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Wahlteil - GTR

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Aufgaben zur Abiturprüfung eA 2023, Wahlteil - GTR. Zum Download hier.

  1. 1

    Aufgabe 1A

    Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau, der sich dann wieder vollständig auflöst. An einem bestimmten Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für 0x40 \leq x \leq 4 mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit f(x)=x(85x)(1x4)2f(x)=x \cdot(8-5 x) \cdot\left(1-\frac{x}{4}\right)^{2} beschrieben.

    Dabei gibt xx die nach 06: 00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und f(x)f(x) die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde (kmh)\left(\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right) an.

    1. Nennen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

      Begründen Sie anhand der Struktur des Funktionsterms von ff, dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt. (5 BE)

    2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.

      Zeigen Sie, dass der zugehörige Wert der momentanen Änderungsrate etwa 2,22{,}2 kmh\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} beträgt. (4 BE)

    3. Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist.

      Begründen Sie Ihre Angabe. (4 BE)

    4. Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ss mit s(x)=(x4)2(4x)3s(x)=\left(\frac{x}{4}\right)^{2} \cdot(4-x)^{3}. ss ist eine Stammfunktion von ff.

      Der Stau entsteht um 06: 00 Uhr.

      Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

      Für den Zeitraum von 06: 00 Uhr bis 10: 00 Uhr kann die Staulänge durch die Funktion ss angegeben werden.

      Prüfen Sie, ob sich der Stau um 10: 00 Uhr vollständig aufgelöst hat. (5 BE)

    5. Berechnen Sie die Zunahme der Staulänge von 06:00 Uhr bis 07:30 Uhr und geben Sie für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge an. (5 BE)

    6. Betrachtet wird die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen hkh_{k} mit hk(x)=(x3)k+1h_{k}(x)=(x-3)^{k}+1 und kN,k>0k \in \mathbb{N}, k>0.

      Ermitteln Sie die Koordinaten derjenigen Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben. (4 BE)

    7. Der Graph von h5h_{5} und die Gerade durch die Punkte P(31)P(3 \mid 1) und Q(42)Q(4 \mid 2) schließen zwei Flächenstücke ein.

      Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man diese beiden Flächenstücke um die xx-Achse rotieren lässt. (7 BE)

    8. Beurteilen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage: (6 BE)

      Es gibt genau einen Wert von kk, für den der Graph von hkh_{k}^{\prime} Tangente an den Graphen von hkh_{k} ist.

  2. 2

    Aufgabe 1B

    Bild

    Gegeben ist die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen faf_{a} mit

    fa(x)=ex(xa)2f_{a}(x)=e^{x} \cdot(x-a)^{2} mit aRa \in \mathbb{R}.

    Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt.

    1. Der Graph von f1f_{1} hat in einem seiner Wendepunkte eine negative Steigung.

      Bestimmen Sie diesen Wendepunkt und diese Steigung. (6 BE)

    2. Jeder Graph von faf_{a} hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt.

      Geben Sie die Koordinaten dieser Punkte an.

      Begründen Sie, dass der gemeinsame Punkt mit der xx-Achse der Tiefpunkt des Graphen von faf_{a} ist. (4 BE)

    3. Für jeden Wert von aa mit a0a \neq 0 schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte des Graphen von faf_{a} mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Die Koordinaten der Hochpunkte sind: (a24ea2)\left(a-2 \mid 4 e^{a-2}\right)

      Berechnen Sie denjenigen Wert von aa, für den dieses Dreieck gleichschenklig ist. (6 BE)

    4. Für jeden Wert von aa gilt: fa(a)=0f_{a}(a)=0 und fa(a)=0f_{a}^{\prime}(a)=0 und fa(a)0f_{a}^{\prime \prime}(a) \neq 0

      Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Stammfunktionen zu faf_{a} an. (3 BE)

    5. Bild

      Abbildung 2 zeigt für einen bestimmten Wert von aa die Graphen von faf_{a}^{\prime} und faf_{a}^{\prime \prime}.

