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  1. 1

    Aufgabe 1A

    Die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=5(e0,3xe4x)f(x)=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right) modelliert für 0x120 \leq x \leq 12 die Konzentration eines Medikamentenwirkstoffes im Blut. Dabei beschreibt xx die Zeit in Stunden (h)(h) nach der Einnahme des Medikamentes und f(x)f(x) die Konzentration in Milligramm pro Liter (mgl)\left(\frac{m g}{l}\right).

    1. Berechnen Sie die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes. Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert 2,8 mgl\frac{m g}{l} annimmt.

      Bestimmen Sie, wie lange die Konzentration mindestens 0,5mgl0{,}5 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}} beträgt. (6 BE)

    2. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Konzentration ungefähr 0,70{,}7 Stunden nach der

      Einnahme des Medikamentes mit etwa 3,75  mgl3{,}75\;\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}} am größten ist. (4 BE)

    3. Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration genau so groß ist wie zwei Stunden später. (3 BE)

    4. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung f(x)=f(x+1)f(x1)2f^{\prime}(x)=\frac{f(x+1)-f(x-1)}{2} und interpretieren Sie die Lösung im Sachzusammenhang. (4 BE)

    5. Eine vereinfachte Modellierung geht davon aus, dass bis 6 Stunden nach der Einnahme des Medikamentes die Konzentration durch ff beschrieben wird und danach die Abnahmerate der Konzentration konstant ist. Dabei ist die konstante Abnahmerate so groß wie die Änderungsrate der durch ff beschriebenen Konzentration nach 6 Stunden.

      Berechnen Sie den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem Modell null ist. (4 BE)

    6. Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der gleichen Dosierung erneut eingenommen. Die Gesamtkonzentration ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der durch ff beschriebenen Konzentrationen, die sich aus der ersten und zweiten Einnahme ergeben. Die Gesamtkonzentration soll 6mgl6 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}} nicht übersteigen.

      Untersuchen Sie, ob diese Vorgabe eingehalten wird. (4 BE)

    7. Bild

      Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktionenschar faf_{a} mit fa(x)=eaxe4x,xR,a>0,a4f_{a}(x)=e^{-a \cdot x}-e^{-4 x}, x \in \mathbb{R}, a>0, a \neq 4, gegeben. In der Abbildung sind zwei Graphen der Schar dargestellt. Jeder Graph der Funktionenschar hat genau einen Extrempunkt. Eine Stammfunktion von faf_{a} ist durch Fa(x)=1aeax+14e4xF_{a}(x)=-\frac{1}{a} \cdot e^{-a \cdot x}+\frac{1}{4} e^{-4 x} gegeben.

      Berechnen Sie die Werte von aa, für die die Fläche zwischen dem Graph von faf_{a} und der xx-Achse im Intervall [0;1][0 ; 1] den Inhalt 0,2 hat. (4 BE)

    8. Entscheiden Sie, für welche Werte von aa an der Extremstelle ein Maximum und für welche ein Minimum vorliegt.

      Begründen Sie Ihre Entscheidung ohne Berechnung der Extremstelle. (6 BE)

    9. Der Graph von faf_{a} wird an der xx-Achse gespiegelt.

      Berechnen Sie die Werte von aa, für die sich der gespiegelte Graph und der Graph von faf_{a} unter einem rechten Winkel schneiden. (5 BE)

  2. 2

    Aufgabe 1B

    Gegeben ist die Funktionenschar faf_{a} mit fa(x)=x(xa)(x2a)=x33ax2+2a2xf_{a}(x)=x(x-a)(x-2 a)=x^{3}-3 a x^{2}+2 a^{2} x, wobei a0a \neq 0 und xRx \in \mathbb{R} gilt. Es gilt: fa(x)=6x6af_{a}^{\prime \prime}(x)=6 x-6 a

    1. Begründen Sie, dass jeder Graph von faf_a

      • drei verschiedene Nullstellen hat,

      • den Wendepunkt (a0)(a \mid 0) hat. (5 BE)

