Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3C

Die Abbildung 1 zeigt den Körper $A B C D E F$ mit $A(6|3| 0)$ , $\mathrm{B}(0|6| 0), C(3|0| 0), D(6|3| 6), E(0|6| 6)$ und $F(3|0| 12)$ .

Die Punkte $D, E$ und $F$ liegen in der Ebene $L$ mit dem Normalenvektor $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)$ .

Geben Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform an.

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene einschließt. (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene

Gleichung von $L$ in Koordinatenform

Erstelle zunächst die Ebenengleichung $L$ in Parameterform:

$L=E_{DEF}:\vec X=\vec{D}+r\cdot\overrightarrow{DE}+s\cdot\overrightarrow{DF}$

Berechne die Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{DE}=\vec E-\vec D=\begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{DF}=\vec F-\vec D=\begin{pmatrix}3\\0\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\6\end{pmatrix}$

Berechne den Normalenvektor der Ebene $L$ über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von $L$ .

$\vec n=\overrightarrow{DE}\times \overrightarrow{DF}$

$\vec n=\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -3 \\-3 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18 \\36 \\ 27\end{pmatrix}=9\cdot \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 3 \end{pmatrix}$

Benutze den verkürzten Normalenvektor $\vec n_L=\begin{pmatrix}2 \\4\\ 3 \end{pmatrix}$ .

Für die Normalenform gilt: $L: \;\left(\vec X-\vec D\right)\circ\vec n_L =0$

$\displaystyle \left(\vec{X}-\vec{D}\right)\circ\vec{n}_L$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $\vec D$ und $\vec n_L$ ein.
$\displaystyle \left(\vec X-\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wandle die Normalenform in die Koordinatenform um, indem das Skalarprodukt berechnet wird:
$\displaystyle x_1\cdot2+x_2\cdot4+x_3\cdot3-(6\cdot2+3\cdot4+6\cdot3)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle x_1\cdot2+x_2\cdot4+x_3\cdot3-42$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Gleichung der Ebene $L$ lautet: $x_1\cdot2+x_2\cdot4+x_3\cdot3-42=0$

Berechnung der Größe $\varphi$ des Winkels, den $L$ mit der $x_1x_2$ -Ebene einschließt

Der Normalenvektor der Ebene $L$ ist der Vektor $\vec n_L=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$ .

Sein Betrag ist $|\vec n_L|=\sqrt{2^2+4^2+3^2}=\sqrt{29}$ .

Der Normalenvektor der $x_1x_2$ -Ebene ist $\vec n_{x_1x_2}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ .

Sein Betrag ist $|\vec n_{x_1x_2}|=1$ .

Der Winkel zwischen den beiden Ebenen berechnet sich mit:

$\cos(\varphi)=\dfrac{\vec n_L\circ \vec n_{x_1x_2}}{|\vec n_L|\cdot |\vec n_{x_1x_2}|}$

$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\vec n_L\circ \vec n_{x_1x_2}}{\|\vec n_L\|\cdot \|\vec n_{x_1x_2}\|}$
	↓	Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{29}\cdot 1}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\cdot0+4\cdot 0+3\cdot 1}{\sqrt{29}\cdot 1}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{\sqrt{29}}$

Der Winkel $\varphi$ erhält man durch Anwendung der trigonometrischen Umkehrfunktion: $\varphi=\cos^{-1}\left(\dfrac{3}{\sqrt{29}}\right)\approx56{,}15^\circ$

Der Winkel, den $L$ mit der $x_1x_2$ -Ebene einschließt, beträgt rund $56{,}15^\circ$ .

