CAS - Teil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3C

Die Abbildung 1 zeigt den Körper $A B C D E F$ mit $A(6|3| 0)$ , $\mathrm{B}(0|6| 0), C(3|0| 0), D(6|3| 6), E(0|6| 6)$ und $F(3|0| 12)$ .

Die Punkte $D, E$ und $F$ liegen in der Ebene $L$ mit dem Normalenvektor $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)$ .
Geben Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform an.
Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene einschließt. (5 BE)
Der Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ kann mit dem Term
$6 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ berechnet werden
Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 1. (3 BE)
Berechnen Sie das Volumen des Körpers $A B C D E F$ . (3 BE)
VE
Die Ebene $N_{k}$ enthält die $x_{3}$ -Achse und den Punkt $P_{k}(1-k|k| 0)$ mit $0<k<1$ .
Welche Kanten des Körpers von $N_{k}$ geschnitten werden, ist abhängig von $k$ . Die Abbildung 2 zeigt die Situation für $k=0{,}8$ .
Nennen Sie für $k=0{,}8$ die Kanten, die geschnitten werden.
Durchläuft $k$ alle Werte zwischen 0 und 1, so gibt es Bereiche $a<k<b$ , in denen $N_{k}$ für alle Werte von $k$ jeweils die gleichen Kanten des Körpers schneidet.
Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche. (6 BE)
Auf der Kante $\overline{A D}$ liegt der Punkt $Q$ , auf der Kante $\overline{B E}$ der Punkt $R(0|6| 2)$ . Das Dreieck $F Q R$ hat in $Q$ einen rechten Winkel.
Bestimmen Sie die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ . (5 BE)
Der Körper wird so um die Gerade durch $A$ und $B$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegt und dabei eine positive $x_{2}$ -Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:
$\overrightarrow{A B} \cdot[(\overrightarrow{O A}+s \cdot \overrightarrow{A B})-\overrightarrow{O C}]=0$ liefert die Lösung $s=0{,}2$ , d. h. $S(4{,}8|3{,}6| 0)$
$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O T}=\overrightarrow{O S}+|\overrightarrow{C S}| \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung.
Geben Sie die Bedeutung von $S$ an. (3 BE)