    2. Begründen Sie, dass für jeden Wert von aa die Graphen zu faf_{a} und faf_{-a} im Koordinatenursprung dieselbe Steigung haben. (2 BE)

    3. Berechnen Sie die Werte von aa, für die an der Stelle x=2x=2 der Funktionswert 5 beträgt.

      (3 BE)

    4. Die Graphen zu f1f_{-1} und f4f_{4} haben im Intervall [0;2][0 ; 2] genau zwei gemeinsame Punkte.

      Begründen Sie mithilfe des Krümmungsverhaltens, dass die beiden Graphen im betrachteten Intervall keine weiteren gemeinsamen Punkte haben. (4 BE)

    5. Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von faf_{a} im Wendepunkt.

      Berechnen Sie die Werte von aa, für die diese Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck einschließt. (4 BE)

    6. Gegeben sind die Punkte P(10)P(1 \mid 0) und Qa(3fa(3))Q_{a}\left(3 \mid f_{a}(3)\right).

      Untersuchen Sie, ob es Werte von aa gibt, sodass die Gerade durch die Punkte PP und QaQ_{a} eine Tangente an den Graphen von faf_{a} im Punkt QaQ_{a} ist.

      Begründen Sie, dass der Punkt (02)(0|2) auf keiner der Geraden durch die Punkte PP und QaQ_{a} liegt. (9 BE)

    7. Betrachtet wird jetzt zusätzlich die Funktion f3f_{3} mit f3(x)=x39x2+18xf_{3}(x)=x^{3}-9 x^{2}+18 x.

      Bestimmen Sie die Werte von aa, für die der zugehörige Graph von faf_{a} im Intervall [1;0][-1 ; 0] dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von f3f_{3}. (5 BE)

    8. Die Tangente an den Graphen von f3f_{3} im Tiefpunkt schließt mit dem Graphen von f3f_{3} eine Fläche ein. Außerdem schließt der Graph von f3f_{3} mit der xx-Achse im Intervall [0;3][0 ; 3] eine Fläche ein.

      Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte dieser beiden Flächen. (8 BE)

  3. 3

    Aufgabe 1C

    Gegeben ist die auf R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=1100(1500x418x3+52x245x)f(x)=-\frac{1}{100} \cdot\left(\frac{1}{500} x^{4}-\frac{1}{8} x^{3}+\frac{5}{2} x^{2}-45 x\right). Im Küstenschutz ist ein neuer Deich von Bedeutung: der Klimadeich. Der Querschnitt eines Klimadeiches wird durch die von dem Graphen der Funktion ff und der xx-Achse eingeschlossenen Fläche modelliert. Dabei werden xx und f(x)f(x) in Metern (m)(m) angegeben.

    1. Bild

      Die Abbildung zeigt den Graphen von ff. Markieren Sie auf der xx-Achse das Intervall, in dem der Klimadeich mindestens 5 m5 \mathrm{~m} hoch ist.

      Ein moderner Deich ist etwa fünfmal so breit wie er hoch ist.

      Entscheiden Sie, ob der Klimadeich diese Regel erfüllt.

      Begründen Sie Ihre Entscheidung nur mithilfe der Abbildung. (5 BE)

    2. Die maximale Höhe des Klimadeiches ist 0,9 m\mathrm{m} höher als die des zuvor vorhandenen Deiches.

      Berechnen Sie die maximale Höhe des früheren Deiches auf cm\mathrm{cm} genau. (4 BE)

    3. Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall [0;30][0; 30].

      Berechnen Sie den Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle x=0x=0. (5 BE)

    4. Der Klimadeich besteht aus einem Sandkern und einer Abdeckungsschicht aus Kleiboden. Im Querschnitt hat die Abdeckungsschicht aus Kleiboden im Bereich 5x425 \leq x \leq 42 an jeder Stelle eine vertikale Dicke von 1,5 m1{,}5 \mathrm{~m}.

      Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich 5x425 \leq x \leq 42. (5 BE)

    5. Begründen Sie, dass im Bereich von aa bis bb mit 5a<b425 \leq a<b \leq 42 der Inhalt des

      Querschnitts der Kleibodenschicht mit 1,5(ba)1{,}5\cdot(b-a) berechnet werden kann. (4 BE)

    6. An der Stelle x=42x=42 wird senkrecht zum oberen Rand des Querschnitts eine geradlinige Bohrung durchgeführt.

      Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem diese Bohrung den Sandkern erreicht. (5 BE)

    7. Der obere Rand des Querschnitts des Sandkerns wird neu modelliert.

      Der obere Rand des Querschnitts des Klimadeiches wird weiterhin durch ff beschrieben.

      Gegeben ist die auf R\mathbb{R} definierte Funktionenschar gkg_{k} mit

      gk(x)=0,3(xk)2e0,16(xk)+0,2g_{k}(x)=0{,}3 \cdot(x-k)^{2} \cdot e^{0{,}16 \cdot(x-k)+0{,}2}.

      Die Graphen von gkg_{k} sollen für 5x425 \leq x \leq 42 und 41,5k47,541{,}5 \leq k \leq 47{,}5 den oberen Rand des

      Querschnitts des Sandkerns beschreiben.

      Bild

      In der Abbildung sind die Graphen von zwei Vertretern von gkg_{k} abgebildet.

      Geben Sie für Graph I

      und Graph II jeweils

      einen Näherungswert

      für kk an.

      Begründen Sie Ihre Angaben. (5 BE)

    8. Die vertikale Dicke der Abdeckungsschicht aus Kleiboden soll

      • 2m2 m an der Stelle x=14x=14 betragen und

      • im Querschnitt im Bereich 5x425 \leq x \leq 42 an jeder Stelle mindestens 0,95 m0{,}95 \mathrm{~m} betragen.

      Untersuchen Sie, ob es einen Wert für kk mit 41,5k47,541{,}5 \leq k \leq 47{,}5 gibt, sodass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind. (7 BE)

  4. 4

    Aufgabe 2A

    Für ein Land wird die Bevölkerungsgruppe der Erwachsenen betrachtet. In dieser Bevölkerungsgruppe beträgt der Anteil der Internetnutzer 88%88 \%; der Anteil derjenigen, die mindestens 65 Jahre alt sind und das Internet nutzen, beträgt 17%17 \%. Die betrachtete Bevölkerungsgruppe besteht aus 60,7 Millionen Personen, von denen 16,4 Millionen mindestens 65 Jahre alt sind.

    Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden folgende Ereignisse:

    A: "Die Person nutzt das Internet.“

    B: „Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“

    1. Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. (3 BE)

    2. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse AA und BB stochastisch unabhängig sind. (3 BE)

    3. Beschreiben Sie das Ereignis ,„ Aˉ\bar{A} und BB “ im Sachzusammenhang. (2 BE)

    4. Bestimmen Sie für den Fall, dass die ausgewählte Person jünger als 65 Jahre ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie das Internet nutzt. (2 BE)

    5. In der betrachteten Bevölkerungsgruppe nutzen etwa 72%72 \% das Internet mit einem Smartphone.

      Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe werden 150 Personen zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als 10%10 \% vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht. (4 BE)

    6. Ermitteln Sie, wie viele Personen aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 98%98 \% mehr als zwei dieser Personen das Internet mit einem Smartphone nutzen. (4 BE)

    7. In zwei Behältern befinden sich insgesamt 300 Kugeln, von denen 105 weiß und die übrigen schwarz sind. Im ersten Behälter befinden sich kk Kugeln, von denen ww weiß sind. Jedem Behälter wird eine Kugel zufällig entnommen.

      Interpretieren Sie den Term 195(kw)300k\frac{195-(k-w)}{300-k} im Sachzusammenhang. (3 BE)

    8. Es gilt:

      I. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 25%25 \% ist die aus dem ersten Behälter entnommene Kugel weiß.

