Pflichtteil - lernen mit Serlo!

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Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen

Aufgabe 1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion f mit $f(x)=-x^{2}+2 a x$ mit $a > 1$ .

Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

Flächenstück berechnen

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2a} \ f(x) \mathrm{d}x$
	$=$	$\displaystyle \left[F(x)\right]_0^{2a}$
	↓	Bestimme eine Stammfunktion F(x). (Hilfe im Spoiler oben)
	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{1}{3}x^3+ax^2\right]_0^{2a}$
	↓	Setze die Nullstellen ein. In die eckige Klammer wird für x der obere Wert (2a) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}\cdot\left(2a\right)^3+a\cdot\left(2a\right)^2$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}\cdot8^{ }a^3+a\cdot4a^2$
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{3}a^3+4a^{3^{ }}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{3}a^3+\frac{12}{3}a^3$
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}a^3$

$\rightarrow$ Das Flächenstück zwischen $f$ und x-Achse hat einen Flächeninhalt von $\frac{4}{3}a^3$ .

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Berechne die Fläche zwischen $f$ und der x-Achse zwischen den x-Werten $a$ und $b$ mit: $A=\left[F(x)\right]_0^{2a}$ . Bestimme dazu eine Stammfunktion $F (x)$ der Funktion $f (x)$ .
Setze die Nullstellen von $f$ für $a$ und $b$ ein, um die Fläche zu bestimmen, die von x-Achse und dem Graphen von $f$ eingeschlossen wird.

Der Hochpunkt ( $a \mid a^{2}$ ) des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats. Zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.

Bestimmen Sie den Wert von $a$ . (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

Flächeninhalt Quadrat:

Am Hochpunkt mit $x = a$ beträgt der Funktionswert $f (x) = a^{2}$ .

$\rightarrow$ Das Quadrat hat eine Seitenlänge von $a^{2}$ .

\displaystyle A_{Quadrat}=a^2\cdot a^2=a^4

Flächeninhalt des Flächenstücks zwischen Graph und x-Achse:

Der Flächeninhalt wurde in a) bestimmt und beträgt

\displaystyle A_{Flächenstück}=\frac{4}{3}a^3

Gleichsetzen der Flächeninhalte:

Wenn beide Flächeninhalte gleich sind, gilt:
	↓
$\displaystyle A_{Quadrat}$	$=$	$\displaystyle A_{Flächenstück}$
	↓	Einsetzen der Terme für die Flächeninhalte
$\displaystyle a^4$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}a^3$	$\displaystyle :\left(a^3\right)$
	↓	Da $a > 1$ gilt, kann durch $a^{3}$ geteilt werden.
$\displaystyle a^{ }$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$

$\rightarrow$ Bei einem Wert von $a=\frac{4}{3}$ sind die Flächeninhalte gleich groß.

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Bestimme den Flächeninhalt des beschriebenen Quadrats.
Den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse hast du bereits in Teil a) bestimmt.
Setze beide Terme gleich und bestimme $a$ .