Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1B

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = x (x - a) (x - 2 a) = x^{3} - 3 a x^{2} + 2 a^{2} x$ , wobei $a \neq 0$ und $x \in ℝ$ gilt. Es gilt: $f_{a}^{''} (x) = 6 x - 6 a$

Begründen Sie, dass jeder Graph von $f_{a}$
- drei verschiedene Nullstellen hat,
- den Wendepunkt $(a | 0)$ hat. (5 BE)
Begründen Sie, dass jeder Graph von $f_{a}$ drei verschiedene Nullstellen hat
Aus $f_{a} (x) = 0$ folgt: $x = 0$ oder $x = a$ oder $x = 2 a$ .
Da $a \neq 0$ gilt, hat jeder Graph drei verschiedene Nullstellen.
Begründen Sie, dass jeder Graph von $f_{a}$ den Wendepunkt $(a | 0)$ hat
Es gilt: $f_{a}^{''} (x) = 6 x - 6 a \Rightarrow f_{a}^{'''} (x) = 6 \neq 0$
$f_{a}^{''} (a) = 0$
Die Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle $a$ ist erfüllt.
$x = a$ ist Nullstelle, also ist $f_{a} (a) = 0$
Der Wendepunkt hat also die Koordinaten $(a | 0)$ .
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Teil 1
$f_{a} (x)$ hat drei Linearfaktoren. Die Nullstellen können abgelesen werden.
Teil 2
Die 2. Ableitung ist gegeben. Setze $x = a$ ein.
Begründen Sie, dass für jeden Wert von $a$ die Graphen zu $f_{a}$ und $f_{- a}$ im Koordinatenursprung dieselbe Steigung haben. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Für jeden Wert von $a$ haben die Graphen zu $f_{a}$ und $f_{- a}$ im Koordinatenursprung dieselbe Steigung
$f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + 2 a^{2} x \Rightarrow f_{a}^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 a x + 2 a^{2}$
$f_{a}^{'} (0) = 2 a^{2}$ und $f_{- a}^{'} (0) = 2 (- a)^{2} = 2 a^{2}$
Die Graphen haben jeweils die gleiche Steigung.
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Berechne $f_{a}^{'} (x)$ und setze $x = 0$ ein.
Vergleiche das Ergebnis mit $f_{- a}^{'} (0)$ .
Berechnen Sie die Werte von $a$ , für die an der Stelle $x = 2$ der Funktionswert 5 beträgt.
(3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
An der Stelle $x = 2$ beträgt der Funktionswert $5$
$f_{a} (x) = x (x - a) (x - 2 a) \Rightarrow f_{a} (2) = 2 (2 - a) (2 - 2 a) = 5$
Der GTR liefert für die Gleichung $2 (2 - a) (2 - 2 a) = 5$ die Werte:
$a_{1} \approx 0,275255...$ und $a_{2} \approx 2,724744...$
Für $a_{1} \approx 0,28$ und $a_{2} \approx 2,72$ beträgt an der Stelle $x = 2$ der Funktionswert $5$ .
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Berechne $f_{a} (2) = 5$ .
Die Graphen zu $f_{- 1}$ und $f_{4}$ haben im Intervall $[0; 2]$ genau zwei gemeinsame Punkte.
Begründen Sie mithilfe des Krümmungsverhaltens, dass die beiden Graphen im betrachteten Intervall keine weiteren gemeinsamen Punkte haben. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen
Begründen Sie mithilfe des Krümmungsverhaltens, dass die beiden Graphen im betrachteten Intervall keine weiteren gemeinsamen Punkte haben
Die gemeinsamen Punkte sind $(0 | 0)$ und $(2 | 24)$ .
$f_{a}^{''} (x) = 6 x - 6 a$
Für $0 \leq x \leq 2$ gilt dann:
$f_{4}^{''} (x) = 6 x - 24 < 0$
$f_{- 1}^{''} (x) = 6 x + 6 > 0$
Im Intervall $[0; 2]$ ist der Graph von $f_{4}$ rechtsgekrümmt und der Graph von $f_{- 1}$ linksgekrümmt.
Also gibt es keine weiteren gemeinsamen Punkte.
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Zeige, dass im Intervall $[0; 2]$ die zweite Ableitung $f_{a}^{''} (x)$ für $a = 4$ bzw. $a = - 1$ unterschiedliche Vorzeichen haben.
Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Wendepunkt.
Berechnen Sie die Werte von $a$ , für die diese Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck einschließt. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Beschreibung des Dreiecks
Da zwei der Seiten des Dreiecks auf den Koordinatenachsen liegen, ist es insbesondere ein rechtwinkliges Dreieck.
Da in einem gleichschenkligen Dreieck die zwei Basiswinkel gleich groß sein müssen, folgt mit der Innenwinkelsumme, dass die Basiswinkel 45 Grad groß sein müssen.
Steigung folgern
Wir wissen nun, dass die Tangente in einem Winkel von 45 Grad zu den Koordinatenachsen liegt. Die einzigen möglichen Steigungen sind damit $m = \pm 1$ .
Parameter finden
Wir berechnen nun zuerst die Steigungen der Tangenten zu $f_{a}$ bei $x = a$ . Diese ist durch die Ableitung $f_{a}^{'} (a)$ gegeben. Also gilt:
$m = f_{a}^{'} (a) = 3 a^{2} - 6 a^{2} + 2 a^{2} = - a^{2}$
Wir wissen bereits, dass das Dreieck nur bei den Steigungen $m_{1,2} = \pm 1$ gleichschenklig ist. Also setzen wir gleich und lösen nach $a$ auf:
$m_{1,2} = - a^{2} \overset{!}{=} \pm 1$
Da Quadrate nicht negativ werden, kann der Fall $m = 1$ nicht erreicht werden und wir lösen:
$- a^{2} = - 1 \Leftrightarrow a = \pm 1$
Also ist das gebildete Dreieck für $a = \pm 1$ gleichschenklig.
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Überlege dir, wie dieses Dreieck aussieht
Folgere, welche Steigung die Tangenten haben muss
Löse nach dem Parameter $a$ auf
Gegeben sind die Punkte $P (1 | 0)$ und $Q_{a} (3 | f_{a} (3))$ .
Untersuchen Sie, ob es Werte von $a$ gibt, sodass die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$ eine Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $Q_{a}$ ist.
