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Wahlteil - GTR

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Aufgaben zur Abiturprüfung eA 2023, Wahlteil - GTR. Zum Download hier.

  1. 1

    Aufgabe 1A

    Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau, der sich dann wieder vollständig auflöst. An einem bestimmten Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für 0x40 \leq x \leq 4 mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit f(x)=x(85x)(1x4)2f(x)=x \cdot(8-5 x) \cdot\left(1-\frac{x}{4}\right)^{2} beschrieben.

    Dabei gibt xx die nach 06: 00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und f(x)f(x) die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde (kmh)\left(\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right) an.

    1. Nennen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

      Begründen Sie anhand der Struktur des Funktionsterms von ff, dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt. (5 BE)

    2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.

      Zeigen Sie, dass der zugehörige Wert der momentanen Änderungsrate etwa 2,22{,}2 kmh\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} beträgt. (4 BE)

    3. Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist.

      Begründen Sie Ihre Angabe. (4 BE)

    4. Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ss mit s(x)=(x4)2(4x)3s(x)=\left(\frac{x}{4}\right)^{2} \cdot(4-x)^{3}. ss ist eine Stammfunktion von ff.

      Der Stau entsteht um 06: 00 Uhr.

      Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

      Für den Zeitraum von 06: 00 Uhr bis 10: 00 Uhr kann die Staulänge durch die Funktion ss angegeben werden.

      Prüfen Sie, ob sich der Stau um 10: 00 Uhr vollständig aufgelöst hat. (5 BE)

    5. Berechnen Sie die Zunahme der Staulänge von 06:00 Uhr bis 07:30 Uhr und geben Sie für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge an. (5 BE)

    6. Betrachtet wird die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen hkh_{k} mit hk(x)=(x3)k+1h_{k}(x)=(x-3)^{k}+1 und kN,k>0k \in \mathbb{N}, k>0.

      Ermitteln Sie die Koordinaten derjenigen Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben. (4 BE)

    7. Der Graph von h5h_{5} und die Gerade durch die Punkte P(31)P(3 \mid 1) und Q(42)Q(4 \mid 2) schließen zwei Flächenstücke ein.

      Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man diese beiden Flächenstücke um die xx-Achse rotieren lässt. (7 BE)

    8. Beurteilen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage: (6 BE)

      Es gibt genau einen Wert von kk, für den der Graph von hkh_{k}^{\prime} Tangente an den Graphen von hkh_{k} ist.

  2. 2

    Aufgabe 1B

    Bild

    Gegeben ist die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen faf_{a} mit

    fa(x)=ex(xa)2f_{a}(x)=e^{x} \cdot(x-a)^{2} mit aRa \in \mathbb{R}.

    Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt.

    1. Der Graph von f1f_{1} hat in einem seiner Wendepunkte eine negative Steigung.

      Bestimmen Sie diesen Wendepunkt und diese Steigung. (6 BE)

    2. Jeder Graph von faf_{a} hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt.

      Geben Sie die Koordinaten dieser Punkte an.

      Begründen Sie, dass der gemeinsame Punkt mit der xx-Achse der Tiefpunkt des Graphen von faf_{a} ist. (4 BE)

    3. Für jeden Wert von aa mit a0a \neq 0 schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte des Graphen von faf_{a} mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Die Koordinaten der Hochpunkte sind: (a24ea2)\left(a-2 \mid 4 e^{a-2}\right)

      Berechnen Sie denjenigen Wert von aa, für den dieses Dreieck gleichschenklig ist. (6 BE)

    4. Für jeden Wert von aa gilt: fa(a)=0f_{a}(a)=0 und fa(a)=0f_{a}^{\prime}(a)=0 und fa(a)0f_{a}^{\prime \prime}(a) \neq 0

      Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Stammfunktionen zu faf_{a} an. (3 BE)

    5. Bild

      Abbildung 2 zeigt für einen bestimmten Wert von aa die Graphen von faf_{a}^{\prime} und faf_{a}^{\prime \prime}.

      Entscheiden Sie, welcher der beiden Graphen I und II zu welcher Ableitungsfunktion gehört, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)

    6. Abbildung 3

      Abbildung 3

      Der Schalldruckpegel wird oft umgangssprachlich als Lautstärke bezeichnet. Bei einem bestimmten Weckton eines Weckers wird der Schalldruckpegel durch die Funktionen hh und kk beschrieben:

      h(x)=20sin(x)h(x)=20 \cdot \sin (x) für 0x20 \leq x \leq 2

      k(x)=20sin(x2)+20sin(2)k(x)=20 \cdot \sin (x-2)+20 \cdot \sin (2)

      für 2x42 \leq x \leq 4

      Dabei ist xx die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden. h(x)h(x) und k(x)k(x) geben den Schalldruckpegel in Dezibel (db) an.

      Die Abbildung 3 zeigt die Graphen von hh und kk.

      Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat.

      (6 BE)

    7. Dem Graphen von hh ist zu entnehmen, dass der Weckton in den ersten zwei Sekunden bestimmte Schalldruckpegel mehr als einmal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleichem Schalldruckpegel haben jeweils einen bestimmten Abstand.

