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Aufgaben
1.0 Gegeben ist das Drachenviereck ABCDABCD mit der Symmetrieachse BDBD und dem Diagonalenschnittpunkt MM.
Es gilt: AM=DM=2 cm\overline{AM}=\overline{DM}=2\ \text{cm} und BD=6 cm\overline{BD} = 6 \ \text{cm}.
Punkte EnE_n auf der Strecke [BM][BM] legen zusammen mit den Punkten A,C A, C unddie Drachenvierecke AEnCDAE_nCD fest.
Die Winkel CEnACE_nA haben das Maß φ\varphi mit φ[53,13;  180[.\varphi\in\lbrack53,13^\circ;\;180^\circ\lbrack.
Die Zeichnung zeigt das Drachenviereck ABCDABCD und das Drachenviereck AE1CDAE_1CD für φ=100\varphi=100^\circ.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Drachenviereck
1.1 Zeichnen Sie das Drachenviereck AE2CDAE_2CD für φ=70\varphi=70^\circ in die Zeichnung zu 1.0 ein. Bestätigen Sie sodann die untere Intervallgrenze für φφ durch Rechnung.
1.2 Die Drachenvierecke AEnCDAE_nCD rotieren um die Gerade BDBD. Zeigen Sie, dass für das Volumen VV der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:
V(φ)=83π(1+1tan(0,5φ)) cm3V(\varphi)=\dfrac83\cdot\mathrm\pi\cdot(1+\frac1{\tan\left(0,5\cdot\mathrm\varphi\right)}\mathrm)\ \text{cm}^3
1.3 Das Drachenviereck AE3CDAE_3CD ist ein Quadrat. Bestimmen Sie das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rotationskörper

Lösung 1.1

Zunächst versuchst du die Lage des Punktes E2E_2 so zu konstruieren, dass für φ\varphi ein 70°70°Winkel entsteht. In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel immer 180°180°. Das Dreieck ACE2ACE_2 ist gleichschenklig, die Winkel E2AC\angle E_2AC und ACE2\angle ACE_2 sind also gleich groß. Für die Winkelsumme erhältst du nun 180° = 70°+2E2AC180°\ =\ 70° + 2\cdot\angle E_2AC und damit E2AC = 55°\angle E_2AC\ =\ 55°. Mit diesem Winkel kannst du jetzt den Punkt E2E_2, wie unten gezeigt, bestimmen.
Konstruktion Drachenviereck mit 70° Winkel.
Je weiter der Punkt EE nach unten wandert, desto spitzer wird der Winkel φ\varphi. Am kleinsten ist φ\varphi also, wenn der Punkt BB erreicht ist. Das Dreieck ABMABM ist rechtwinklig, deshalb kannst du hier gut den Tangens verwenden und erhältst:
tan(φ2)=AMMB=24=12\displaystyle \tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) = \dfrac{\overline{AM}}{\overline{MB}} = \dfrac24 = \dfrac12
Mit deinem Taschenrechner und der Umkehrfunktion des Tangens bekommst du als Ergebnis: φ=53,13\varphi = 53{,}13.

Lösung 1.2

Der Rotationskörper besteht aus zwei Kegeln, die dieselbe Grundfläche, aber verschiedene Höhen haben. Das Volumen des Körpers ist also die Summe der beiden Kegelvolumen.
Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Radius AM=2\overline{AM} = 2. Er hat den Flächeninhalt:
AKreis=22π=4π\displaystyle A_{\text{Kreis}} = 2^2 \cdot \pi = 4\pi
Der obere Kegel hat die Höhe MD=2\overline{MD} = 2. Damit kannst du sein Volumen bestimmen:
Voberer Kegel=1324π=83π\displaystyle V_{\text{oberer Kegel}} = \dfrac13 \cdot 2\cdot4\pi = \dfrac83 \pi
Der untere Kegel hat die Höhe EnM\overline{E_nM}, die Länge dieser Strecke ist von der Größe des Winkels φ\varphi abhängig. In dem rechtwinkligen Dreieck AEnMAE_nM gilt:
tan(φ2)=AMEnM=2EnM\displaystyle \tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) = \dfrac{\overline{AM}}{\overline{E_nM}} = \dfrac{2}{\overline{E_nM}}
Durch umstellen der Gleichung erhältst du: EnM=2tan(φ2)\overline{E_nM} = \dfrac{2}{\tan{\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}}
Das Volumen des unteren Kegels ist also:

