Wahlteil 2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

In Bremervörde informiert die NABU Umweltpyramide über die Naturschutzprojekte der Region.

Das Bauwerk hat die Form einer Pyramide.

Es ist $9 \mathrm{~m}$ hoch und steht auf einer quadratischen Grundfläche mit einer Seitenlänge von $20 \mathrm{~m}$ .

Berechne das Volumen der Umweltpyramide. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen einer Pyramide
Lösung
Die Höhe $h$ beträgt $9~\text{m}$
Die Grundfläche beträgt $G=20\cdot20=400$ also $400~\text{m}^2$ .
Das Volumen ist damit: $V=\frac13\cdot 9\cdot 400=1200$
Die Pyramide hat ein Volumen von $1200~\text{m}^3$
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Berechne das Volumen der Pyramide mit $V=\frac13 G\cdot h$ .
Eine Seitenfläche hat die Form eines Dreiecks.
Kreuze alle richtigen Formen an. (1 BE)
- spitzwinklig
- rechtwinklig
- stumpfwinklig
- gleichschenklig
- gleichseitig
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Lösung
Die Seitenflächen der Pyramiden sind spitzwinklig und gleichschenklig.
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Überprüfe, ob einer der Innenwinkel in der Seitenfläche kleiner, größer und gleich $90 °$ sind.
Überprüfe, ob die Seiten des Dreiecks alle gleich lang sind oder von der Länge der Grundseite abweichen.

Zeige, dass die Seitenhöhe $h_{s}$ ca. $13{,}45 \mathrm{~m}$ lang ist. (2 BE)

Berechne den Flächeninhalt einer Seitenfläche der Pyramide. (2 BE)
m²
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Lösung
Die Fläche des Dreiecks ist: $A=\frac12\cdot g\cdot h_s$
Die Grundseite ist gegeben mit $20~\text{m}$ .
Die Höhe $h_{s}$ beträgt $13{,}45~\text{m}$ .
$A=\frac12\cdot 20\cdot 13{,}45=134{,}5$
Die Fläche beträgt $134{,}5~\text{m}^2$ .
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Berechne die Fläche des Dreiecks mit $A=\frac12\cdot g\cdot h_s$ .
Das Gebäude hat eine Fensterfläche von $100 \mathrm{~m}^{2}$ .
Untersuche, ob die Fensterfläche einen Anteil von mindestens $15 %$ der gesamten Außenfläche hat. (3 BE)
(Wenn du c) nicht gelöst hast, verwende $138 \mathrm{~m}^{2}$ als Flächeninhalt der Seitenfläche.)
Lösung
Die gesamte Außenfläche beträgt $A_\text{ges}=4\cdot 134{,}5=538$
Der Anteil der Fensterfläche daran ist $\dfrac{100}{538}=0{,}18587...\approx 18{,}59~\%$
Der Anteil ist größer als $15 %$ .
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Bestimme den Flächeninhalt der gesamten Außenfläche.
Berechne den Anteil der Fensterfläche von der ganzen Fläche.
Vervollständige das Netz der Umweltpyramide und bestimme den Maßstab. (4 BE)
Eine Grundseite in dieser Skizze misst $5~\text{cm}$ .
Lösung
Der Maßstab beträgt $5~\text{cm} : 20~\text{m}$ . Das sind $1 : 400$ .
Netz der Pyramide
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Zeichne das Netz (die ausgeklappte Pyramide), indem du dir vorstellst, alle Seitenflächen nach außen auf den Boden zu klappen.
Bestimme den Maßstab aus der Länge auf dem Papier : Länge in echt.
Das Erdgeschoss hat eine Deckenhöhe von 2,25 m.
In der Decke werden neue Lüftungsrohre eingebaut.
Die Rohre laufen entlang der Deckenkanten.
Sie sind insgesamt $66 \mathrm{~m}$ lang.
Bestimme die Größe des Luftvolumens im Erdgeschoss. (4 BE)
(Wenn du a) nicht gelöst hast, verwende $1300 \mathrm{~m}^{3}$ für das Volumen der Umweltpyramide.)
Skizze nicht maßstabsgerecht
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Lösung
Volumen der "kleinen" Pyramide:
Die obere Pyramide hat neue Maße:
$9 - 2, 25 = 6, 75$ Meter für die Höhe
$66 : 4 = 16, 5$ Meter für die Grundlinie
Damit ergibt das Volumen:
$V=\frac13 G\cdot h=\frac13\cdot 16{,}5^2 \cdot 6{,}75 \approx612{,}56$
Das Volumen der kleineren Pyramide beträgt etwa $612{,}56~\text{m}^3$ .
Volumen im Erdgeschoss:
Damit ist:
$1200 - 612, 56 = 587, 44$
$587{,}44~\text{m}^3$ das Volumen im Erdgeschoss.
Skizze der oberen Pyramide
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Bestimme das Volumen der "kleinen" Pyramide, die sich oberhalb des Erdgeschosses befindet mit $V=\frac{1}{3}G\cdot h$ .
Bestimme das Volumen im Erdgeschoss, indem du das der kleinen Pyramide vom Gesamtvolumen subtrahierst (abziehst).
Die Spitze der Umweltpyramide ist eine kleine Glaspyramide.
Die Höhe der Glaspyramide beträgt ein Zehntel der Höhe der Umweltpyramide.
Alle weiteren Kantenlängen der Glaspyramide betragen ebenfalls ein Zehntel der entsprechenden Kantenlängen der Umweltpyramide.
Begründe, dass das Volumen der Glaspyramide ein Tausendstel des Volumens der Umweltpyramide ist. (2 BE)
Lösung
Die Kantenlänge $a_\text{klein}$ der kleinen Pyramide beträgt ein Zehntel der Kantenlänge $a_\text{groß}$ der großen Pyramide, also $a_\text{klein}=\frac{1}{10}\cdot a_\text{groß}$ . Daher gilt für die Grundfläche $G_\text{klein}$ der kleinen Pyramide
Die Höhe $h_\text{klein}$ der kleinen Pyramide beträgt ein Zehntel der Höhe $h_\text{groß}$ der großen Pyramide, also
Darum ist
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Setze in die Formel für das Volumen $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$ für $G$ die Formel für die Fläche des Quadrats ein: $G = a^{2}$ . Wie lautet nun die Formel für $V$ ?
Setze in die Formel für $V$ für $a$ und für $h$ jeweils $\frac{1}{10}$ als Faktor mit ein.
Welcher Faktor ergibt sich zusammengefasst?

$\displaystyle h_s^2$	$=$	$\displaystyle 9^2+10^2$
	$=$	$\displaystyle 181$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle h_s$	$=$	$\displaystyle \sqrt{181}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 13{,}45$

Aufgabe 5

Lösung

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