Wahlteil - GTR

Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat

Setze $f(x)$ gleich null:

$0=x\cdot (8-5x)\cdot \left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2$

Es wird der Satz vom Nullprodukt angewendet:

Es ist $x=0$ oder $8-5x=0$ oder $\left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2=0$.

Also ist $x=0$ und/oder $x=\dfrac{8}{5}=1{,}6$ und/oder $x=4$.

Zu diesen x-Werten gehören die Uhrzeiten $6:00$ Uhr, $7:36$ Uhr und $10:00$ Uhr.

Die momentane Änderungsrate der Staulänge ist zu diesen Zeiten gleich null.

Begründung mit dem Funktionsterm

Die Funktion $f$ hat den Grad $4$, d.h. der Graph der Funktion hat maximal vier einfache Nullstellen.

Die ersten beiden Nullstellen sind einfache Nullstellen.

$x=4$ ist eine doppelte Nullstelle. Es gibt also insgesamt vier Nullstellen.

Somit gibt es keine weiteren Nullstellen und keine weiteren Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

Maximale Änderungsrate

Gesucht ist der Hochpunkt des Graphen der Funktion $f$.

Definiere auf dem GTR die Funktion $f(x)$.

Definiere die 1. Ableitung $t(x)=\dfrac{d}{dx}\left(f(x)\right)$.

Löse die Gleichung $t(x)=0$.

Dies muss man mehrfach durchführen und man erhält die Werte

$x_1=0{,}6202041, x_2=2{,}579796$ und $x_3=4$.

Wo liegt die stärkste Zunahme?

Betrachte die Steigung links und rechts von $x=0{,}62$(Vorzeichenwechselkriterium).

$f'(0)=(5\cdot 0^2- 16\cdot 0 +8)\cdot\left(1-\dfrac{0}{4}\right)=8$

$f'(1)=(5 \cdot 1^2- 16\cdot 1 +8)\cdot\left(1-\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{9}{4}$

Es findet also ein Vorzeichenwechsel von $+\rightarrow -$ statt.

Der gesuchte Hochpunkt liegt also bei $x=0{,}62$.

Zu dem $x$-Wert $0{,}62$ gehört die Uhrzeit $6:37$ Uhr.

Somit nimmt die Staulänge um $6:37$ Uhr am stärksten zu.

Wert der momentanen Änderungsrate zur Zeit der stärksten Zunahme

Berechne $f(0{,}62)=(8\cdot 0{,}62-5\cdot0{,}62^2)\cdot\left(1-\dfrac{0{,}62}{4}\right)^2\approx2{,}2$

Der Wert der momentanen Änderungsrate beträgt etwa $2{,}2$ $\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Maximale Staulänge

Die maximale Staulänge wird erreicht, wenn die Funktion $f$ (die momentane Änderungsrate) die x-Achse schneidet. Hier wechselt $f$ vom Positiven ins Negative. Dieser Zeitpunkt wurde schon in Aufgabe a) berechnet. Es ist $x=1{,}6$.

Um $7:36$ Uhr ist die Staulänge maximal.

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von $6:00$ Uhr bis $10:00$ Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

$s$ ist eine Stammfunktion von $f$.

Somit gilt: $\displaystyle\int_0^t f(x)dx=s(t)-s(0)$

Es gilt außerdem: $s'(x)=f(x)$.

Weiterhin ist: $s(0)=\left(\dfrac{0}{4}\right)^2\cdot (4-0)^3=0\cdot 4^3=0$

Die Staulänge um $6:00$ Uhr ist gleich null, d.h. hier beginnt gerade der Stau.

Um $10:00$ Uhr ist $x=4$ und $s(4)=\left(\dfrac{4}{4}\right)^2\cdot (4-4)^3=1\cdot 0^3=0$, d.h. der Stau hat sich aufgelöst.

Somit kann die Staulänge durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Zunahme der Staulänge

Um $6:00$ Uhr ist $x=0$ und um $7:30$ Uhr ist $x=1{,}5$.

Berechnet werden muss also das Integral:

Der Stau hat von $6:00$ Uhr bis $7:30$ Uhr um rund $2{,}2\;\text{km}$ zugenommen.

Mittlere Änderungsrate der Staulänge für diesen Zeitraum

Berechne $\dfrac{1}{1{,}5-0}\displaystyle\int_0^{1{,}5}f(x) dx=\dfrac{s(1{,}5)-s(0)}{1{,}5}=\dfrac{2{,}197}{1{,}5}\approx1{,}46$

Die mittlere (durchschnittliche) Änderungsrate der Staulänge für diesen Zeitraum beträgt rund $1{,}5\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Gleichsetzen der Funktionen

Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $h_{k_1}=h_{k_2}$:

Diese Gleichung hat die Lösung $x_1=3$, denn $0^{k_1}=0^{k_2}$ für $k_1,k_2 \in\{1; 2; 3...\}$.

