Begründen Sie, dass jeder Graph von $f_a$ drei verschiedene Nullstellen hat

Aus $f_a(x)=0$ folgt: $x=0$ oder $x=a$ oder $x=2a$.

Da $a\neq 0$ gilt, hat jeder Graph drei verschiedene Nullstellen.

Begründen Sie, dass jeder Graph von $f_a$ den Wendepunkt $(a \mid 0)$ hat

Es gilt: $f_{a}^{\prime \prime}(x)=6 x-6 a\;\Rightarrow\;f_{a}^{\prime \prime\prime}(x)=6\neq 0$

$f_{a}^{\prime \prime}(a)=0$

Die Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle $a$ ist erfüllt.

$x=a$ ist Nullstelle, also ist $f_a(a)=0$

Der Wendepunkt hat also die Koordinaten $(a|0)$.

Für jeden Wert von $a$ haben die Graphen zu $f_{a}$ und $f_{-a}$ im Koordinatenursprung dieselbe Steigung

$f_{a}(x)=x^{3}-3 a x^{2}+2 a^{2} x\;\Rightarrow\;f'_a(x)=3x^2-6ax+2a^2$

$f'_a(0)=2a^2$ und $f'_{-a}(0)=2(-a)^2=2a^2$

Die Graphen haben jeweils die gleiche Steigung.

An der Stelle $x=2$ beträgt der Funktionswert $5$

$f_{a}(x)=x(x-a)(x-2 a)\;\Rightarrow\;f_{a}(2)=2(2-a)(2-2 a)=5$

Der GTR liefert für die Gleichung $2(2-a)(2-2 a)=5$ die Werte:

$a_1\approx0{,}275255...$ und $a_2\approx2{,}724744...$

Für $a_1\approx 0{,}28$ und $a_2\approx 2{,}72$ beträgt an der Stelle $x=2$ der Funktionswert $5$.

Begründen Sie mithilfe des Krümmungsverhaltens, dass die beiden Graphen im betrachteten Intervall keine weiteren gemeinsamen Punkte haben

Die gemeinsamen Punkte sind $(0|0)$ und $(2|24)$.

$f_{a}^{\prime \prime}(x)=6 x-6 a$

Für $0 \leq x \leq 2$ gilt dann:

$f_4''(x)= 6x − 24 < 0$

$f_{-1}''(x) = 6x + 6 > 0$

Im Intervall $[0; 2]$ ist der Graph von $f_4$ rechtsgekrümmt und der Graph von $f_{-1}$ linksgekrümmt.

Also gibt es keine weiteren gemeinsamen Punkte.

Beschreibung des Dreiecks

Da zwei der Seiten des Dreiecks auf den Koordinatenachsen liegen, ist es insbesondere ein rechtwinkliges Dreieck.

Da in einem gleichschenkligen Dreieck die zwei Basiswinkel gleich groß sein müssen, folgt mit der Innenwinkelsumme, dass die Basiswinkel 45 Grad groß sein müssen.

Steigung folgern

Wir wissen nun, dass die Tangente in einem Winkel von 45 Grad zu den Koordinatenachsen liegt. Die einzigen möglichen Steigungen sind damit $m=\pm1$.

Parameter finden

Wir berechnen nun zuerst die Steigungen der Tangenten zu $f_a$ bei $x=a$. Diese ist durch die Ableitung $f_a'(a)$ gegeben. Also gilt:

Wir wissen bereits, dass das Dreieck nur bei den Steigungen $m_{1{,}2}=\pm1$ gleichschenklig ist. Also setzen wir gleich und lösen nach $a$ auf:

Da Quadrate nicht negativ werden, kann der Fall $m=1$ nicht erreicht werden und wir lösen:

Also ist das gebildete Dreieck für $a=\pm1$ gleichschenklig.

Gibt es Werte von $a$, sodass die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$ eine Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $Q_{a}$ ist?