Vunterer Kegel=132tan(φ2)4π=83π1tan(φ2)\displaystyle V_{\text{unterer Kegel}} = \dfrac13 \cdot \dfrac{2}{\tan{\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}} \cdot 4\pi = \dfrac83 \pi \cdot \dfrac{1}{\tan{\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}}
Wenn du nun die Summe bildest und dann ausklammerst entsteht das Volumen des Rotationskörpers:
VRotationsko¨rper=83π+83π1tan(φ2)=83π(1+1tan(φ2))\displaystyle V_{\text{Rotationskörper}} = \dfrac83 \pi + \dfrac83 \pi \cdot \dfrac{1}{\tan{\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}} = \dfrac83 \pi \left(1 + \dfrac{1}{\tan{\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}}\right)

Lösung 1.3

In einem Quadrat hat jeder Innenwinkel den Wert 90°90°, also gilt für das Quadrat auch φ= 90°\varphi=\ 90°. Das kannst du nun in die Formel aus Aufgabe 1.2 einsetzen und erhältst:
VRotationsko¨rper=83π(1+1tan(90°2))=83π(1+1tan(45°))=163π\displaystyle \begin{array}{rcll} V_{\text{Rotationskörper}} &=& \dfrac83 \pi \left(1 + \dfrac{1}{\tan{\left(\dfrac{90°}{2}\right)}}\right)\\ &=& \dfrac83 \pi \left(1 + \dfrac{1}{\tan{\left(45°\right)}}\right)\\ &=& \dfrac{16}{3}\pi \end{array}
Das Volumen des Rotationskörpers des Quadrats beträgt also 163π cm³16,76 cm³\dfrac{16}{3}\pi\ \text{cm}³ \approx 16{,}76\ \text{cm}³.
2.0 Der Punkt A(21)A(2\vert-1) legt zusammen mit den Pfeilen
ABn(φ)=(3sin(φ)+22sin(φ)+2)\displaystyle \overrightarrow{AB_n}(\varphi)=\begin{pmatrix}-3\cdot\sin\left(\varphi\right)+2\\2\cdot\sin\left(\varphi\right)+2\end{pmatrix}
und Punkten CnC_n gleichschenklige Dreiecke ABnCnAB_nC_n mit den Basen [BnCn][B_nC_n] fest
(φ[0;360])(\varphi\in\lbrack0^\circ;360^\circ\rbrack). Es gilt: BnACn=30\angle B_nAC_n=30^\circ.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Koordinatensystem
2.1 Berechnen Sie die Koordinaten des Pfeils AB1\overrightarrow{AB_1} für φ=210\varphi=210^\circ und zeichnen Sie das zugehörige Dreieck AB1C1AB_1C_1 in das Koordinatensystem zu 2.0 ein.
2.2 Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit von φ\varphi.
[Ergebnis: Cn(3,60sin(φ)+2,73    0,23sin(φ)+1,73)]C_n(-3,60\cdot\sin\left(\varphi\right)+2,73\;\vert\;0,23\cdot\sin\left(\varphi\right)+1,73)\rbrack
2.3 Für welches Maß von φ\varphi wird die Abszisse der Punkte CnC_n minimal? Kreuzen Sie an.
Gradskala
2.4 Für φ[0;  120]\varphi\in\lbrack0^\circ;\;120^\circ\rbrack gibt es das Dreieck AB2C2AB_2C_2, dessen Punkt C2C_2 auf der yy-Achse liegt. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B2B_2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrie

Lösung 2.1

Um die Koordinaten des Pfeils zu berechnen setzt du einfach den Wert 210°210°für φ\varphi in die Formel ein (achte darauf, dass dein Taschenrechner richtig eingestellt ist):
AB1(φ)=(3sin(210°)+22sin(210°)+2)=(3(0,5)+22(0,5)+2)=(3,51).\displaystyle \overrightarrow{AB_1}(\varphi)=\begin{pmatrix}-3\cdot\sin\left(210°\right)+2\\2\cdot\sin\left(210°\right)+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\cdot\left(-0{,}5\right) + 2 \\ 2\cdot\left(-0{,}5\right) + 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}5 \\ 1\end{pmatrix}.
Nun kannst du den Pfeil AB1\overrightarrow{AB_1} in das Koordinatensystem einzeichnen und seine Länge abmessen (3,643,64 cm). Den Punkt C1C_1 kannst du einzeichnen, indem du dein Geodreieck am Punkt AA anlegst, am Pfeil AB\overrightarrow{AB} einen 30°30° Winkel abmisst und dann eine Strecke zeichnest, die genau so lang ist wie AB\overrightarrow{AB}.