      Berechnen Sie den größten dieser Abstände. (6 BE)

    8. Berechnen Sie unter Verwendung der folgenden Information den durchschnittlichen Funktionswert von kk: (6 BE)

      Der durchschnittliche Funktionswert von kk im Intervall [a;b][a ; b] stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat:

      • Das Rechteck hat die Breite bab-a.

      • Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für axba \leq x \leq b zwischen dem Graphen von kk und der xx-Achse liegt.

  3. 3

    Aufgabe 1C

    Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Brücke.

    Bild

    Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von 400 m400 \mathrm{~m}. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn auf Fahrbahnhöhe verankert.

    Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 10 m10 \mathrm{~m} in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die xx-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die yy-Achse entlang der Symmetrieachse.

    Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils durch die Funktion rr mit r(x)=2,53(e111(32x)1)r(x)=2{,}53 \cdot\left(e^{\frac{1}{11} \cdot(32-x)}-1\right) beschrieben.

    1. Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt 640 m640 \mathrm{~m} lang ist. (4 BE)

    2. Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils durch einen Funktionsterm beschrieben werden.

      Geben Sie einen passenden Term l(x)l(x) sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt. (3 BE)

    3. Berechnen Sie die Länge eines Pfeilers oberhalb der Fahrbahn. (3 BE)

    4. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem das rechte Abspannseil auf den rechten Pfeiler trifft. (4 BE)

    5. In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Für eine Baumaßnahme wird zwischen Abspannseil und Fahrbahn eine Teilfläche des Flächenstücks mit einem Schutznetz verkleidet. Links wird die Teilfläche vom Pfeiler begrenzt und rechts endet sie mit einer vertikalen Begrenzung. Die Teilfläche soll halb so groß sein wie das gesamte Flächenstück.

      Bestimmen Sie den Abstand der vertikalen Begrenzung zum Pfeiler. (6 BE)

    6. Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt betrachtet. Die 24 vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben von den Pfeilern und untereinander einen horizontalen Abstand von jeweils 16 m16 \mathrm{~m}. Der Verlauf des Tragseils wird durch die Funktion s mit s(x)=(18)6(x4+2560x2)+125256s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256} beschrieben.

      Begründen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage: (2 BE)

      Im Term von s ist erkennbar, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist.

    7. Geben Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an:

      [s(20+1,61)+s(20+1,62)++s(20+1,624)]10[s(-20+1{,}6 \cdot 1)+s(-20+1{,}6 \cdot 2)+\cdots+s(-20+1{,}6 \cdot 24)] \cdot 10

      Begründen Sie Ihre Angabe. (5 BE)

    8. Punkt QQ ist der Punkt auf dem rechten Pfeiler, der auf der Höhe der Fahrbahn liegt. Berechnen Sie den Abstand von QQ zum Tragseil. (7 BE)

    9. Die Punkte A(20s(20)),C(0s(0))A(-20 \mid s(-20)), C(0 \mid s(0)) und B(20s(20))B(20 \mid s(20)) werden in dieser Reihenfolge durch Strecken verbunden.

      Berechnen Sie die Summe der Streckenlängen und begründen Sie, dass die Länge des Tragseils größer ist als die Summe der Streckenlängen in der Realität. (6 BE)

  4. 4

    Aufgabe 2A

    Bild

    Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von 0 bis 9 beschriftet.

    1. Das Glücksrad wird zwanzigmal gedreht.

      Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse AA und BB. (5 BE)

      AA : „Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt.“

      BB : „Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt.“

    2. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.

      Untersuchen Sie, ob die Ereignisse CC und DD stochastisch unabhängig sind. (5 BE)

      CC : „Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als 4.4 .{ }^{\prime \prime}

      DD : „Das Produkt der erzielten Zahlen ist 2 oder 3.“

    3. Mit dem Glücksrad wird ein Spiel durchgeführt. Jeder Spieler darf das Glücksrad beliebig oft drehen. Beendet er das Spiel selbst, bevor er eine „0“ erzielt, so wird ihm die Summe der erzielten Zahlen in Euro ausgezahlt. Erzielt er eine „ 0 “, so ist das Spiel dadurch beendet und es erfolgt keine Auszahlung.

      Bei einem Spieler beträgt nach mehrmaligem Drehen des Glücksrads die Summe der erzielten Zahlen 60. Er dreht das Glücksrad genau ein weiteres Mal.

      Berechnen Sie den Erwartungswert für den ausgezahlten Betrag. (3 BE)

    4. Der Spieler dreht das Glücksrad bis er eine „ 0 “ erzielt, aber höchstens nn-mal. Der Erwartungswert für die Auszahlung beträgt in diesem Fall 5n0,9n5 n \cdot 0{,}9^{n}.

      Beurteilen Sie die folgende Aussage: (4 BE)

      Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von n, für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen.

    5. Betrachtet wird nun ein Glücksrad mit 10 nicht gleich großen Sektoren. Die Sektoren sind mit den Zahlen von 0 bis 9 beschriftet.

      Bei 80 Drehungen wird zwölfmal die „0“ erzielt. Auf dieser Grundlage wird zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 95%95 \% ein Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung die "0“ zu erzielen, bestimmt.

      Begründen Sie, dass die obere Grenze des Konfidenzintervalls größer als 0,1 ist. (4 BE)