Nennen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

Begründen Sie anhand der Struktur des Funktionsterms von $f$, dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt. (5 BE)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.

Zeigen Sie, dass der zugehörige Wert der momentanen Änderungsrate etwa $2{,}2$ $\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ beträgt. (4 BE)

Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist.

Begründen Sie Ihre Angabe. (4 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x)=\left(\frac{x}{4}\right)^{2} \cdot(4-x)^{3}$. $s$ ist eine Stammfunktion von $f$.

Der Stau entsteht um 06: 00 Uhr.

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Für den Zeitraum von 06: 00 Uhr bis 10: 00 Uhr kann die Staulänge durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Prüfen Sie, ob sich der Stau um 10: 00 Uhr vollständig aufgelöst hat. (5 BE)

Berechnen Sie die Zunahme der Staulänge von 06:00 Uhr bis 07:30 Uhr und geben Sie für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge an. (5 BE)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_{k}$ mit $h_{k}(x)=(x-3)^{k}+1$ und $k \in \mathbb{N}, k>0$.

Ermitteln Sie die Koordinaten derjenigen Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben. (4 BE)

Der Graph von $h_{5}$ und die Gerade durch die Punkte $P(3 \mid 1)$ und $Q(4 \mid 2)$ schließen zwei Flächenstücke ein.

Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man diese beiden Flächenstücke um die $x$-Achse rotieren lässt. (7 BE)

Beurteilen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage: (6 BE)

Es gibt genau einen Wert von $k$, für den der Graph von $h_{k}^{\prime}$ Tangente an den Graphen von $h_{k}$ ist.