Der Funktionswert für $x=3$ ist $h_k(3)=(3-3)^{k}+1=0+1=1$

$\Rightarrow\;P_1(3|1)$

Für $x\neq 3$ folgt:

Es ist $k_1\neq k_2$:

Da $k_1\neq k_2$ kann der Exponent nicht null werden. Eine weitere Lösung findet man nur, wenn $x-3=1$ ist, da $1 ^{k_1-k_2}=1$ ist für $k_1,k_2 \in\{1; 2; 3...\}$ und $k_1=k_2+1$.

$x-3=1\;\Rightarrow\;x_2=4$

Gemeinsame Punkte

Der Funktionswert für $x=4$ ist $h_k(4)=(4-3)^{k}+1=1+1=2$

$\Rightarrow\;P_2(4|2)$

Es gibt also zwei Punkte $P_1(3|1)$ und $P_2(4|2)$, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

Lösung

Die Funktion $h_5$ ist gegeben durch:

$h_5(x)=(x-3)^5+1$

Geradengleichung $g$

Die beiden Punkte $P(3|1)$ und $Q(4|2)$ liegen auf einer Geraden $g$.

$g(x)=m\cdot x+b$ mit $m=\dfrac{2-1}{4-3}=1\;\Rightarrow\;g(x)=1\cdot x+b$

Setze den z. B. den Punkt $P(3|1)$ ein:

$1=1\cdot 3+b\;\Rightarrow\;b=-2$

Die Gerade hat die Gleichung $g(x)=x-2$.

Rotationsvolumen

Für die Volumenberechnung müssen die Schnittpunkte zwischen $h_5(x)$ und $g(x)$ bestimmt werden.

Setze $h_5(x)=g(x)$ und löse mit dem CAS die Gleichung $(x-3)^5+1=x-2$.

Es werden drei Lösungen angegeben: $x_1=2, x_2=3$ und $x_3=4$.

Somit kann der Rotationskörper berechnet werden.

Beachte jeweils, welche Funktion im Integrationsintervall größer ist.

Für $x\in]2;3[$ ist $h_5(x)>g(x)$, denn $h_5(2{,}5)=(2{,}5-3)^5+1\approx0{,}97$ und $g(2{,}5)=2{,}5-2=0{,}5$.

Für $x\in]3;4[$ ist $h_5(x)<g(x)$, denn $h_5(3{,}5)=(3{,}5-3)^5+1\approx1{,}03$ und

$g(3{,}5)=3{,}5-2=1{,}5$.

Allgemein gilt für den Rotationskörper: $V=\pi\displaystyle\int_a^bf(x)^2dx$

Somit erhält man:

Für das 1. Integral liefert der GTR-Rechner den gerundeten Wert $1{,}333$ und für das 2. Integral erhält man $2{,}856$.

Das Gesamtrotationsvolumen beträgt demnach:

$V_{ges}=1{,}333+2{,}856=4{,}189\;\text{VE}\approx4{,}2\;\text{VE}$

Wert von $k$⁣, für den der Graph von $h_k'$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist

Berechne die erste Ableitung von $h_k$:

$h_k(x)=(x-3)^{k}+1$

$\Rightarrow\;h_k'(x)=k\cdot(x-3)^{k-1}$

Wenn $h_k'$ Tangente sein soll, dann muss der Graph von $h_k'$ eine Gerade sein.

1. Fall

Die Gerade ist eine Parallele zur $x$-Achse $(m=0)$. Dann ist der Exponent von $h_k'(x)$ gleich null. $\Rightarrow\;$$k-1=0$ bzw. $k=1$.

Die Funktion $h_1(x)=(x-3)^1+1=x-2$ ist ebenfalls eine Gerade mit der Steigung $m=1$.

$h_1'(x)$ ist keine Tangente an den Graphen von $h_1$, da die Steigungen unterschiedlich sind.

2. Fall

Der Exponent von $h_k'(x)$ ist gleich eins.

$\Rightarrow\;k-1=1$ bzw. $k=2$

Die Funktion $h_2(x)=(x-3)^{2}+1$ hat die Ableitungsfunktion $h_2'(x)=2\cdot(x-3)=2x-6$ (Gerade mit der Steigung $2$).

Wenn der Graph von $h'_2$ Tangente der Funktion $h_2(x)$ sein soll, müssen sich beide Graphen in einem Punkt schneiden und der Graph von $h_2$ müsste dort die Steigung $2$ haben.

Setze die Funktionsterme gleich:

$\Rightarrow\;(x-3)^2+1=2x-6$

Der GTR liefert als Lösung dieser Gleichung $x=4$.

Für $x=4$ erhält man den y-Wert $h_2'(4)=2\cdot 4-6=2$.