Begründen Sie, dass der Punkt $(0 | 2)$ auf keiner der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$ liegt. (9 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Gibt es Werte von $a$ , sodass die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$ eine Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $Q_{a}$ ist?
Berechne die Steigung der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$ :
$m_{a} = \frac{f_{a} (3) - 0}{3 - 1} = \frac{3}{2} \cdot (3 - a) \cdot (3 - 2 a)$
Die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $Q_{a}$ :
$f_{a}^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 a x + 2 a^{2} \Rightarrow f_{a}^{'} (3) = 3 \cdot 3^{2} - 6 a \cdot 3 + 2 a^{2}$
$f_{a}^{'} (3) = 27 - 18 \cdot a + 2 a^{2}$
Zeichnen der Graphen zu $m_{a}$ und $f_{a}^{'} (3)$ liefert zwei Schnittpunkte, deren
x-Koordinaten die gesuchten Werte von $a$ sind:
$a_{1} \approx - 6,6$ und $a_{2} \approx 2,1$
Der Punkt $(0 | 2)$ liegt auf keiner der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$
Stelle die Gleichung der Geraden durch $P$ und $Q_{a}$ auf:
$y = 1,5 \cdot (3 - a) \cdot (3 - 2 a) \cdot x + b$
Einsetzen der Koordinaten von $P (1 | 0)$ liefert den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von $a$ :
$0 = 1,5 \cdot (3 - a) \cdot (3 - 2 a) \cdot 1 + b \Rightarrow b (a) = - 1,5 \cdot (3 - a) \cdot (3 - 2 a)$
$b (a) = (3 - a) \cdot ((- 1,5) \cdot 3 - (- 1,5) \cdot 2 a) = - 3 \cdot (3 - a) \cdot (1,5 - a)$
b(a) ist eine nach unten geöffnete Parabel.
$b (a)$ hat die Nullstellen $x_{1} = 1,5$ und $x_{2} = 3$ .
Die x-Koordinate des Scheitelpunktes der Parabel liegt dann bei $x = \frac{1,5 + 3}{2} = 2,25$ .
$b (2,25) = - 3 \cdot (3 - 2,25) \cdot (1,5 - 2,25) = - 3 \cdot 0,75 \cdot (- 0,75) = 1,6875$
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $(2,25 | 1,6875)$ .
Damit ist der größte y-Achsenabschnitt aller Geraden also $1,6875$ .
Damit liegt $(0 | 2)$ auf keiner der Geraden, da $2 > 1,6875$ ist.
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Teil 1
Berechne die Steigung der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$ $\Rightarrow m_{a}$
Berechne die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $Q_{a}$ $\Rightarrow f_{a}^{'} (3)$
Zeichnen der Graphen zu $m_{a}$ und $f_{a}^{'} (3)$ liefert zwei Schnittpunkte.
Teil 2
Stelle die Gleichung der Geraden durch $P$ und $Q_{a}$ auf.
Einsetzen der Koordinaten von $P (1 | 0)$ liefert den y-Achsenabschnitt $b$ in Abhängigkeit von $a$ .
Bestimme den Scheitelpunkt von $b (a)$ und vergleiche die y-Koordinate des Scheitelpunktes mit der y-Koordinate des Punktes $(0 | 2)$ .
Betrachtet wird jetzt zusätzlich die Funktion $f_{3}$ mit $f_{3} (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 18 x$ .
Bestimmen Sie die Werte von $a$ , für die der zugehörige Graph von $f_{a}$ im Intervall $[- 1; 0]$ dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von $f_{3}$ . (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Die Werte von $a$ , für die der zugehörige Graph von $f_{a}$ im Intervall $[- 1; 0]$ dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von $f_{3}$
Alle Graphen verlaufen durch den Ursprung. Deshalb sind die betrachteten Steigungen identisch, wenn $f_{3} (- 1) = f_{a} (- 1)$ gilt.
$f_{3} (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 18 x \Rightarrow f_{3} (- 1) = (- 1)^{3} - 9 \cdot (- 1)^{2} + 18 \cdot (- 1) = - 28$
$f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + 2 a^{2} x$ $\Rightarrow f_{a} (- 1) = (- 1)^{3} - 3 a \cdot (- 1)^{2} + 2 a^{2} \cdot (- 1) = - 1 - 3 a - 2 a^{2}$
Berechne den Schnittpunkt: $f_{3} (- 1) = f_{a} (- 1)$ .
Berechne also die Lösung der Gleichung $28 = 2 a^{2} + 3 x + 1$
Der GTR liefert die Lösungen $a_{1} = - 4,5$ und $a_{2} = 3$ .
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Alle Graphen verlaufen durch den Ursprung.
Die betrachteten Steigungen sind identisch, wenn $f_{3} (- 1) = f_{a} (- 1)$ gilt.
Die Tangente an den Graphen von $f_{3}$ im Tiefpunkt schließt mit dem Graphen von $f_{3}$ eine Fläche ein. Außerdem schließt der Graph von $f_{3}$ mit der $x$ -Achse im Intervall $[0; 3]$ eine Fläche ein.
Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte dieser beiden Flächen. (8 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte dieser beiden Flächen
Fläche 1:
Der GTR liefert die Koordinaten des Tiefpunktes $x_{T} \approx 4,732$ und $y_{T} \approx - 10,392$ .
Die Tangente an den Graphen von $f_{3}$ im Tiefpunkt hat dann die Gleichung:
$y = f_{3} (x_{T}) \approx - 10,392$ .
Die Tangente schneidet den Graphen in einem weiteren Punkt:
$f_{3} (x) = f_{3} (x_{T})$ mit der Lösung $x_{2} \approx - 0,464$
Für die eingeschlossene Fläche erhält man dann:
$A_{1} = \int_{x_{2}}^{x_{T}} (f_{3} (x) - (- 10,392)) d x \approx 60,75$
Fläche 2:
Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f_{3}$ und der x-Achse:
$A_{2} = \int_{0}^{3} f_{3} (x) d x = 20,25$
Das Verhältnis ist: $\frac{A_{1}}{A_{2}} \approx 3$
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Lasse Dir die Koordinaten des Tiefpunktes anzeigen $(x_{T} | y_{T})$ .
Die Tangente im Tiefpunkt hat dann die Gleichung $y = y_{T}$ .
Die Tangente schneidet den Graphen in einem weiteren Punkt $\Rightarrow x_{2}$
Berechne $A_{1} = \int_{x_{2}}^{x_{T}} (f_{3} (x) - y_{T}) d x$ .
Berechne $A_{2} = \int_{0}^{3} f_{3} (x) d x$ .
Bilde das Verhältnis der beiden Flächeninhalte.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1B