      Entscheiden Sie, welcher der beiden Graphen I und II zu welcher Ableitungsfunktion gehört, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)

    6. Abbildung 3

      Abbildung 3

      Der Schalldruckpegel wird oft umgangssprachlich als Lautstärke bezeichnet. Bei einem bestimmten Weckton eines Weckers wird der Schalldruckpegel durch die Funktionen hh und kk beschrieben:

      h(x)=20sin(x)h(x)=20 \cdot \sin (x) für 0x20 \leq x \leq 2

      k(x)=20sin(x2)+20sin(2)k(x)=20 \cdot \sin (x-2)+20 \cdot \sin (2)

      für 2x42 \leq x \leq 4

      Dabei ist xx die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden. h(x)h(x) und k(x)k(x) geben den Schalldruckpegel in Dezibel (db) an.

      Die Abbildung 3 zeigt die Graphen von hh und kk.

      Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat.

      (6 BE)

    7. Dem Graphen von hh ist zu entnehmen, dass der Weckton in den ersten zwei Sekunden bestimmte Schalldruckpegel mehr als einmal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleichem Schalldruckpegel haben jeweils einen bestimmten Abstand.

      Berechnen Sie den größten dieser Abstände. (6 BE)

    8. Berechnen Sie unter Verwendung der folgenden Information den durchschnittlichen Funktionswert von kk: (6 BE)

      Der durchschnittliche Funktionswert von kk im Intervall [a;b][a ; b] stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat:

      • Das Rechteck hat die Breite bab-a.

      • Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für axba \leq x \leq b zwischen dem Graphen von kk und der xx-Achse liegt.

  3. 3

    Aufgabe 1C

    Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Brücke.

    Bild

    Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von 400 m400 \mathrm{~m}. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn auf Fahrbahnhöhe verankert.

    Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 10 m10 \mathrm{~m} in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die xx-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die yy-Achse entlang der Symmetrieachse.

    Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils durch die Funktion rr mit r(x)=2,53(e111(32x)1)r(x)=2{,}53 \cdot\left(e^{\frac{1}{11} \cdot(32-x)}-1\right) beschrieben.

    1. Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt 640 m640 \mathrm{~m} lang ist. (4 BE)

    2. Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils durch einen Funktionsterm beschrieben werden.

      Geben Sie einen passenden Term l(x)l(x) sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt. (3 BE)

    3. Berechnen Sie die Länge eines Pfeilers oberhalb der Fahrbahn. (3 BE)

    4. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem das rechte Abspannseil auf den rechten Pfeiler trifft. (4 BE)

    5. In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Für eine Baumaßnahme wird zwischen Abspannseil und Fahrbahn eine Teilfläche des Flächenstücks mit einem Schutznetz verkleidet. Links wird die Teilfläche vom Pfeiler begrenzt und rechts endet sie mit einer vertikalen Begrenzung. Die Teilfläche soll halb so groß sein wie das gesamte Flächenstück.

      Bestimmen Sie den Abstand der vertikalen Begrenzung zum Pfeiler. (6 BE)

    6. Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt betrachtet. Die 24 vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben von den Pfeilern und untereinander einen horizontalen Abstand von jeweils 16 m16 \mathrm{~m}. Der Verlauf des Tragseils wird durch die Funktion s mit s(x)=(18)6(x4+2560x2)+125256s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256} beschrieben.

      Begründen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage: (2 BE)

      Im Term von s ist erkennbar, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist.

    7. Geben Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an:

      [s(20+1,61)+s(20+1,62)++s(20+1,624)]10[s(-20+1{,}6 \cdot 1)+s(-20+1{,}6 \cdot 2)+\cdots+s(-20+1{,}6 \cdot 24)] \cdot 10

      Begründen Sie Ihre Angabe. (5 BE)

    8. Punkt QQ ist der Punkt auf dem rechten Pfeiler, der auf der Höhe der Fahrbahn liegt. Berechnen Sie den Abstand von QQ zum Tragseil. (7 BE)

    9. Die Punkte A(20s(20)),C(0s(0))A(-20 \mid s(-20)), C(0 \mid s(0)) und B(20s(20))B(20 \mid s(20)) werden in dieser Reihenfolge durch Strecken verbunden.

      Berechnen Sie die Summe der Streckenlängen und begründen Sie, dass die Länge des Tragseils größer ist als die Summe der Streckenlängen in der Realität. (6 BE)

  4. 4

    Aufgabe 2A

    Bild

    Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von 0 bis 9 beschriftet.