      II. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 37,5%37{,}5\% ist die aus dem ersten Behälter entnommene Kugel schwarz und die aus dem zweiten Behälter entnommene Kugel weiß.

      Ermitteln Sie die Anzahl der weißen Kugeln im ersten Behälter. (4 BE)

  5. 5

    Aufgabe 2B

    Ein Unternehmen produziert Stahlkugeln für Kugellager. Erfahrungsgemäß sind 4%4 \% aller Kugeln fehlerhaft.

    800 Kugeln werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.

    1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Kugeln weniger als 30 fehlerhaft sind. (2 BE)

    2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht. (5 BE)

    3. Eine Stahlkugel hat entweder keinen Fehler, einen Formfehler oder einen Größenfehler. Die Wahrscheinlichkeit für einen Formfehler beträgt 3%3 \%, die für einen Größenfehler 1%1 \%.

      Alle Kugeln werden vor dem Verpacken geprüft. Dabei werden 95%95 \% der Kugeln mit Formfehler, 98%98 \% der Kugeln mit Größenfehler, aber auch 0,5%0{,}5\% der Kugeln ohne Fehler aussortiert.

      Stellen Sie den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

      (4 BE)

    4. Geben Sie das Ergebnis des folgenden Terms an und interpretieren Sie die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang: (3 BE)

      0,960,0058000{,}96 \cdot 0{,}005 \cdot 800

    5. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat. (3 BE)

    6. Bei Stahlkugeln, die während der ersten Überprüfung nicht aussortiert wurden, wird die Überprüfung aus Sicherheitsgründen ein weiteres Mal durchgeführt.

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine bei der zweiten Überprüfung aussortierte Kugel keinen Fehler aufweist. (4 BE)

    7. Die Kugeln werden in Packungen verkauft. Ein Teil der verkauften Packungen wird zurückgegeben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine verkaufte Packung zurückgegeben wird, beträgt 3  %3\;\%. Dem Unternehmen entsteht pro Packung, die zurückgegeben wird, ein Verlust von 5,80 Euro. Pro Packung, die nicht zurückgegeben wird, erzielt das Unternehmen einen Gewinn von 8,30 Euro.

      Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von 200 Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens 1500 Euro erzielt. (4 BE)

  6. 6

    Aufgabe 2C

    Der Wasserverbrauch bei einem Waschgang wird für eine Waschmaschine als normalverteilt mit dem Erwartungswert 45 Liter und der Standardabweichung 1,2 Liter angenommen.

    1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Maschine bei einem Waschgang

      • mehr als 45 Liter verbraucht.

      • weniger als 47 Liter verbraucht.

      • auf ganze Liter gerundet 45 Liter verbraucht.

      (5 BE)

    2. Berechnen Sie ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, sodass der Wasserverbrauch bei einem Waschgang mit einer Wahrscheinlichkeit von 5%5\,\% außerhalb dieses Intervalls liegt. (3 BE)

    3. Bei einer anderen Maschine ist der Wasserverbrauch näherungsweise normalverteilt mit dem Erwartungswert 60 Liter, aber unbekannter Standardabweichung. Bei 10%10 \% der Waschgänge werden bei dieser Maschine mehr als 65 Liter verbraucht.

      Bestimmen Sie die unbekannte Standardabweichung. (4 BE)

    4. Bei einer Massenproduktion von Steuerelementen für Waschmaschinen haben 12%12 \% der Steuerelemente einen Defekt. Vor dem Einbau werden die Steuerelemente geprüft.

      Ein älteres Prüfgerät erkennt ein defektes Steuerelement mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%90 \%. Dieses Prüfgerät zeigt allerdings auch einwandfreie Steuerelemente fälschlicherweise mit einer Wahrscheinlichkeit von 5%5 \% als defekt an.

      Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der das Prüfgerät eine richtige Entscheidung trifft, etwa 94%94 \% beträgt.

      Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass trotz Prüfung ein defektes

      Steuerelement eingebaut wird. (6 BE)

    5. Ein neueres Prüfgerät trifft immer richtige Entscheidungen. Um die Anzahl von Prüfungen zu reduzieren, schaltet man zehn Steuerelemente hintereinander und prüft sie gleichzeitig. Ist mindestens eines der Steuerelemente defekt, so zeigt das Prüfgerät einen Defekt an. In diesem Fall wird zusätzlich jedes Steuerelement einzeln geprüft.

      Interpretieren Sie den folgenden Term im Sachzusammenhang:

      0,88101+(10,8810)110{,}88^{10} \cdot 1+\left(1-0{,}88^{10}\right) \cdot 11

      Untersuchen Sie, wie viele Steuerelemente jeweils hintereinandergeschaltet werden müssen, damit die zu erwartende Anzahl der Prüfungen im Verhältnis zur Anzahl von Einzelprüfungen am kleinsten ist. (7 BE)

  7. 7

    Aufgabe 3A

    Bild

    Betrachtet werden die Pyramiden ABCDSkA B C D S_{k}

    mit A(000),B(200),C(220),D(020)A(0|0| 0), B(2|0| 0), C(2|2| 0), D(0|2| 0) und Sk(11k) S_{k}(1|1| k) mit k>1k>1.

    Die gemeinsame Grundfläche ABCDA B C D dieser Pyramiden ist quadratisch. Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche ABCDA B C D wird mit TT bezeichnet.

    Die Abbildung zeigt beispielhaft eine dieser Pyramiden.

    1. Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide ABCDSkA B C D S_{k}. (5 BE)

    2. Der Punkt SkS_{k} wird am Punkt CC gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes zu SkS_{k} an.

      Berechnen Sie den Wert von kk so, dass SkS_{k} zu seinem Spiegelpunkt den Abstand 6 hat.

      (4 BE)

    3. Die Seitenfläche ABSkA B S_{k} liegt in der Ebene LL.

      Bestimmen Sie eine Gleichung von LL in Koordinatenform. (3 BE)

      [zur Kontrolle: kyz=0]k \cdot y-z=0]

    4. Bestimmen Sie denjenigen Wert von kk, für den die Seitenfläche ABSkA B S_{k} gegenüber der Grundfläche ABCDA B C D um einen Winkel der Größe 6060^{\circ} geneigt ist. (3 BE)

    5. Untersuchen Sie, ob es einen Wert für k>1k>1 gibt, sodass das Dreieck BSkDB S_{k} D rechtwinklig ist. (3 BE)

    6. Die Ebene mit der Gleichung z=1z=1 schneidet die vier vom Punkt SkS_{k} ausgehenden Kanten der Pyramide ABCDSkA B C D S_{k} in den Punkten Ek,Fk,GkE_{k}, F_{k}, G_{k} und HkH_{k} (vgl. Abbildung).

      Bestimmen Sie die xx - und die yy-Koordinate von FkF_{k}. (3 BE)

    7. Bestimmen Sie diejenigen Werte von kk, für die das Verhältnis des Volumens der Pyramide EkFkGkHkTE_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T zum Volumen der Pyramide ABCDSk18A B C D S_{k} \quad\frac{1}{8} beträgt. (4 BE)

  8. 8

    Aufgabe 3B

    Das Rechteck OAEKO A E K stellt ein Tennisspielfeld dar. Die Koordinaten für die folgenden Punkte lauten: O(000),A(2700),B(27180),C(27390),E(27780),F(27393,5)O(0|0| 0), A(27|0| 0), B(27|18| 0), C(27|39| 0), E(27|78| 0), F(27|39| 3{,}5), H(0393,5)H(0|39| 3{,}5) und M(13,5393)M(13{,}5|39| 3).