Begründen Sie, dass jeder Graph von fa drei verschiedene Nullstellen hat

Begründen Sie, dass jeder Graph von fa den Wendepunkt (a|0) hat

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Für jeden Wert von a haben die Graphen zu fa und f−a im Koordinatenursprung dieselbe Steigung

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An der Stelle x=2 beträgt der Funktionswert 5

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Begründen Sie mithilfe des Krümmungsverhaltens, dass die beiden Graphen im betrachteten Intervall keine weiteren gemeinsamen Punkte haben

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Beschreibung des Dreiecks

Steigung folgern

Parameter finden

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Gibt es Werte von a, sodass die Gerade durch die Punkte P und Qa eine Tangente an den Graphen von fa im Punkt Qa ist?

Der Punkt (0|2) liegt auf keiner der Geraden durch die Punkte P und Qa

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Die Werte von a, für die der zugehörige Graph von fa im Intervall [−1;0] dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von f3

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Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte dieser beiden Flächen

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Begründen Sie, dass jeder Graph von $f_{a}$ drei verschiedene Nullstellen hat

Begründen Sie, dass jeder Graph von $f_{a}$ den Wendepunkt $(a | 0)$ hat

Für jeden Wert von $a$ haben die Graphen zu $f_{a}$ und $f_{- a}$ im Koordinatenursprung dieselbe Steigung

An der Stelle $x = 2$ beträgt der Funktionswert $5$

Gibt es Werte von $a$ , sodass die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$ eine Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $Q_{a}$ ist?

Der Punkt $(0 | 2)$ liegt auf keiner der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$

Die Werte von $a$ , für die der zugehörige Graph von $f_{a}$ im Intervall $[- 1; 0]$ dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von $f_{3}$