Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die Zahl $a$ mit $a \neq 2$ . Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ berechnet werden kann. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Baumdiagramm als Hilfe
Baumdiagramm
Das Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment.
Die Wahrscheinlichkeiten sind damit
$P(a)=\dfrac25$
$P(2)=\dfrac35$
Ereignis
Das gesuchte Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ ist:
"Es wird eine $2$ und ein $a$ gezogen."
oder
"Auf beiden Kugeln stehen unterschiedliche Zahlen."
Da zwei Pfade zu dieser Beschreibung passen, gibt es den Vorfaktor $\color{green}2\cdot \color{black} \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ .
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Skizziere zur Hilfe ein Baumdiagramm, um die Wahrscheinlichkeiten $\frac35$ und $\frac25$ zuordnen zu können.
Bestimme ein Ereignis, welches genau zwei Pfade mit der Wahrscheinlichkeit $\frac35\cdot \frac25$ beinhaltet.

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Summe der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von $X$ ist 8.

Bestimmen Sie den Wert von $a$ . (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$

Die Zufallsvariable $X$ kann folgende Werte annehmen:

$4$ falls zweimal die $2$ gezogen wird
$a+2$ falls unterschiedliche Zahlen gezogen werden
$2a$ falls zweimal die andere Zahl $a$ gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich mithilfe des Baumdiagramms (siehe Lösung a):

$X=k$	$4$	$2+a$	$2a$
$P(X=k)$	$\frac{9}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{4}{25}$

Aufstellen des Erwartungswertes

Erwartungswert ist die Summe der Werte, die $X$ annehmen kann, mal deren Wahrscheinlichkeit
	↓
$\displaystyle E\left[X\right]$	$=$	$\displaystyle 4\cdot\frac{9}{25}+\left(2+a\right)\cdot\frac{12}{25}+2a\cdot\frac{4}{25}$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{36}{25}+\frac{24}{25}+a\cdot\frac{12}{25}+a\cdot\frac{8}{25}$
	$=$	$\displaystyle \frac{60}{25}+a\cdot\frac{20}{25}$
	↓	Erwartungswert ist laut Aufgabe gleich $8$ .
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle \frac{60}{25}+a\cdot\frac{20}{25}$	$\displaystyle -\frac{60}{25}$
$\displaystyle \frac{28}{5}$	$=$	$\displaystyle a\cdot\frac{4}{5}$	$\displaystyle \cdot5$
$\displaystyle 28$	$=$	$\displaystyle 4a$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle 7$	$=$	$\displaystyle a$

$a$ hat den Wert $7$ .

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Aufgabe 4

Baumdiagramm als Hilfe

Ereignis

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Wahrscheinlichkeiten P(X=k)P(X=k)P(X=k)

Aufstellen des Erwartungswertes

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Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$