    1. Das Glücksrad wird zwanzigmal gedreht.

      Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse AA und BB. (5 BE)

      AA : „Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt.“

      BB : „Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt.“

    2. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.

      Untersuchen Sie, ob die Ereignisse CC und DD stochastisch unabhängig sind. (5 BE)

      CC : „Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als 4.4 .{ }^{\prime \prime}

      DD : „Das Produkt der erzielten Zahlen ist 2 oder 3.“

    3. Mit dem Glücksrad wird ein Spiel durchgeführt. Jeder Spieler darf das Glücksrad beliebig oft drehen. Beendet er das Spiel selbst, bevor er eine „0“ erzielt, so wird ihm die Summe der erzielten Zahlen in Euro ausgezahlt. Erzielt er eine „ 0 “, so ist das Spiel dadurch beendet und es erfolgt keine Auszahlung.

      Bei einem Spieler beträgt nach mehrmaligem Drehen des Glücksrads die Summe der erzielten Zahlen 60. Er dreht das Glücksrad genau ein weiteres Mal.

      Berechnen Sie den Erwartungswert für den ausgezahlten Betrag. (3 BE)


    4. Der Spieler dreht das Glücksrad bis er eine „ 0 “ erzielt, aber höchstens nn-mal. Der Erwartungswert für die Auszahlung beträgt in diesem Fall 5n0,9n5 n \cdot 0{,}9^{n}.

      Beurteilen Sie die folgende Aussage: (4 BE)

      Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von n, für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen.

    5. Betrachtet wird nun ein Glücksrad mit 10 nicht gleich großen Sektoren. Die Sektoren sind mit den Zahlen von 0 bis 9 beschriftet.

      Bei 80 Drehungen wird zwölfmal die „0“ erzielt. Auf dieser Grundlage wird zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 95%95 \% ein Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung die "0“ zu erzielen, bestimmt.

      Begründen Sie, dass die obere Grenze des Konfidenzintervalls größer als 0,1 ist. (4 BE)

    6. Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Drehungen, für die Folgendes gilt: (4 BE)

      Wenn man bei genau 15%15 \% der Drehungen die „0" erzielt, dann steht dies bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95%95 \% nicht in Einklang mit der Annahme, dass beim Drehen des Glücksrads die „0" mit einer Wahrscheinlichkeit von 10%10 \% erzielt wird.

  5. 5

    Aufgabe 2B

    Bild

    Für ein Land wird die Gruppe derjenigen Personen betrachtet, die im Jahr 2022 eine Urlaubsreise unternahmen.

    Aus der betrachteten Gruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden die folgenden Ereignisse:

    WW : „Die Person ist weiblich.“

    ZZ : „Die Person war mit ihrer Urlaubsreise zufrieden.“

    Das nebenstehende Baumdiagramm veranschaulicht die Situation.

    1. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine ausgewählte Person mit ihrer Urlaubsreise zufrieden war, beträgt 77,8%77{,}8 \%.

      Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von aa. (3 BE)


    2. Weisen Sie nach, dass es in der betrachteten Gruppe für a=0,7a=0{,}7 weniger weibliche als nicht weibliche Personen geben würde, die mit ihrer Urlaubsreise zufrieden waren.

      (2 BE)

    3. Geben Sie denjenigen Wert von aa an, für den WW und ZZ stochastisch unabhängig sind. Begründen Sie Ihre Angabe, ohne zu rechnen. (4 BE)


    4. Die ausgewählte Person war mit ihrer Urlaubsreise nicht zufrieden.

      Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person weiblich ist, mit zunehmendem Wert von aa zunimmt. (3 BE)

    5. Ein Reiseunternehmen führt ein Gewinnspiel durch. Jede Person kann nur einmal an dem Spiel teilnehmen. Als Ergebnis des Spiels wird eine bestimmte Anzahl von Strandkörben angezeigt. Diese Anzahl beträgt 0,1,2 oder 3. Im Folgenden sind die möglichen Gewinne beschrieben:

      • Wird kein Strandkorb angezeigt, so gewinnt die Person nichts.

      • Werden 1, 2 oder 3 Strandkörbe angezeigt, so gewinnt die Person einen Gutschein.

      Bild

      Bei dem Spiel beträgt der Erwartungswert des Gewinns pro Person 80 Cent.

