Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Kugeln weniger als 30 fehlerhaft sind

$X$: Anzahl der fehlerhaften Kugeln

Es ist $p=0{,}04$ und $n=800$.

Dann gilt: $P(X<30)=\text{binomCdf}(800{,}0.04{,}0,29)\approx0{,}3341$

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Kugeln weniger als $30$ fehlerhaft sind, beträgt rund $33{,}4\;\%$.

Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht

Es gilt: $\mu=n\cdot p=800\cdot 0{,}04=32$

$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{800\cdot 0{,}04\cdot 0{,}96}\approx5{,}54$

$\dfrac{\sigma}{2}=2{,}8$

Dann ist $\mu-\dfrac{\sigma}{2}=29{,}2\color{blue}\approx 30$ und $\mu+\dfrac{\sigma}{2}=34{,}8\color{blue}\approx 34$

Mit diesen Werten erhält man:

$P(30\leq X\leq34)=\text{binomCdf}(800{,}0.04{,}0,34)-\text{binomCdf}(800{,}0.04{,}0,29)$

$P(30\leq X\leq34)\approx0{,}348$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht, beträgt rund $34{,}8\;\%$.

Beschriftetes Baumdiagramm

$A$: Die Stahlkugeln werden aussortiert

Ergebnis des Terms

$0{,}96 \cdot 0{,}005 \cdot 800=3{,}84$

Der Term hat den Wert $3{,}84$.

Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang

$0{,}96 \cdot 0{,}005$ ist die Multiplikation der Pfadwahrscheinlichkeiten des ersten Pfades. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stahlkugel keinen Fehler hat und trotzdem aussortiert wird.

Diese Wahrscheinlichkeit multipliziert mit $800$ ergibt die zu erwartende Anzahl ($3{,}84$) unter den 800 Kugeln an, die keinen Fehler haben und trotzdem aussortiert werden.

Wahrscheinlichkeit, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat

Bezeichnungen:

$A$: die Stahlkugeln werden aussortiert

$kF$: die Stahlkugel hat keinen Fehler

$FF$: die Stahlkugel hat einen Formfehler

$\overline{FF}$: die Stahlkugel hat keinen Formfehler

$GF$: die Stahlkugel hat einen Größenfehler

Dann gilt:

$P(A)=P(kF\cap A)+P(FF\cap A)+P(GF\cap A)$

$P(A)=0{,}96\cdot 0{,}005+0{,}03\cdot 0{,}95+0{,}01\cdot 0{,}98=0{,}0431$

Weiterhin gilt:

Dann ist:

$P_A(\overline{FF})=\dfrac{P(\overline{FF}\cap A)}{P(A)}=\dfrac{0{,}0146}{0{,}0431}\approx0{,}339$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat, beträgt rund $33{,}9\;\%$.

Wahrscheinlichkeit, dass eine bei der zweiten Überprüfung aussortierte Kugel keinen Fehler aufweist

Das Baumdiagramm wird bei nicht aussortierten Kugeln um eine Stufe erweitert.

Dann ergeben sich für die Fälle der Aussortierung bei der 2. Prüfung folgende Anteile:

Die Stahlkugel hat keinen Fehler: $0{,}96\cdot 0{,}995\cdot 0{,}005=0{,}004776$

Die Stahlkugel hat einen Formfehler: $0{,}03\cdot 0{,}95\cdot 0{,}05=0{,}001425$

Die Stahlkugel hat einen Größenfehler: $0{,}01\cdot 0{,}02\cdot 0{,}98=0{,}000196$

Die Summe dieser drei Anteile beträgt $0{,}006397$.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt dann:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bei der zweiten Überprüfung aussortierte Kugel keinen Fehler aufweist, beträgt rund $74{,}7\;\%$.

Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von 200 Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens 1500 Euro erzielt

Zufallsgröße $Y$: sie beschreibt die Anzahl $y$ der zurückgegebenen Packungen

$Y$ist binomialverteilt mit $n= 200$ und $p= 0{,}03$.

$200-y$ ist die Anzahl der Packungen, die einen Gewinn von $8{,}30\;€$ erbringen, d.h. $(200-y)\cdot 8{,}30$ ist der erzielte Gewinn.

Die Anzahl $y$ der zurückgegebenen Packungen ergeben einen Verlust von $y\cdot 5{,}80\;€$.

Der Gesamtgewinn von mindestens $1500$ Euro soll erzielt werden:

Gewinn $-$ Verlust $\geq 1500$$\;\Rightarrow\;(200-y)\cdot 8{,}30 -y\cdot 5{,}80\geq 1500$

Der GTR liefert für die Gleichung $(200-y)\cdot 8{,}30 -y\cdot 5{,}80= 1500$ die Lösung $y\approx11{,}3475...$

Dann ist $y\leq 11$, da es nur ganze Packungen gibt. (Für $y\leq11$ ist die linke Seite der Gleichung größer als $1500$.)

Für $y\leq 11$ folgt dann:

Die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von $200$ Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens $1500$ Euro erzielt, beträgt rund $98{,}2\;\%$.