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Aufgabe 3B

Bild

Die Abbildung 1 zeigt das Viereck ABCDA B C D mit A(030),B(090),C(284)A(0|3| 0), B(0|9| 0), C(2|8| 4) und D(244)D(2|4| 4). Gegeben sind außerdem die Punkte St(06t)S_{t}(0|6| t) mit t0t \geq 0.

  1. Weisen Sie nach,

    • dass in dem Viereck ABCDA B C D zwei Seiten parallel zueinander sind.

    • dass in dem Viereck ABCDA B C D zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

    • dass das Viereck ABCDA B C D kein Rechteck ist.

    (6 BE)

  2. Der Punkt AA liegt in der Ebene EE mit der Gleichung 2xz=02 x-z=0.

    Zeigen Sie, ohne eine Punktprobe durchzuführen, dass das Viereck ABCDA B C D in EE liegt.

    (3 BE)

  3. Berechnen Sie den Winkel zwischen der xyx y-Ebene und der Ebene EE, in der das Viereck ABCDA B C D liegt. (3 BE)

  4. Betrachtet werden die Geraden gtg_{t}, die senkrecht zu der Ebene EE liegen und durch die Punkte StS_{t} verlaufen.

    Ermitteln Sie diejenigen Werte von tt, für die der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden gtg_{t} und der Ebene EE im Inneren des Vierecks ABCDA B C D liegt. (5 BE)

  5. Im Folgenden gilt t>4t>4.

    Die Gerade durch die Punkte StS_{t} und CC schneidet die xyx y-Ebene im Punkt CtC_{t}^{\prime}, die Gerade durch die Punkte StS_{t} und DD schneidet diese Ebene im Punkt DtD_{t}^{\prime} (vgl. Abbildung 1).

    Die beiden folgenden Gleichungen I und II liefern gemeinsam einen bestimmten Wert von tt.

    I. OSt+rStC=OCt\overrightarrow{O S_{t}}+r \cdot \overrightarrow{S_{t} C}=\overrightarrow{O C_{t}^{\prime}} mit Ct(xy0)C_{t}^{\prime}(x|y| 0)

    II. BABCt=0\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C_{t}^{\prime}}=0

    Geben Sie für diesen Wert von tt die Art des Vierecks ABCtDtA B C_{t}^{\prime} D_{t}^{\prime} an und begründen Sie Ihre Angabe. (5 BE)

  6. Bild

    Das Volumen der Pyramide ABCtDtStA B C_{t}^{\prime} D_{t}^{\prime} S_{t} wird in Abhängigkeit von tt durch einen der drei abgebildeten Graphen G1,G2G_{1}, G_{2} und G3G_{3} dargestellt (Abbildung 2).

    Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie Ihre Angabe. (3 BE)