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Aufgabe 2B

Ein Unternehmen produziert Stahlkugeln für Kugellager. Erfahrungsgemäß sind 4%4 \% aller Kugeln fehlerhaft.

800 Kugeln werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.

  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Kugeln weniger als 30 fehlerhaft sind. (2 BE)

  2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht. (5 BE)

  3. Eine Stahlkugel hat entweder keinen Fehler, einen Formfehler oder einen Größenfehler. Die Wahrscheinlichkeit für einen Formfehler beträgt 3%3 \%, die für einen Größenfehler 1%1 \%.

    Alle Kugeln werden vor dem Verpacken geprüft. Dabei werden 95%95 \% der Kugeln mit Formfehler, 98%98 \% der Kugeln mit Größenfehler, aber auch 0,5%0{,}5\% der Kugeln ohne Fehler aussortiert.

    Stellen Sie den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

    (4 BE)

  4. Geben Sie das Ergebnis des folgenden Terms an und interpretieren Sie die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang: (3 BE)

    0,960,0058000{,}96 \cdot 0{,}005 \cdot 800

  5. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat. (3 BE)

  6. Bei Stahlkugeln, die während der ersten Überprüfung nicht aussortiert wurden, wird die Überprüfung aus Sicherheitsgründen ein weiteres Mal durchgeführt.

    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine bei der zweiten Überprüfung aussortierte Kugel keinen Fehler aufweist. (4 BE)

  7. Die Kugeln werden in Packungen verkauft. Ein Teil der verkauften Packungen wird zurückgegeben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine verkaufte Packung zurückgegeben wird, beträgt 3  %3\;\%. Dem Unternehmen entsteht pro Packung, die zurückgegeben wird, ein Verlust von 5,80 Euro. Pro Packung, die nicht zurückgegeben wird, erzielt das Unternehmen einen Gewinn von 8,30 Euro.

    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von 200 Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens 1500 Euro erzielt. (4 BE)