Beide Graphen schneiden sich im Punkt $B(4|2)$ und die beiden Graphen haben für $x=4$ die gleiche Steigung $h'_2(4)=2$.

$\Rightarrow\;h_2'(x)$ ist Tangente an $h_2(x)$ im Punkt $B(4|2)$.

Da $k=2$ die einzige Lösung ist, gibt es also genau einen Wert von $k$⁣, für den der Graph von $h_k'$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist.

Die Aussage ist also richtig.

Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung.

Wendepunkt mit negativer Steigung

Aus der Abbildung folgt, dass der Wendepunkt mit negativer Steigung eine positive x-Koordinate haben muss.

Zeichne den Graphen zu $f''(x)$ und bestimme die positive Nullstelle.

Sie liegt bei etwa $0{,}4$.

Berechne noch $f_1(0{,}4)$, um die Koordinaten des Wendepunktes angeben zu können: $f_1(0{,}4)\approx0{,}5\;\Rightarrow\;WP(0{,}4|0{,}5)$

Bestimmung der Steigung in diesem Wendepunkt

Es ist $f_1'(0{,}4)\approx-1{,}3$.

Die Steigung in diesem Wendepunkt beträgt rund $-1{,}3$.

Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen

Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne $f_a(0)$:

$f_a(0)=e^0(0-a)^2=a^2\;\Rightarrow\;S_y(0|a^2)$

Für den Schnittpunkt mit der x-Achse berechne $f_a(x)=0$:

$0=e^{x} \cdot(x-a)^{2}$

Da $e^x$ immer ungleich null ist, muss $(x-a)^2=0$ sein.$\;\Rightarrow\;x_{1{,}2}=a$

$\Rightarrow\;N_{1{,}2}(a|0)$

Begründung, dass der gemeinsame Punkt mit der x-Achse der Tiefpunkt des Graphen von f ist

Für die Funktion $f_a(x)$ gilt, dass sie für alle $x$ größer oder gleich null ist.

Der Punkt $(a|0)$ muss demnach der Tiefpunkt sein.

Wert von $a$, für den dieses Dreieck gleichschenklig ist

Gegeben sind die Koordinaten der beiden Extrempunkte.

Nach Aufgabe b) gilt für den Tiefpunkt $TP(a|0)$.

Der Hochpunkt ist gegeben durch $HP\left(a-2 \mid 4 e^{a-2}\right)$.

Damit das Dreieck gleichschenklig wird, muss die Steigung der Geraden gleich $-1$ sein.

$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{4\cdot e^{a-2}-0}{a-2-a}=-2\cdot e^{a-2}=-1$

Für $a=\ln(0{,}5)+2=2-\ln 2\approx1{,}307$ ist dieses Dreieck gleichschenklig.

Bedeutung für die Graphen der Stammfunktionen zu $f_{a}$ an

Wenn $F_a(x)$ eine Stammfunktion von $f_a(x)$ ist, dann gilt nach Aufgabenstellung:

$F_a'(a) =f_a(a)=0\;\Rightarrow\;$ Die Stammfunktion hat an der Stelle $x=a$ eine waagrechte Tangente.

$F_a''(a) =f_a'(a)=0\;\Rightarrow\;$ An der Stelle $x=a$ hat der Graph der Stammfunktion einen Wendepunkt, da hier auch gilt, dass $F_a'''(a) =f_a''(a)\neq 0$ ist.

Somit hat der Graph der Stammfunktion $F_a(x)$ an der Stelle $x=a$ eine waagrechte Wendetangente. Es handelt sich hier um einen Terrassen- oder Sattelpunkt.

Welcher Graph gehört zu welcher Ableitungsfunktion

Der Graph I hat eine positive Nullstelle. Bei dieser positiven Nullstelle hat der Graph II ein Extremum (TP). Demnach muss der Graph 1 zu $f''_a$ und der Graph II zu $f'_a$ gehören.

Der Graph II kommt als Ableitungsfunktion von Graph I nicht infrage, da an der Stelle, an der der Graph I einen Tiefpunkt hat, der Graph II keine Nullstelle hat.

Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat

Der größte Schalldruckpegel wird im Verlauf der Funktion $k(x)$ erreicht, d.h. für $2<x<4$.

Aus $k'(x)=0 \;\Rightarrow\;x\approx 3{,}6$

Nach etwa $3{,}6$ Sekunden wird der größte Schalldruckpegel erreicht.

Größter Abstand

Berechnung des Mittelwerts

Die Funktion $k$ ist im Intervall $[2;4]$ definiert.

Die Fläche eines Rechtecks $A$ ist Höhe $h$ mal Breite, wobei das Rechteck die Breite $4-2=2$ hat.$\;\Rightarrow\;A=h\cdot 2$

Weiterhin gilt:

Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für $2 \leq x \leq 4$ zwischen dem Graphen von $k$ und der $x$-Achse liegt.