Berechne die Steigung der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q_a$:

$m_a=\dfrac{f_a(3)-0}{3-1} = \dfrac{3}{2}\cdot (3 − a)\cdot(3 − 2a)$

Die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $Q_a$:

$f_a'(x)=3x^2-6ax+2a^2\;\Rightarrow\;f_a'(3)=3\cdot3^2-6a\cdot 3+2a^2$

$f_a'(3)=27-18\cdot a+2a^2$

Zeichnen der Graphen zu $m_a$ und $f_a'(3)$ liefert zwei Schnittpunkte, deren

x-Koordinaten die gesuchten Werte von $a$ sind:

$a_1\approx −6{,}6$ und $a_2\approx 2{,}1$

Der Punkt $(0|2)$ liegt auf keiner der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$

Stelle die Gleichung der Geraden durch $P$ und $Q_a$ auf:

$y = 1{,}5\cdot(3 − a)\cdot(3 − 2a) \cdot x + b$

Einsetzen der Koordinaten von $P(1|0)$ liefert den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von $a$:

$0=1{,}5\cdot(3 − a)\cdot(3 − 2a) \cdot 1 +b\;\Rightarrow\;b(a)=-1{,}5\cdot(3 − a)\cdot(3 − 2a)$

$b(a)=(3-a)\cdot((-1{,}5)\cdot 3-(-1{,}5)\cdot2a)=-3\cdot(3-a)\cdot(1{,}5-a)$

b(a) ist eine nach unten geöffnete Parabel.

$b(a)$ hat die Nullstellen $x_1=1{,}5$ und $x_2=3$.

Die x-Koordinate des Scheitelpunktes der Parabel liegt dann bei $x=\dfrac{1{,}5+3}{2}=2{,}25$.

$b(2{,}25)=-3\cdot(3-2{,}25)\cdot(1{,}5-2{,}25)=-3\cdot0{,}75\cdot(-0{,}75)=1{,}6875$

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $(2{,}25|1{,}6875)$.

Damit ist der größte y-Achsenabschnitt aller Geraden also $1{,}6875$.

Damit liegt $(0|2 )$ auf keiner der Geraden, da $2>1{,}6875$ ist.

Die Werte von $a$, für die der zugehörige Graph von $f_{a}$ im Intervall $[-1 ; 0]$ dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von $f_{3}$

Alle Graphen verlaufen durch den Ursprung. Deshalb sind die betrachteten Steigungen identisch, wenn $f_3(-1)=f_a(-1)$ gilt.

$f_{3}(x)=x^{3}-9 x^{2}+18 x\;\Rightarrow\;f_{3}(-1)=(-1)^{3}-9 \cdot (-1)^{2}+18 \cdot (-1)=-28$

$f_{a}(x)=x^{3}-3 a x^{2}+2 a^{2} x\;$$\Rightarrow\;f_{a}(-1)=(-1)^{3}-3 a \cdot(-1)^{2}+2 a^{2} \cdot (-1)= −1 − 3a − 2a^2$

Berechne den Schnittpunkt: $f_3(-1)=f_a(-1)$.

Berechne also die Lösung der Gleichung $28=2a^2+3x+1$

Der GTR liefert die Lösungen $a_1 = −4{,}5$ und $a_2 = 3$.

Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte dieser beiden Flächen

Fläche 1:

Der GTR liefert die Koordinaten des Tiefpunktes $x_T\approx4{,}732$ und $y_T\approx-10{,}392$.

Die Tangente an den Graphen von $f_{3}$ im Tiefpunkt hat dann die Gleichung:

$y=f_3(x_T)\approx-10{,}392$.

Die Tangente schneidet den Graphen in einem weiteren Punkt:

$f_3(x)=f_3(x_T)$ mit der Lösung $x_2\approx-0{,}464$

Für die eingeschlossene Fläche erhält man dann:

$A_1=\displaystyle\int_{x_2}^{x_{T}}\left(f_3(x)-(-10{,}392)\right)\;dx\approx60{,}75$

Fläche 2:

Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f_3$ und der x-Achse:

$A_2=\displaystyle\int_{0}^{3}f_3(x)\;dx=20{,}25$

Das Verhältnis ist: $\dfrac{A_1}{A_2}\approx3$