

Dass die Länge der Strecke $[D_nGn]$ gleich der Strecke $[A_nB_n]$ ist, folgt aus der Definition eines Rechtecks.

Löse die Gleichung nach der gesuchten Länge auf.

$\tan\left(35^\circ\right)=\dfrac{\overline{G_nC_n}}2\;\;\;\left|\cdot2\right.$

$\overline{G_nC_n}=2\cdot\tan(35^\circ)$

Berechne die Länge der Strecke $[B_nC_n]$, indem du die Längen der Strecken $[G_nC_n]$ und $[B_nG_n]$ addierst.

$\overline{B_nC_n}(x)=\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+2{,}5+2\;\tan(35^\circ)\right]LE=\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+3{,}9\right]LE$

Die Länge der Strecke $\lbrack B_nC_n\rbrack$ in Abhängigkeit von $x$ beschreibt $\left[\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+3{,}9\right]LE$.

Lösung zur Teilaufgabe e

Flächeninhalt des Trapezes

Berechne den Flächeninhalt von dem Trapez $A_nB_nC_nD_n$. Zu Veranschaulichungszwecken wird die Abbildung des Trapezes $A_1B_1C_1D_1$ benutzt.

Drehe in Gedanken dein Trapez um $90°$ nach rechts, um die parallelen Seiten übereinander zu haben.

Setze in die Formel für den Trapezflächeninhalt ein und vereinfache anschließend durch Ausklammern.

$A\left(x\right)=\frac{b+d}2\cdot h$

$=\frac12\cdot\left(\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+3{,}9+\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+2{,}5\right)\cdot2\;FE$

$=2\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+(3{,}9+2{,}5)\;FE$

$=2\cdot\log_3\left(\frac{x+1}{x^2}\right)+6{,}4\;FE$

Lösung zur Teilaufgabe f

Bestimmung der Koordinaten von $A_3$

Setze $A(x)$ gleich $8$ und löse nach $x$ auf.

Setze in die Mitternachtsformel ein.

$x_{1{,}2}=\displaystyle\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot3^{\frac45}\cdot(-1)}}{2\cdot3^{\frac45}}$

$x_1=-0{,}47\;\;\;\;\;\;x_2=0{,}88$

Da $x$ größer $0$ sein muss, kommt nur $x_2$ infrage. Der Grund dafür ist, dass der Logarithmus nicht für negative Zahlen definiert ist.

Berechne die $y$-Koordinate für $x_2$. Setze dafür $x_2$ in $f_1$ ein. $f_1(x_2)=f_1(0{,}88)=-\log_3\left(0{,}88+1\right)+2=-\log_3\left(1{,}88\right)+2=1{,}43$

$A_3$ muss der Punkt $(0{,}88\vert 1{,}43)$ sein.