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem Spiel kein Strandkorb angezeigt wird.

      Bestimmen Sie für die Personen mit zwei Strandkörben den Wert des Gutscheins.

      (4 BE)

    6. 80000 Personen nehmen an dem Spiel teil. Die Zufallsgröße YY beschreibt die Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben. Der Erwartungswert der Zufallsgröße YY wird mit μY\mu_{Y} bezeichnet.

      Ermitteln Sie den kleinsten möglichen ganzzahligen Wert von cc, für den die Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80%80 \% im Intervall [μYc;μY+c]\left[\mu_{Y}-c ; \mu_{Y}+c\right] liegt. (4 BE)

    7. In der ersten Woche haben 1200 Personen an dem Spiel teilgenommen. Von diesen haben 7 Personen einen Gutschein gewonnen.

      Beurteilen Sie auf Grundlage einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99%99 \%, ob die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn eines Gutscheins mit dem Ergebnis verträglich ist. (5 BE)

  6. 6

    Aufgabe 2C

    Ein Unternehmen stellt Olivenöl her und füllt es in Flaschen ab. Laut Aufdruck beträgt die Füllmenge jeder Flasche 600ml600 \mathrm{ml}.

    Für jede Flasche beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie weniger als 600ml600 \mathrm{ml} Öl enthält, 1,5%1{,}5\%. Die Anzahl der Flaschen mit weniger als 600ml600 \mathrm{ml} Öl wird durch eine Binomialverteilung beschrieben. Die Flaschen werden in Kartons verpackt. Jeder Karton enthält zwölf Flaschen.

    1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Karton weniger als zwei Flaschen mit weniger als 600ml600 \mathrm{ml} Öl enthalten sind. (2 BE)

    2. An einen Supermarkt wird regelmäßig die gleiche Anzahl von Flaschen geliefert. Dabei enthalten im Mittel mehr als 780 Flaschen mindestens 600ml600 \mathrm{ml} Öl. Ermitteln Sie, wie viele Flaschen mindestens geliefert werden. (4 BE)


    3. Ein Karton gilt als fehlerhaft, wenn mehr als eine Flasche weniger als 600ml600 \mathrm{ml} Öl enthält.

      Ein Supermarkt erhält eine Lieferung von 150 Kartons.

      Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 3%3 \% der Kartons fehlerhaft sind. (4 BE)

    4. Die Füllmenge der Flaschen ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von 600,5ml600{,}5 \mathrm{ml} und einer Standardabweichung von 0,23ml0{,}23 \mathrm{ml}.

      Eine Flasche wird zufällig ausgewählt.

      Ermitteln Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit: (4 BE)

      AA : „Die Flasche enthält mehr als 601ml601 \mathrm{ml} Öl.“

      BB : „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um 0,5ml0{,}5 \mathrm{ml} vom Erwartungswert ab.“

    5. Das Unternehmen möchte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als 600ml600 \mathrm{ml} Öl enthält, verringern. Für die nötige Änderung der Maschine, die die Flaschen befüllt, gibt es zwei Vorschläge:

      Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von 600,5 ml wird erhöht.

      Vorschlag 2: Die Genauigkeit, mit der die eingestellte Füllmenge von 600,5 ml erreicht wird, wird erhöht.

      Beide Abbildungen zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, die vor der Änderung der Maschine die Füllmenge der Flaschen beschreibt.

      Bild

      Skizzieren Sie in der Abbildung 1 den Graphen einer Dichtefunktion, die zu Vorschlag 1 passt und in der Abbildung 2 den Graphen einer Dichtefunktion, die zum Vorschlag 2 passt.

      Begründen Sie für Vorschlag 1, dass damit das Ziel des Unternehmens erreicht wird.

      (7 BE)

    6. Bestimmen Sie die größtmögliche Standardabweichung mit einer Genauigkeit von drei Nachkommastellen, für die gilt: (4 BE)

      Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als 600ml600 \mathrm{ml} Öl enthält, ist höchstens halb so groß.


  7. 7

    Aufgabe 3A

    Bild

    Auf einem ebenen, horizontalen Gelände steht ein 15 m15 \mathrm{~m} hoher Mast, an dem drei rechteckige Werbeflächen befestigt sind. In der Abbildung 1 ist eine der Werbeflächen grau dargestellt. Der Mast ist zylinderförmig und hat einen Durchmesser von 80 cm80 \mathrm{~cm}. Er verläuft ebenso wie die seitlichen Kanten der Werbeflächen vertikal.