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Der Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ kann mit dem Term
$6 \cdot 6-\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ berechnet werden
Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 1. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Veranschaulichung des Terms $6\cdot 6-\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 -2\cdot \dfrac{1}{2}\ 3\cdot 6$
Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 1. In der folgenden Abbildung, die nur den Grundriss des Körpers zeigt, sind mehrere Flächen farbig markiert.
Skizze
Innerhalb eines Quadrates liegen vier Dreiecke. Warum ist es ein Quadrat?
Die Punkte A und B liegen auf diesem Quadrat. Der Punkt $A$ hat die $x_1$ -Koordinate $6$ und der Punkt $B$ hat die $x_2$ -Koordinate $6$ . $\Rightarrow\;A_\square=\textcolor{009999}{ 6\cdot 6 }$
Das ist der erste Term von $\textcolor{009999}{ 6\cdot 6 }-\textcolor{006400}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 } -2\cdot \textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 6 }$ .
Der Punkt $A$ hat die $x_2$ -Koordinate $3$ und der Punkt $C$ hat die $x_1$ -Koordinate $3$ .
Die Fläche des $\textcolor{006400}{ \text{ grün} }$ gefärbten Dreiecks ist dann $A_\triangle=\textcolor{006400}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 }$ .
Das ist der zweite Term von $\textcolor{009999}{ 6\cdot 6 }-\textcolor{006400}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 } -2\cdot \textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 6 }$ .
Die beiden $\textcolor{cc0000}{ \text{rot} }$ gefärbten Dreiecke haben die Seitenlängen $3$ und $6$ und ihre Fläche ist jeweils $A_\triangle=\textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 6 }$ .
Diese beiden Dreiecksflächen ergeben zusammen den dritten Term in dem gegebenen Term.
Da vom Flächeninhalt der Quadratfläche insgesamt drei Flächeninhalte der Dreiecke subtrahiert werden, bleibt als Ergebnis der Flächeninhalt des $\textcolor{993300}{ \text{braunen} }$ Dreiecks $ABC$ übrig.
Der gegebene Term stellt also den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ dar.
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Zeichne in die Abbildung ein Quadrat ein.
Der Punkt $A$ liegt auf einer Quadratseite. In dem Quadrat findet man das Dreieck $ABC$ und drei weitere Dreiecke.
Berechne den Flächeninhalt des Quadrates und subtrahiere die Flächeninhalte der drei um das Dreieck $ABC$ liegenden Dreiecke. Als Ergebnis erhältst Du den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ .
Berechnen Sie das Volumen des Körpers $A B C D E F$ . (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Das Volumen des Körpers $ABCDEF$
Der Körper setzt sich aus zwei Teilen zusammen, ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.
Volumen des dreiseitigen Prismas
$V_{\text{Prisma}}=G\cdot h$
Die Grundseite $G$ ist das Dreieck $ABC$ aus der Aufgabe b).
Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist:
Das Prisma hat die Höhe $h=6\;\text{LE}$ , da die $x_3$ -Koordinate des Punktes $D$ gleich $6$ ist.
Setze die Werte für $G$ und $h$ in die Volumenformel ein:
$\Rightarrow\;V_{\text{Prisma}}=13{,}5\cdot 6=81\;\text{VE}$
Volumen der dreiseitigen Pyramide
$V_{\text{Pyramide}}=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$
Die dreiseitige Pyramide hat die gleiche Grundfläche wie das Prisma
( $G=13{,}5\;\text{FE}$ ).
Die Höhe der Pyramide ist $h=12-6=6 \;\text{LE}$ , da die Differenz der $x_3$ -Koordinaten der Punkte $F$ und $D$ gleich $6$ ist.
Setze die Werte für $G$ und $h$ in die Volumenformel ein:
Das Gesamtvolumen des Körpers $ABCDEF$ ist dann:
$V_{\text{gesamt}}=V_{\text{Prisma}}+V_{\text{Pyramide}}=(81+27)\;\text{VE}=108\;\text{VE}$
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Der Körper setzt sich aus zwei Teilen zusammen, ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.
Berechne jeweils das Volumen der beiden Körper und addiere dann die beiden Volumina.

Die Ebene $N_{k}$ enthält die $x_{3}$ -Achse und den Punkt $P_{k}(1-k|k| 0)$ mit $0<k<1$ .

Welche Kanten des Körpers von $N_{k}$ geschnitten werden, ist abhängig von $k$ . Die Abbildung 2 zeigt die Situation für $k=0{,}8$ .

Nennen Sie für $k=0{,}8$ die Kanten, die geschnitten werden.

Durchläuft $k$ alle Werte zwischen 0 und 1, so gibt es Bereiche $a<k<b$ , in denen $N_{k}$ für alle Werte von $k$ jeweils die gleichen Kanten des Körpers schneidet.

Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche. (6 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene

Kanten für $k=0{,}8$ , die geschnitten werden

Betrachtet man die Abbildung, so erkennt man, dass die Kanten $\overline{AB}$ , $\overline{DE}$ , $\overline{BC}$ und $\overline{EF}$ geschnitten werden.

Der größte dieser Bereiche

Interessant ist die Ebene $N_k$ ⁣, die durch den Punkt $A$ verläuft.

Für welches $k$ enthält die Ebene $N_k$ den Punkt $A(6|3|0)$ ?

Man erstellt eine Geradengleichung $g_{OA}$ , die durch den Ursprung verläuft und den Punkt A enthält.

