Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3A

Betrachtet werden die Pyramiden $A B C D S_{k}$

mit $A (0 | 0 | 0), B (2 | 0 | 0), C (2 | 2 | 0), D (0 | 2 | 0)$ und $S_{k} (1 | 1 | k)$ mit $k > 1$ .

Die gemeinsame Grundfläche $A B C D$ dieser Pyramiden ist quadratisch. Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche $A B C D$ wird mit $T$ bezeichnet.

Die Abbildung zeigt beispielhaft eine dieser Pyramiden.

Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide $A B C D S_{k}$ . (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Inhalt der Oberfläche der Pyramide $A B C D S_{k}$
$O_{Pyramide} = G + 4 \cdot A_{△}$
Dabei ist $G = 2^{2} = 4$ und $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
Die Grundseite des Dreiecks ist $g = 2.$
Die Mitte der Seite $B C$ ist der Punkt $M$ .
$\Rightarrow \vec{m} = \frac{1}{2} \cdot ((\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array})) = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow M (2 | 1 | 0)$
Der Vektor $\vec{M S_{k}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ k \end{array})$
Die Dreieckshöhe ist $h = | \vec{M S_{k}} | = \sqrt{(- 1)^{2} + k^{2}} = \sqrt{1 + k^{2}} .$
Dann folgt für den Inhalt der Pyramidenoberfäche:
$O_{Pyramide} = G + 4 \cdot A_{△} = 4 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{1 + k^{2}} = 4 + 4 \cdot \sqrt{1 + k^{2}}$
.
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Es ist $O_{Pyramide} = G + 4 \cdot A_{△}$
Für die Dreiecksfläche benötigst Du die Dreieckshöhe, für die gilt, $h = | \vec{M S_{k}} |$ , mit dem Punkt $M$ als Mitte der Seite $B C$ .
Der Punkt $S_{k}$ wird am Punkt $C$ gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes zu $S_{k}$ an.
Berechnen Sie den Wert von $k$ so, dass $S_{k}$ zu seinem Spiegelpunkt den Abstand 6 hat.
(4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
Koordinaten des Spiegelpunktes $S_{k}$ '
Für den Spiegelpunkt gilt:
$\vec{O S_{k}^{'}} = \vec{O S_{k}} + 2 \cdot \vec{S_{k} C} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array}) + 2 \cdot ((\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array})) = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ - k \end{array})$
Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $S_{k}^{'} (3 | 3 | - k)$ .
Abstand von $S_{k}$ zu $S_{k}^{'}$ beträgt 6
$\vec{S_{k} S_{k}^{'}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ - k \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 2 k \end{array})$
$| \vec{S_{k} S_{k}^{'}} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + (- 2 k)^{2}} = \sqrt{8 + 4 k^{2}}$
Nun soll gelten: $\sqrt{8 + 4 k^{2}} = 6$
Der GTR liefert als Lösung $k_{1} \approx - 2,64575...$ und $k_{2} \approx 2,64575...$ .
Da $k > 1$ ist, erhält man als Lösung der Gleichung nur den positiven Wert $k \approx 2,65$ .
Für $k \approx 2,65$ hat $S_{k}$ zu seinem Spiegelpunkt den Abstand $6$ .
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Teil 1
Es gilt für den Spiegelpunkt: $\vec{O S_{k}^{'}} = \vec{O S_{k}} + 2 \cdot \vec{S_{k} C}$
Teil 2
Es soll gelten: $| \vec{S_{k} S_{k}^{'}} | = 6$ . Löse nach $k$ auf.
Die Seitenfläche $A B S_{k}$ liegt in der Ebene $L$ .
Bestimmen Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform. (3 BE)
[zur Kontrolle: $k \cdot y - z = 0]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Überblick
Gleichung von $L$ in Koordinatenform
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{A S_{k}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array})$
Es soll gelten:
$\vec{n} \circ \vec{A B} = 0$ und $\vec{n} \circ \vec{A S_{k}} = 0$
1. Gleichung: $(\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = 0 \Rightarrow 2 \cdot n_{1} + 0 + 0 = 0 \Rightarrow n_{1} = 0$
2. Gleichung: $(\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array}) = 0$
Mit $n_{1} = 0$ erhält man die Gleichung: $n_{2} + k \cdot n_{3} = 0$
Wähle z.B. $n_{3} = - 1,$ dann folgt: $n_{2} - k = 0 \Rightarrow n_{2} = k$ .
Der Normalenvektor lautet demnach: $\vec{n} = (\begin{array}{c} 0 \\ k \\ - 1 \end{array})$
Da die Ebene $L$ den Koordinatenursprung $A (0 | 0 | 0)$ enthält, gilt für die Ebenengleichung: $L : k \cdot y - z = 0$