    In einem Koordinatensystem wird das Gelände durch die x1x2x_1x_2-Ebene beschrieben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 11m in der Wirklichkeit. Der Mittelpunkt der Grundfläche des Masts wird durch den Koordinatenursprung dargestellt. Die Punkte A(5211),B(2511),C,D(5215),E(2515)A(5\mid-2\mid 11),B(-2\mid5\mid11),C,D(5\mid -2\mid 15),E(-2\mid 5\mid 15) und F(2215)F(-2\mid -2\mid 15) stellen Eckpunkte der Werbeflächen dar.

    1. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der grau dargestellten Werbefläche.

      Untersuchen Sie, ob die beiden anderen Werbeflächen einen rechten Winkel einschließen. (6 BE)

    2. Die grau dargestellte Werbefläche liegt in einer Ebene, deren Gleichung in der Form ax1+ax2=ba \cdot x_{1}+a \cdot x_{2}=b dargestellt werden kann.

      Ermitteln Sie passende Werte von aa und bb. (3 BE)

    3. Begründen Sie, dass der Abstand der grau dargestellten Werbefläche zum Mast mit dem Abstand des Mittelpunkts der oberen Kante dieser Werbefläche zum Mast übereinstimmt. (5 BE)

    4. Bild

      Auf dem Gelände befindet sich ein Sportplatz. Von dort aus blickt ein Kind zur grau dargestellten Werbefläche. Die Sicht des Kindes wird durch eine Mauer eingeschränkt. Die obere Kante der Mauer wird durch die Strecke zwischen den Punkten P(2053)P(20|-5| 3) und Q(20253)Q(20|25| 3) dargestellt. Der Punkt, von dem der Blick des Kindes ausgeht, wird durch K(24151) K(24|15| 1) beschrieben. Das Kind kann denjenigen Teil der Werbefläche, der durch das Dreieck GBHG B H mit G(4111)G(4|-1| 11) dargestellt wird, nicht sehen (siehe Abbildung 2).

      Eine Sichtlinie verläuft von KK zu GG.

      Berechnen Sie die Größe des Winkels dieser Sichtlinie gegenüber dem horizontalen Gelände. (3 BE)

    5. Berechnen Sie die Koordinaten von HH. (5 BE)

    6. Auf dem Sportplatz wird ein Fußball geschossen. Die Flugbahn des Balls wird durch Punkte der Form (328t55t2+6,5t+0,3)\left(32-8 t|5|-5 t^{2}+6{,}5 t+0{,}3\right) mit t0t \geq 0 beschrieben. Dabei ist tt die seit dem Schuss vergangene Zeit in Sekunden.

      Beschreiben Sie, wie man ermitteln könnte, ob der Ball die Mauer trifft, bevor er den Boden berührt. (3 BE)

  8. 8

    Aufgabe 3B

    Bild

    Die Abbildung 1 zeigt das Viereck ABCDA B C D mit A(030),B(090),C(284)A(0|3| 0), B(0|9| 0), C(2|8| 4) und D(244)D(2|4| 4). Gegeben sind außerdem die Punkte St(06t)S_{t}(0|6| t) mit t0t \geq 0.

    1. Weisen Sie nach,

      • dass in dem Viereck ABCDA B C D zwei Seiten parallel zueinander sind.

      • dass in dem Viereck ABCDA B C D zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

      • dass das Viereck ABCDA B C D kein Rechteck ist.

      (6 BE)

    2. Der Punkt AA liegt in der Ebene EE mit der Gleichung 2xz=02 x-z=0.

      Zeigen Sie, ohne eine Punktprobe durchzuführen, dass das Viereck ABCDA B C D in EE liegt.