Der GTR liefert als Ergebnis: $A=64{,}6948\;\text{FE}$

$\Rightarrow\;64{,}6948=h\cdot 2$ bzw. $h\approx32{,}35$

Der durchschnittliche Funktionswert von $k$ entspricht der berechneten Höhe $32{,}35$.

Alternative Berechnung des Mittelwertes

Für den Mittelwert gilt allgemein:

$\dfrac{1}{b-a}\cdot \displaystyle \int_a^bk(x) dx$

Mit den Grenzen $a=2$ und $b=4$ folgt dann:

$\dfrac{1}{4-2}\cdot \displaystyle \int_2^4k(x) dx=\dfrac{1}{2}\cdot 64{,}6948\approx 32{,}35$

Länge der Fahrbahn

Berechne die Nullstelle von $r(x)=2{,}53 \cdot\left(e^{\frac{1}{11} \cdot(32-x)}-1\right)$.

Da $e^0=1$ ist, muss $\frac{1}{11} \cdot(32-x)=0$ sein$\;\Rightarrow\;x=32$.

Wegen der Symmetrie der Brücke und da eine Längeneinheit $10 \mathrm{~m}$ in der Realität beträgt, ist die Länge der Brücke $2\cdot 32\cdot 10=640\;\text{m}$.

Term $l(x)$ für das Abspannseil (links)

Wegen der Symmetrie der Brücke ist $r(x)=r(-x)$. Damit kann $l(x)=r(-x)$ angegeben werden.

Ersetze in $r(x)$ die Variable $x$ durch $(-x)$:

Damit ist $l(x)=2{,}53 \cdot\left(e^{\frac{1}{11} \cdot(32+x)}-1\right)$.

Intervall, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt.

Die linke Nullstelle befindet sich bei $x=-32$ und der linke Pfeiler bei $x=-20$. Die Funktion $l(x)$ ist demnach im Intervall $[-32;-20]$ definiert.

Länge eines Pfeilers oberhalb der Fahrbahn.

Berechne $r(20)$:

Definiere auf dem GTR-Rechner die Funktion $r(x)$ und berechne dann $r(20)$:

$r(20)\approx5{,}001757\approx5$

Mit der Längeneinheit $10 \mathrm{~m}$ in der Realität heißt das, der Pfeiler hat eine Länge von rund $50 \mathrm{~m}$.

Größe des Winkels, unter dem das rechte Abspannseil auf den rechten Pfeiler trifft

Lass Dir vom GTR-Rechner die 1. Ableitung der Funktion $r$ anzeigen und lies für $x=20$ die Steigung ab.

$r'(20)\approx-0{,}684705...\;\Rightarrow\;\tan(\alpha)=-0{,}6847\;$

$\Rightarrow\;\alpha=\tan^{-1}(-0{,}6847)\approx-34{,}4^\circ$

Das ist der Winkel im 4. Quadranten. Der Winkel in dem eingezeichneten Dreieck (grün) (siehe Abbildung) ist dann $34{,}4^\circ$ und entsprechend der gesuchte Winkel (orange) ist dann $90^\circ -\alpha=90^\circ -34{,}4^\circ=55{,}6^\circ$.

Abstand der vertikalen Begrenzung zum Pfeiler.

Es soll gelten:

Die Teilfläche soll halb so groß sein wie das gesamte Flächenstück sein.

$0{,}5\cdot\displaystyle \int_{20}^{32}r(x)\;dx=\displaystyle \int_{20}^{a}r(x)\;dx$

Löse mit dem GTR

Löse die obige Gleichung.

Der GTR liefert als Lösung $x\approx23{,}04497246$ bzw. das gesuchte $a$.

Der gesuchte Abstand der vertikalen Begrenzung zum Pfeiler ist dann:

$23{,}045-20=3{,}045\;\text{LE}$. Das sind rund $30{,}45\;\text{m}$.

Symmetrie des Graphen

Gegeben ist die Funktion $s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256}$.

Die Funktion $s$ hat nur gerade Exponenten für die Variable $x$.

Demnach ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

Alternativ kann gezeigt werden, dass $s(x)=s(-x)$ ist.

$s(-x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left((-x)^{4}+2560 (-x)^{2}\right)+\frac{125}{256}=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256}=s(x)$

Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang

Gegeben ist der Term:

$[s(-20+1{,}6 \cdot 1)+s(-20+1{,}6 \cdot 2)+\cdots+s(-20+1{,}6 \cdot 24)] \cdot 10$

Aus dem Aufgabentext entnimmt man:

"Die 24 vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben von den Pfeilern und untereinander einen horizontalen Abstand von jeweils $16 \mathrm{~m}$."

Betrachte den ersten Term in der Klammer $s(-20+1{,}6 \cdot 1)$.