Allgemeine Normalform: $f(x)=x^2+px+q$

Setze jeweils die Punkte $A$ und $B$ in die Gleichung ein.

(I) Punkt $A$: $0=1{,}5^2+1{,}5p+q$

(II) Punkt $B$: $0=6^2+6p+q$

$2{,}25+1{,}5p+q=36+6p+q$

$-33{,}75=4{,}5p$

$p=-7{,}5$

Setze $p$ z.B in (II) ein.

$0=6^2+6\cdot (-7{,}5)+q$

$0=36-45+q$

$q=9$

$p_1: y=x^2-7{,}5x+9$

$\mathrm{{p_2}:y = −x^2− 10x − 22}$

Scheitelform: $f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Quadratische Ergänzung:

$f(x)=-(x+5)^2+3$

Die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten $x=-5$ und $y=3$.

$S_2(-5|3)$

${p_3: y = −(x + 4)^2+ 9}$

$p_3: y = −x^2-8x-16+9$

$p_3: y = −(x^2+8x+7)$

$\Rightarrow p_4: y = x^2+8x+7$

$p_3: y=-(x+4)^2+9$

$p_3: y=-x^2-8x-16+9$

Setze $y=0$: $0=-x^2-8x-7$

Mitternachtsformel: $x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{8\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot(-1)\cdot (-7)}}{-2}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{8\pm \sqrt{(64-28)}}{-2}=\dfrac{8\pm \sqrt{(36)}}{-2}$

$x_1=-7$

$x_2=-1$

Die Koordinaten der beiden Schnittpunkte lauten: $N_1(-1|0$) und $N_2(-7|0)$.

Die Funktionsgleichung $p_5: y=x^2$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S_5(0|0)$. Die Werte sind immer positiv. Die Parabel verläuft im 1. und 2. Quadranten.

Die Funktionsgleichung $p_6 : y = −(x − 2)^2− 3$ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S_6(2|-3)$. Sie verläuft im 3. und 4. Quadraten.

$\Rightarrow$ $p_5$ und $p_6$ können sich nicht schneiden.