    Alle Koordinaten haben die Längeneinheit Fuß (ft). Das Netz ist an Pfosten befestigt, die durch die Strecken CF\overline{C F} und GH\overline{G H} dargestellt sind. Es hat an den Enden eine Höhe von 3,5  ft3{,}5\; \mathrm{ft} und fällt geradlinig ab, bis es in der Mitte MM nur noch eine Höhe von 3  ft 3\; \mathrm{ft} hat. Der Boden wird durch die xyx y-Ebene dargestellt. Der Ball wird als punktförmig angenommen.

    Bild
    1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes DD an.

      Berechnen Sie die Länge der Diagonalen des Spielfeldes. (3 BE)

    2. Es kann vorausgesetzt werden, dass beim Aufschlag der Ball das Netz überquert und dass die xx-Koordinate zu diesem Zeitpunkt größer als 13,513{,}5 ist. Die Flugbahn des Balls wird als geradlinig angenommen.

      Bei einem Aufschlag wird der Ball im Punkt P(13010,4)P(13|0| 10{,}4) getroffen, fliegt in Richtung

      v=(1358,510,4)\def\arraystretch{1.25} \vec{v}=\left(\begin{array}{c}13 \\ 58{,}5 \\ -10{,}4\end{array}\right) und trifft im Punkt QQ auf dem Boden auf.

      Zeigen Sie, dass QQ im Spielfeld liegt. (4 BE)

      [zur Kontrolle: Q(2658,50)Q(26|58{,}5| 0) ]

    3. Die Geschwindigkeit des Balles wird mit 9090 Fuß pro Sekunde als konstant angenommen.

      Bestimmen Sie, wie viel Zeit vom Abschlag im Punkt PP bis zum Auftreffen des Balles auf dem Boden vergeht. (3 BE)

    4. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Ball auf den Boden auftrifft.

      (3 BE)

    5. Spiegelt man die Gerade, die die Flugbahn des Balles beschreibt, an der xyx y-Ebene, ergibt sich die Gerade bb. Die Gerade bb beschreibt die Flugbahn direkt nach dem Aufprall.

      Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden bb. (4 BE)

    6. Bei einem anderen Aufschlag wird der Ball im Punkt Ph(130h),h>0P_{h}(13|0| h), h>0, abgeschlagen und trifft im Punkt Q(2658,50)Q(26|58{,}5| 0) auf dem Boden auf. Der Ball überquert das Netz in einer Höhe von 0,25  ft0{,}25\; \mathrm{ft} über dem Netz.

      Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von hh. (8 BE)

  9. 9

    Aufgabe 3C

    Gegeben sind der Punkt A(221)A(2|2| 1) und die Gerade gg mit x=(021)+s(121),sR\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -2 \\ -1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), s \in \mathbb{R}.

    1. Zeigen Sie, dass AA ein Punkt von gg ist.

      Die Ebene EE enthält den Punkt AA. EE und gg sind orthogonal zueinander.

      Bestimmen Sie eine Gleichung für EE. (6 BE)

    2. Gegeben sind die Geraden hah_{a} mit x=(344)+r(a10),rR,aR\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 4\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}a \\ -1 \\ 0\end{array}\right), r \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}.

      Geben Sie eine Gleichung der Ebene HH an, in der alle Geraden hah_{a} liegen.

      Zeigen Sie, dass nicht jeder Punkt der Ebene HH auch ein Punkt von hah_{a} ist. (3 BE)

    3. Klassifizieren Sie die Geraden hah_{a} nach der Anzahl ihrer gemeinsamen Punkte mit der Ebene, mit der Gleichung x+2y+z=7x+2 y+z=7. (4 BE)

    4. Eine der Geraden von hah_{a} hat einen Schnittpunkt mit gg.

      Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel. (8 BE)

    5. Der Punkt TT bewegt sich auf der Geraden h0h_{0} und bildet mit zwei Punkten PP und QQ auf der Geraden gg ein Dreieck.

      Begründen Sie, dass es genau einen Punkt TT gibt, für den das Dreieck PQTP Q T minimalen Flächeninhalt hat. (4 BE)


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