      (3 BE)

    3. Berechnen Sie den Winkel zwischen der xyx y-Ebene und der Ebene EE, in der das Viereck ABCDA B C D liegt. (3 BE)

    4. Betrachtet werden die Geraden gtg_{t}, die senkrecht zu der Ebene EE liegen und durch die Punkte StS_{t} verlaufen.

      Ermitteln Sie diejenigen Werte von tt, für die der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden gtg_{t} und der Ebene EE im Inneren des Vierecks ABCDA B C D liegt. (5 BE)

    5. Im Folgenden gilt t>4t>4.

      Die Gerade durch die Punkte StS_{t} und CC schneidet die xyx y-Ebene im Punkt CtC_{t}^{\prime}, die Gerade durch die Punkte StS_{t} und DD schneidet diese Ebene im Punkt DtD_{t}^{\prime} (vgl. Abbildung 1).

      Die beiden folgenden Gleichungen I und II liefern gemeinsam einen bestimmten Wert von tt.

      I. OSt+rStC=OCt\overrightarrow{O S_{t}}+r \cdot \overrightarrow{S_{t} C}=\overrightarrow{O C_{t}^{\prime}} mit Ct(xy0)C_{t}^{\prime}(x|y| 0)

      II. BABCt=0\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C_{t}^{\prime}}=0

      Geben Sie für diesen Wert von tt die Art des Vierecks ABCtDtA B C_{t}^{\prime} D_{t}^{\prime} an und begründen Sie Ihre Angabe. (5 BE)

    6. Bild

      Das Volumen der Pyramide ABCtDtStA B C_{t}^{\prime} D_{t}^{\prime} S_{t} wird in Abhängigkeit von tt durch einen der drei abgebildeten Graphen G1,G2G_{1}, G_{2} und G3G_{3} dargestellt (Abbildung 2).

      Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie Ihre Angabe. (3 BE)

  9. 9

    Aufgabe 3C

    Bild

    Die Abbildung 1 zeigt den Körper ABCDEFA B C D E F mit A(630)A(6|3| 0), B(060),C(300),D(636),E(066)\mathrm{B}(0|6| 0), C(3|0| 0), D(6|3| 6), E(0|6| 6) und F(3012)F(3|0| 12).

    1. Die Punkte D,ED, E und FF liegen in der Ebene LL mit dem Normalenvektor (243)\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 3\end{array}\right).

      Geben Sie eine Gleichung von LL in Koordinatenform an.

      Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den LL mit der x1x2x_{1} x_{2}-Ebene einschließt. (5 BE)

    2. Der Flächeninhalt des Dreiecks ABCA B C kann mit dem Term

      661233212366 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 berechnet werden

      Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 1. (3 BE)

    3. Berechnen Sie das Volumen des Körpers ABCDEFA B C D E F. (3 BE)

      VE
    4. Bild

      Die Ebene NkN_{k} enthält die x3x_{3}-Achse und den Punkt Pk(1kk0)P_{k}(1-k|k| 0) mit 0<k<10<k<1.

      Welche Kanten des Körpers von NkN_{k} geschnitten werden, ist abhängig von kk. Die Abbildung 2 zeigt die Situation für k=0,8k=0{,}8.

      Nennen Sie für k=0,8k=0{,}8 die Kanten, die geschnitten werden.

      Durchläuft kk alle Werte zwischen 0 und 1, so gibt es Bereiche a<k<ba<k<b, in denen NkN_{k} für alle Werte von kk jeweils die gleichen Kanten des Körpers schneidet.

      Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche. (6 BE)

    5. Auf der Kante AD\overline{A D} liegt der Punkt QQ, auf der Kante BE\overline{B E} der Punkt R(062)R(0|6| 2). Das Dreieck FQRF Q R hat in QQ einen rechten Winkel.

      Bestimmen Sie die x3x_{3}-Koordinate von QQ. (5 BE)

    6. Der Körper wird so um die Gerade durch AA und BB gedreht, dass der mit DD bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der x1x2x_{1} x_{2}-Ebene liegt und dabei eine positive x2x_{2}-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:

      AB[(OA+sAB)OC]=0\overrightarrow{A B} \cdot[(\overrightarrow{O A}+s \cdot \overrightarrow{A B})-\overrightarrow{O C}]=0 liefert die Lösung s=0,2s=0{,}2, d. h. S(4,83,60)S(4{,}8|3{,}6| 0)

      OT=OS+CS(001)\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O T}=\overrightarrow{O S}+|\overrightarrow{C S}| \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)

      Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung.

      Geben Sie die Bedeutung von SS an. (3 BE)


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CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?