Lösung 2.2

Der Punkt CnC_n besitzt die selben Koordinaten wie der Pfeil OCn\overrightarrow{OC_n} (Ortsvektor).
Vom Ursprung OO aus kommst du zu CnC_n, indem du erst den Punkt AA besuchst und dann daran den Pfeil ACn\overrightarrow{AC_n} hängst. Es gilt also: OCn = OA + ACn\overrightarrow{OC_n}\ =\ \overrightarrow{OA}\ +\ \overrightarrow{AC_n}.
Die Koordinaten von A(21)A\left(2|-1\right) kennst du bereits. Der Pfeil ACn\overrightarrow{AC_n} entsteht durch Drehung des Pfeils ABn\overrightarrow{AB_n} um AA mit BnACn=30\angle B_nAC_n=30^\circ.
ACn=(cos30°sin30°sin30°cos30°)ABn=(0,8660,50,50,866)(3sin(φ)+22sin(φ)+2)=(2,60sin(φ)+1,73sin(φ)11,5sin(φ)+1+1,73sin(φ)+1,73)ACn=(3,60sin(φ)+0,730,23sin(φ)+2,73)\displaystyle \begin{array}{rcl} \overrightarrow{AC_n} &=& \begin{pmatrix} \cos{30°}& -\sin{30°}\\ \sin{30°} & \cos{30°} \end{pmatrix}\cdot \overrightarrow{AB_n}\\ &=& \begin{pmatrix} 0{,}866& -0{,}5\\ 0{,}5 & 0{,}866 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3\cdot\sin\left(\varphi\right)+2\\2\cdot\sin\left(\varphi\right)+2\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} -2{,}60\cdot\sin\left(\varphi\right) + 1{,}73 -\sin\left(\varphi\right) -1 \\ -1{,}5\sin\left(\varphi\right) + 1 + 1{,}73\sin\left(\varphi\right) +1{,}73 \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{AC_n} &=& \begin{pmatrix} -3{,}60\cdot\sin\left(\varphi\right) + 0{,}73 \\ 0{,}23\cdot\sin\left(\varphi\right) + 2{,}73 \end{pmatrix} \end{array}
Jetzt kannst du noch OCn\overrightarrow{OC_n} berechnen:
OCn=OA + ACn=(21)+(3,60sin(φ)+0,730,23sin(φ)+2,73)=(3,60sin(φ)+2,730,23sin(φ)+1,73)\displaystyle \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OC_n} &=& \overrightarrow{OA}\ +\ \overrightarrow{AC_n} \\ &=& \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3{,}60\cdot\sin\left(\varphi\right) + 0{,}73 \\ 0{,}23\cdot\sin\left(\varphi\right) + 2{,}73 \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} -3{,}60\cdot\sin\left(\varphi\right) + 2{,}73 \\ 0{,}23\cdot\sin\left(\varphi\right) + 1{,}73 \end{pmatrix} \end{array}
Damit ist das Endergebnis Cn(3,60sin(φ)+2,730,23sin(φ)+1,73)C_n\left(-3{,}60\cdot\sin\left(\varphi\right) + 2{,}73 | 0{,}23\cdot\sin\left(\varphi\right) + 1{,}73\right).

Lösung 2.3

Die Abszisse von CnC_n ist x=3,60sin(φ)+2,73x=-3{,}60\cdot\sin\left(\varphi\right)+2{,}73.
Sie wird kleiner, je größer sin(φ)\sin(\varphi) ist (negativer Faktor vor dem sin(φ)\sin(\varphi)).
Der größte Wert, der hier für sin(φ)\sin(\varphi) möglich ist, ist 11 (beachte auch die Angabe: (φ[0;360])(\varphi\in\lbrack0^\circ;360^\circ\rbrack)).
Diesen Wert erhältst du für einen Winkel von 90°90° (das kannst du dir zum Beispiel mithilfe des Einheitskreises erklären).
Die Abszisse ist also für einen Winkel von 90°90° minimal.

Hier kannst du dir noch die verschiedenen Dreiecke für die verschiedenen Winkel ansehen:
GeoGebra