$g_{OA}:\:\vec X=r\cdot \begin{pmatrix}6\\3\\0\end{pmatrix}$

Der Punkt $P_k$ soll auf der Geraden $g_{OA}$ liegen:

$P_k\cap g_{OA}$

\displaystyle \begin{pmatrix}1-k\\k\\0\end{pmatrix}

=

\displaystyle r\cdot \begin{pmatrix}6\\3\\0\end{pmatrix}

Es ergeben sich zwei Gleichungen:

$\mathrm{(I)}:\; 1-k=6r\;\Rightarrow\;\mathrm{(I')}:\;r=\dfrac{1-k}{6}$

$\mathrm{(II)}:\;k=3r\;\;\;\;\;\;\Rightarrow\;\mathrm{(II')}:\;r=\dfrac{k}{3}$

Aus $\mathrm{(I')}=\mathrm{(II')}$ folgt:

$\displaystyle \dfrac{1-k}{6}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{k}{3}$	$\displaystyle \cdot 6$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$\displaystyle 1-k$	$=$	$\displaystyle 2\cdot k$	$\displaystyle +k$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 3\cdot k$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle k$

Für $k=\frac{1}{3}$ verläuft die Ebene $N_{\frac{1}{3}}$ durch den Punkt $A$ .

Diese Ebene ist in der folgenden Abbildung dargestellt. (Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung, sie dient nur zur Veranschaulichung.)

Durchläuft nun $k$ die Werte von $0$ bis $1$ , dreht sich die Ebene $N_k$ um die $x_3$ -Achse.

Dabei werden zwei verschiedene Bereiche $]a;b[$ durchlaufen, sodass die Ebene $N_k$ für alle Werte von $k$ aus $]a;b[$ die gleichen Kanten des Körpers schneidet.

Der erste Bereich ist das Intervall $]0;\frac{1}{3}[$ mit einer Intervalllänge von $\frac{1}{3}$ , der zweite Bereich ist das Intervall $]\frac{1}{3};1[$ mit einer Intervalllänge von $\frac{2}{3}$ .

Gesucht ist der größere Bereich, also hier das Intervall $]\frac{1}{3};1[$ .

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Auf der Kante $\overline{A D}$ liegt der Punkt $Q$ , auf der Kante $\overline{B E}$ der Punkt $R(0|6| 2)$ . Das Dreieck $F Q R$ hat in $Q$ einen rechten Winkel.

Bestimmen Sie die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ . (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

$x_3$ Koordinate von Q

Das Dreieck $FQR$ hat in $Q$ einen rechten Winkel. Daher gilt:

$\overrightarrow{QR}\perp \overrightarrow{QF}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{QR}\circ\overrightarrow{QF}=0$

Der Punkt $Q$ hat dieselben $x_1$ - und $x_2$ -Koordinaten wie der Punkt $A$ .

$\Rightarrow\;Q(6|3|q_3)$

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{QR}$ und $\overrightarrow{QF}$ :

$\overrightarrow{QR}=\vec R-\vec Q=\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\q_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\3\\2-q_3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{QF}=\vec F-\vec Q=\begin{pmatrix}3\\0\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\q_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\12-q_3\end{pmatrix}$

$\displaystyle \overrightarrow{QR}\circ\overrightarrow{QF}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze die Vektoren ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}-6\\3\\2-q_3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\-3\\12-q_3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (-6)\cdot(-3)+3\cdot (-3)+(2-q_3)\cdot(12-q_3)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 18-9+24-2q_3-12q_3+q_3^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle q_3^2-14q_3+33$	$=$	$\displaystyle 0$

Lösen der quadratischen Gleichung

Für die erhaltene quadratische Gleichung liefert der GTR-Rechner die Werte $q_{3_{1}}=3$ und $q_{3_{2}}=11$ .

Die Lösung $q_3=11$ entfällt, da $q_3$ zwischen $0$ und $6$ liegen muss ( $A$ hat die $x_3$ -Koordinate $0$ und $D$ hat die $x_3$ -Koordinate $6$ ).

Die $q_3$ -Koordinate von $Q$ ist also $3$ und der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $Q(6|3|3)$ .

