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Das gleichschenklige Dreieck ABCABC ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEFABCDEF. Der Punkt MM ist der Mittelpunkt der Basis [AC] [AC]. Der Punkt DD liegt senkrecht über dem Punkt AA und der Punkt NN ist der Mittelpunkt der Strecke [DF][DF].

Es gilt: AC=12 cm;MB=8 cm;AD=5 cm\overline{AC}=12\ \text{cm};\overline{MB}=8\ \text{cm};\overline{AD}=5\ \text{cm}.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFABCDEF, wobei die Strecke [MB][MB] auf der Schrägbildachse und der Punkt MM links vom Punkt BB liegen soll.

    Für die Zeichnung gilt: q=12; ω=45q=\frac12;\ \omega=45^\circ.

    Zeichnen Sie sodann die Strecke [BN][BN] ein und berechnen Sie das Maß des Winkels NBM NBM.

  2. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [MB][MB]. Die Winkel PnEBP_nEB haben das Maß φ\varphi mit φ  ]  0,57,99]\varphi\in\;\rbrack\;0^\circ,57{,}99^\circ\rbrack. Die Strecken [BN][BN] und [EPn][EP_n] schneiden sich in Punkten QnQ_n.

    Zeichnen Sie für φ=45\varphi=45^\circ die Strecke [EP1][EP_1] und den Punkt Q1Q_1 in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.

    Begründen Sie sodann rechnerisch die obere Intervallgrenze für φ\varphi.

  3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken[EQn][EQ_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

    Unter den Strecken [EQn][EQ_n] hat die Strecke [EQ0][EQ_0] die minimale Länge.

    Berechnen Sie die Länge der Strecke [NQ0][NQ_0].

  4. Der Punkt AA ist die Spitze von Pyramiden QnBEAQ_nBEA mit den Grundflächen QnBEQ_nBE.

    Zeichnen Sie die Pyramide Q1BEAQ_1BEA in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen VVder Pyramiden QnBEAQ_nBEA in Abhängigkeit von φ\varphi.

    [Ergebnis: V(φ)=21,2sin(φ)sin(φ+57,99) cm3V(\varphi)=\dfrac{21{,}2\cdot\sin\left(\varphi\right)}{\sin\left(\varphi+57{,}99^\circ\right)}\ \text{cm}^3 ]

  5. Das Volumen der Pyramide Q2BEAQ_2BEA ist um 95  %95\;\% kleiner als das Volumen des Prismas ABCDEFABCDEF.

    Berechnen Sie das zugehörige Maß für φ\varphi.