Lösung 2.4

Da C2C_2 auf der yy-Achse liegt, ist die Abszisse von C2C_2 gleich 00. Es muss also gelten:
3,60sin(φ)+2,73=02,733,60sin(φ)=2,73:(3,60)sin(φ)=0,76\displaystyle \begin{array}{rcll} -3,60\sin\left(\varphi\right)+2,73 &=& 0 &|-2,73 \\ -3,60\sin(\varphi) &=& -2,73 &|: (-3,60) \\ \sin(\varphi)&=&0,76 \end{array}
Wenn du darauf nun die Umkehrfunktion des Sinus anwendest, erhältst du φ=49,32°\varphi = 49{,}32°.
Die Koordinaten von B2B_2 erhältst du, indem du dich vom Punkt AA aus in Richtung AB2\overrightarrow{AB_2} bewegst:
OB2=OA+AB2=(21)+(3sin(49,32°)+22sin(49,32°)+2)=(21)+(30,76+220,76+2)=(21)+(2,28+21,52+2)OB2=(1,722,52)\displaystyle \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OB_2} &=& \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB_2}\\ &=& \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\cdot\sin\left(49{,}32°\right)+2\\2\cdot\sin\left(49{,}32°\right)+2\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\cdot0{,}76+2\\2\cdot0{,}76+2\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2{,}28+2\\1{,}52+2\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{OB_2} &=& \begin{pmatrix} 1{,}72 \\ 2{,}52 \end{pmatrix} \end{array}
Damit besitzt der Punkt B2B_2 die Koordinaten B2(1,722,52)B_2\left(1{,}72|2{,}52\right).
3.0 Vitamin D kann im menschlichen Körper produziert werden, wenn Sonnenstrahlung unter bestimmten Bedingungen auf die Haut trifft. Im Winterhalbjahr nimmt daher die Konzentration von Vitamin D im Körper normalerweise ab.
Bei Andreas wurde Ende September eine Anfangskonzentration von 5555 Nanogramm Vitamin D pro Milliliter Blut (55 ngml)(55\ \frac{\text{ng}}{\text{ml}}) gemessen. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl xx der Wochen und der verbleibenden Konzentration y ngmly\ \frac{\text{ng}}{\text{ml}} an Vitamin D lässt sich bei Andreas näherungsweise durch die Funktion f1f_1 mit der Gleichung
y=550,93x  (G=R+×R+)y=55\cdot0,93^x\;(\mathbb{G}=\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+) beschreiben.
3.1 Um wie viel Prozent reduziert sich folglich bei Andreas die Konzentration an Vitamin D in einer Woche?
3.2 Berechnen Sie mithilfe der Funktion f1f_1 die Konzentration an Vitamin D bei Andreas nach 21 Tagen.
Runden Sie auf 2 Nachkommastellen.
3.3 Berechnen Sie, in welcher Woche sich die Anfangskonzentration an Vitamin D bei Andreas entsprechend der Funktion f1f_1 halbiert.
3.4 Bei Stephan wurde gleichzeitig mit Andreas eine Messung begonnen. Bei Stephan lässt sich der Zusammenhang zwischen der Anzahl xx der Wochen und der verbleibenden Konzentration y ngmly\ \frac{\text{ng}}{\text{ml}} an Vitamin D durch die Funktion f2f_2 mit der Gleichung y=510,91x  (G=R0+×  R0+)y=51\cdot0,91^x\;(\mathbb{G}={\mathbb{R}}_0^+ \times\;{\mathbb{R}}_0^+) beschreiben.
Ist es unter diesen Voraussetzungen möglich, dass die Konzentrationen an Vitamin D zu einem Zeitpunkt bei Stephan und Andreas den gleichen Wert erreichen? Begründen Sie Ihre Entscheidung ohne Rechnung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen

Lösung 3.1

Die Vitamin D-Konzentration beträgt zu Beginn der Messung 55 ngml55 \ \frac{\text{ng}}{\text{ml}}. Nach einer Woche (x=1)(x=1) beträgt sie 0,93=93%0,93 =93\%.
Antwort: Die Konzentration hat um 7%7\% abgenommen.

Lösung 3.2

Antwort: Nach 21 Tagen, also x=3x=3 Wochen beträgt die Konzentration bei Andreas 550,93344,24ngml55 \cdot 0,93^3 \approx 44,24 \frac{\text{ng}}{\text{ml}}

Lösung 3.3

0,555=550,93x:550,5=0,93xx=log0,930,5x9,55\displaystyle \begin{array}{rcll} 0,5 \cdot 55 &=& 55 \cdot 0,93^x & | :55 \\ 0,5 &=& 0,93^x &\\ x &=&\log_{0,93}{0,5} &\\ x&\approx&9,55& \end{array}
Da es keine "halben" Wochen gibt, muss man hier
aufrunden. Achtung: hier gelten die Rundungsregeln nicht, es muss nach dem jeweiligen Kontext entschieden werden!
Antwort: In der 10. Woche hat sich die Vitamin D-Konzentration halbiert.

Lösung 3.4

Die Vitamin D-Konzentationen bei Stephan und Andreas können zu keinem Zeitpunkt gleich sein. Denn die beiden Exponentialfunktionen sind streng monoton fallend.
Für x=0x=0 ist die Konzentration bei Andreas f1(0)=55f_1(0)=55 und bei Stephan f2(0)=51f_2(0)=51. Da also die Startkonzentration bei Stephan niedriger ist als bei Andreas, und die Konzentration bei Stephan schneller fällt als bei Andreas, können beide Vitamin D-Konzentrationen nie gleich sein.
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