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Der Körper wird so um die Gerade durch $A$ und $B$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegt und dabei eine positive $x_{2}$ -Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:
$\overrightarrow{A B} \cdot[(\overrightarrow{O A}+s \cdot \overrightarrow{A B})-\overrightarrow{O C}]=0$ liefert die Lösung $s=0{,}2$ , d. h. $S(4{,}8|3{,}6| 0)$
$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O T}=\overrightarrow{O S}+|\overrightarrow{C S}| \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung.
Geben Sie die Bedeutung von $S$ an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lotfußpunktverfahren
Passende Aufgabenstellung
Was wird berechnet?
Der Ausdruck $\overrightarrow{A B} \cdot[(\overrightarrow{O A}+s \cdot \overrightarrow{A B})-\overrightarrow{O C}]=0$ ist gegeben.
Es handelt sich hier um ein Skalarprodukt, das gleich null ist. Die beiden beteiligten Vektoren müssen also senkrecht aufeinander stehen.
Der erste Vektor ist der Vektor $\overrightarrow{A B}$ , der Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ .
Man betrachtet nun den Vektor in der eckigen Klammer. Es handelt sich um die Differenz zwischen einem beliebigen Punkt $S$ auf der Geraden $g_{AB}$ durch die Punkte A und B und dem Vektor $\overrightarrow{OC}$ .
Dabei ist die Gerade $g_{AB}$ gegeben durch:
$g_{AB}:\;\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{O A}+s \cdot \overrightarrow{A B}$
Die eckige Klammer stellt somit den Vektor $\overrightarrow{CS}$ dar.
Es ist also: $\overrightarrow {AB}\circ \overrightarrow {CS}=0 \;\Rightarrow\;\overrightarrow {AB}\perp\overrightarrow {CS}$
Die Lösung der Gleichung $\overrightarrow {AB}\circ \overrightarrow {CS}=0$ liefert für $s$ den Wert $s=0{,}2$ .
Einsetzen von $s=0{,}2$ in die Geradengleichung $g_{AB}$ ergibt die Koordinaten des Lotfußpunktes $S(4{,}8|3{,}6|0)$ .
Für den Punkt $T$ gilt die Gleichung:
$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OS} +\left|\overrightarrow {CS}\right|\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Die folgende Abbildung verdeutlicht diese Gleichung.
Der Punkt $C$ wird um $90^\circ$ gedreht, sodass der Punkt $T$ entsteht.
Dabei ist $\Big\vert\overrightarrow{CS}\Big\vert=\Big\vert\overrightarrow{ST}\Big\vert$ .
Aber der Vektor $\overrightarrow{ST}$ steht senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{CS}$ . Deshalb muss zum $\overrightarrow{OS}$ der Vektor $\left|\overrightarrow {CS}\right|\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ addiert werden, um zum Vektor $\overrightarrow{OT}$ zu kommen.
Skizze
Aufgabenstellung
Der Punkt $T$ entsteht aus dem Punkt $C$ durch Rotation des Körpers um die Gerade $g_{AB}$ um $90^\circ$ . Gesucht sind die Koordinaten des Punktes $T$ .
Bedeutung von S
Der Punkt $S$ ist der Punkt auf der Kante $\overline{AB}$ mit dem kürzesten Abstand von $C$ . ( $S$ ist der Lotfußpunkt von $C$ auf die Gerade $g_{AB}$ .)
Hinweis: Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung. Sie ist nicht Teil der Aufgabenstellung.
Skizze
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Untersuche die einzelnen Teile des Ausdrucks $\overrightarrow{A B} \cdot[(\overrightarrow{O A}+s \cdot \overrightarrow{A B})-\overrightarrow{O C}]=0$ .
Die Lösung dieser Gleichung ergibt einen Wert für $s$ und einen Punkt $S$ .
Mit diesem Punkt $S$ und dem Punkt $C$ wird ein weiterer Vektor $\overrightarrow{O T}$ berechnet.
Welche Bedeutung hat der Vektor $\overrightarrow{O T}$ ?

Aufgabe 3C

Gleichung von LLL in Koordinatenform

Berechnung der Größe φ\varphiφ des Winkels, den LLL mit der x1x2x_1x_2x1​x2​-Ebene einschließt

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Veranschaulichung des Terms 6⋅6−12⋅3⋅3−2⋅12 3⋅66\cdot 6-\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 -2\cdot \dfrac{1}{2}\ 3\cdot 66⋅6−21​⋅3⋅3−2⋅21​ 3⋅6

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Das Volumen des Körpers ABCDEFABCDEFABCDEF

Volumen des dreiseitigen Prismas

VPrisma=G⋅hV_{\text{Prisma}}=G\cdot hVPrisma​=G⋅h

Volumen der dreiseitigen Pyramide

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Kanten für k=0,8k=0{,}8k=0,8, die geschnitten werden

Der größte dieser Bereiche

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x3x_3x3​ Koordinate von Q

Lösen der quadratischen Gleichung

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Passende Aufgabenstellung

Aufgabenstellung

Bedeutung von S

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Gleichung von $L$ in Koordinatenform

Berechnung der Größe $\varphi$ des Winkels, den $L$ mit der $x_1x_2$ -Ebene einschließt

Veranschaulichung des Terms $6\cdot 6-\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 -2\cdot \dfrac{1}{2}\ 3\cdot 6$

Das Volumen des Körpers $ABCDEF$

$V_{\text{Prisma}}=G\cdot h$

Kanten für $k=0{,}8$ , die geschnitten werden

$x_3$ Koordinate von Q