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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist das Drachenviereck ABCDABCD mit der Symmetrieachse BDBD und dem Diagonalenschnittpunkt MM.

    Es gilt: AM=DM=2 cm\overline{AM}=\overline{DM}=2\ \text{cm} und BD=6 cm\overline{BD} = 6 \ \text{cm}.

    Punkte EnE_n auf der Strecke [BM][BM] legen zusammen mit den Punkten A,C A, C und die Drachenvierecke AEnCDAE_nCD fest.

    Die Winkel CEnACE_nA haben das Maß φ\varphi mit φ[53,13;  180[.\varphi\in\lbrack53{,}13^\circ;\;180^\circ\lbrack.

    Die Zeichnung zeigt das Drachenviereck ABCDABCD und das Drachenviereck AE1CDAE_1CD für φ=100\varphi=100^\circ.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Drachenviereck
    1. Zeichnen Sie das Drachenviereck AE2CDAE_2CD für φ=70\varphi=70^\circ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein. Bestätigen Sie sodann die untere Intervallgrenze für φφ durch Rechnung.

    2. Die Drachenvierecke AEnCDAE_nCD rotieren um die Gerade BDBD. Zeigen Sie, dass für das Volumen VV der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      V(φ)=83π(1+1tan(0,5φ)) cm3V(\varphi)=\dfrac83\cdot\mathrm\pi\cdot(1+\frac1{\tan\left(0{,}5\cdot\mathrm\varphi\right)}\mathrm)\ \text{cm}^3

    3. Das Drachenviereck AE3CDAE_3CD ist ein Quadrat. Bestimmen Sie das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers.

  2. 2

    Der Punkt A(21)A(2\vert-1) legt zusammen mit den Pfeilen

    und Punkten CnC_n gleichschenklige Dreiecke ABnCnAB_nC_n mit den Basen [BnCn][B_nC_n] fest

    (φ[0;360])(\varphi\in\lbrack0^\circ;360^\circ\rbrack). Es gilt: BnACn=30\angle B_nAC_n=30^\circ.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Koordinatensystem
    1. Berechnen Sie die Koordinaten des Pfeils AB1\overrightarrow{AB_1} für φ=210\varphi=210^\circ und zeichnen Sie das zugehörige Dreieck AB1C1AB_1C_1 in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

    2. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit von φ\varphi.

      [Ergebnis: Cn(3,60sin(φ)+2,73    0,23sin(φ)+1,73)]C_n(-3{,}60\cdot\sin\left(\varphi\right)+2{,}73\;\vert\;0{,}23\cdot\sin\left(\varphi\right)+1{,}73)\rbrack

    3. Für welches Maß von φ\varphi wird die Abszisse der Punkte CnC_n minimal? Kreuzen Sie an.

    4. Für φ[0;  120]\varphi\in\lbrack0^\circ;\;120^\circ\rbrack gibt es das Dreieck AB2C2AB_2C_2, dessen Punkt C2C_2 auf der yy-Achse liegt. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B2B_2.

  3. 3

    Vitamin D kann im menschlichen Körper produziert werden, wenn Sonnenstrahlung unter bestimmten Bedingungen auf die Haut trifft. Im Winterhalbjahr nimmt daher die Konzentration von Vitamin D im Körper normalerweise ab.

    Bei Andreas wurde Ende September eine Anfangskonzentration von 5555 Nanogramm Vitamin D pro Milliliter Blut (55 ngml)(55\ \frac{\text{ng}}{\text{ml}}) gemessen. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl xx der Wochen und der verbleibenden Konzentration y ngmly\ \frac{\text{ng}}{\text{ml}} an Vitamin D lässt sich bei Andreas näherungsweise durch die Funktion f1f_1 mit der Gleichung

    y=550,93x  (G=R+×R+)y=55\cdot0{,}93^x\;(\mathbb{G}=\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+) beschreiben.

    1. Um wie viel Prozent reduziert sich folglich bei Andreas die Konzentration an Vitamin D in einer Woche?

    2. Berechnen Sie mithilfe der Funktion f1f_1 die Konzentration an Vitamin D bei Andreas nach 21 Tagen.

      Runden Sie auf 2 Nachkommastellen.

    3. Berechnen Sie, in welcher Woche sich die Anfangskonzentration an Vitamin D bei Andreas entsprechend der Funktion f1f_1 halbiert.

    4. Bei Stephan wurde gleichzeitig mit Andreas eine Messung begonnen. Bei Stephan lässt sich der Zusammenhang zwischen der Anzahl xx der Wochen und der verbleibenden Konzentration y ngmly\ \frac{\text{ng}}{\text{ml}} an Vitamin D durch die Funktion f2f_2 mit der Gleichung y=510,91x  (G=R0+×  R0+)y=51\cdot0{,}91^x\;(\mathbb{G}={\mathbb{R}}_0^+ \times\;{\mathbb{R}}_0^+) beschreiben.

      Ist es unter diesen Voraussetzungen möglich, dass die Konzentrationen an Vitamin D zu einem Zeitpunkt bei Stephan und Andreas den gleichen Wert erreichen? Begründen Sie Ihre Entscheidung ohne Rechnung.


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