Zunächst versuchst du die Lage des Punktes $E_2$ so zu konstruieren, dass für $\varphi$ ein $70°$Winkel entsteht. In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel immer $180°$. Das Dreieck $ACE_2$ ist gleichschenklig, die Winkel $\angle E_2AC$ und $\angle ACE_2$ sind also gleich groß. Für die Winkelsumme erhältst du nun $180°\ =\ 70° + 2\cdot\angle E_2AC$ und damit $\angle E_2AC\ =\ 55°$. Mit diesem Winkel kannst du jetzt den Punkt $E_2$, wie unten gezeigt, bestimmen.

Je weiter der Punkt $E$ nach unten wandert, desto spitzer wird der Winkel $\varphi$. Am kleinsten ist $\varphi$ also, wenn der Punkt $B$ erreicht ist. Das Dreieck $ABM$ ist rechtwinklig, deshalb kannst du hier gut den Tangens verwenden und erhältst:

Mit deinem Taschenrechner und der Umkehrfunktion des Tangens bekommst du als Ergebnis: $\varphi = 53{,}13$.

Der Rotationskörper besteht aus zwei Kegeln, die dieselbe Grundfläche, aber verschiedene Höhen haben. Das Volumen des Körpers ist also die Summe der beiden Kegelvolumen.

Allgemein gilt:

$V_{\text{ Kegel}} = \dfrac13 \cdot G\cdot h=\dfrac13 \cdot r^2\cdot\pi\cdot h$

Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Radius $\overline{AM} = 2$. Er hat den Flächeninhalt:

Der obere Kegel hat die Höhe $\overline{MD} = 2$. Damit kannst du sein Volumen bestimmen:

Der untere Kegel hat die Höhe $\overline{E_nM}$, die Länge dieser Strecke ist von der Größe des Winkels $\varphi$ abhängig. In dem rechtwinkligen Dreieck $AE_nM$ gilt:

Durch Umstellen der Gleichung erhältst du: $\overline{E_nM} = \dfrac{2}{\tan{\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}}$

Das Volumen des unteren Kegels ist also:

Wenn du nun die Summe bildest und dann ausklammerst, entsteht das Volumen des Rotationskörpers: $V_{\text{Rotationskörper}} = V_{\text{oberer Kegel}}+V_{\text{unterer Kegel}}$

In einem Quadrat hat jeder Innenwinkel den Wert $90°$, also gilt für das Quadrat auch $\varphi=\ 90°$. Das kannst du nun in die Formel aus Teilaufgabe b) einsetzen und erhältst:

Das Volumen des Rotationskörpers des Quadrats beträgt also $\dfrac{16}{3}\pi\ \text{cm}³ \approx 16{,}76\ \text{cm}³$.