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Es gilt: $\vec{n} \circ \vec{A B} = 0$ und $\vec{n} \circ \vec{A S_{k}} = 0$ . Berechne den Normalenvektor $\vec{n} .$
Beachte $L$ verläuft durch den Koordinatenursprung.
Bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$ , für den die Seitenfläche $A B S_{k}$ gegenüber der Grundfläche $A B C D$ um einen Winkel der Größe $60^{\circ}$ geneigt ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen
Größe von $k$
Der Normalenvektor der Grundfläche $A B C D$ ist der Normalenvektor der xy-Ebene:
${\vec{n}}_{x y} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ . Sein Betrag ist $| \vec{n} | = 1$ .
Der Normalenvektor der Seitenfläche ist ${\vec{n}}_{L} = (\begin{array}{c} 0 \\ k \\ - 1 \end{array})$ .
Sein Betrag ist $| {\vec{n}}_{L} | = \sqrt{k^{2} + 1}$ .
Dann gilt für den Winkel: $\cos 60^{\circ} = \frac{| {\vec{n}}_{x y} \circ {\vec{n}}_{L} |}{| {\vec{n}}_{x y} | \cdot | {\vec{n}}_{L} |}$
$\cos 60^{\circ}$ $=$ $\frac{| (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ k \\ - 1 \end{array}) |}{1 \cdot \sqrt{k^{2} + 1}}$
↓
Berechne das Skalarprodukt und den $\cos 60^{\circ}$ .
$0,5$ $=$ $\frac{| - 1 |}{1 \cdot \sqrt{k^{2} + 1}}$
↓
Berechne den Betrag.
$0,5$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{k^{2} + 1}}$
Der GTR liefert als Lösung $k_{1} \approx - 1,73205...$ und $k_{2} \approx 1,73205...$ .
Da $k > 1$ ist, erhält man als Lösung nur den positiven Wert $k \approx 1,73205...$ .
Für $k \approx 1,73$ bilden die beiden Ebenen einen Winkel von $60^{\circ}$ miteinander.
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Der Normalenvektor der Grundfläche $A B C D$ ist der Normalenvektor der xy-Ebene: ${\vec{n}}_{x y} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
Der Normalenvektor ${\vec{n}}_{L}$ der Seitenfläche wurde in Aufgabe c) berechnet.
Dann gilt für den Winkel: $\cos 60^{\circ} = \frac{| {\vec{n}}_{x y} \circ {\vec{n}}_{L} |}{| {\vec{n}}_{x y} | \cdot | {\vec{n}}_{L} |}$ . Löse die Gleichung nach $k$ auf.
Untersuchen Sie, ob es einen Wert für $k > 1$ gibt, sodass das Dreieck $B S_{k} D$ rechtwinklig ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Dreieck $B S_{k} D$ soll rechtwinklig sein
Berechne die Vektoren $\vec{B S_{k}}$ und $\vec{D S_{k}}$ und setze dann ihr Skalarprodukt gleich null.
$\vec{B S_{k}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ k \end{array})$
$\vec{D S_{k}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ k \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ k \end{array})$
$\vec{B S_{k}} \circ \vec{D S_{k}} = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ k \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ k \end{array}) = 0$
Man erhält die Gleichung:
$- 1 - 1 + k^{2} = 0 \Rightarrow k^{2} = 2$
Da $k > 1$ ist , erhält man als Lösung der Gleichung $k^{2} = 2$ nur den positiven Wert $k = \sqrt{2}$ .
Für $k = \sqrt{2}$ ist das Dreieck $B S_{k} D$ rechtwinklig.
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Berechne die Vektoren $\vec{B S_{k}}$ und $\vec{D S_{k}}$ und setze dann ihr Skalarprodukt gleich null. Löse die Gleichung nach $k$ auf.
Die Ebene mit der Gleichung $z = 1$ schneidet die vier vom Punkt $S_{k}$ ausgehenden Kanten der Pyramide $A B C D S_{k}$ in den Punkten $E_{k}, F_{k}, G_{k}$ und $H_{k}$ (vgl. Abbildung).
Bestimmen Sie die $x$ - und die $y$ -Koordinate von $F_{k}$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
Die $x$ - und die $y$ -Koordinate von $F_{k}$
Der Punkt $F$ hat wegen $z = 1$ die Koordinaten $F (x | y | 1)$ .
Die Gerade durch die Punkte $B$ und $S_{k}$ hat die Gleichung:
$g_{B S_{k}} : \vec{x} = \vec{O B} + r \cdot \vec{B S_{k}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ k \end{array})$
Der Punkt $F$ liegt auf dieser Geraden:
$\Rightarrow (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ k \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ y \\ 1 \end{array})$
Aus Gleichung $(I I I)$ folgt dann $r = \frac{1}{k}$ .
$r = \frac{1}{k}$ eingesetzt liefert die x- und y-Koordinaten: $x = 2 - \frac{1}{k}$ und $y = \frac{1}{k}$ .
Damit hat der Punkt $F$ die Koordinaten $F (2 - \frac{1}{k} | \frac{1}{k} | 1)$ .
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Der Punkt $F$ hat wegen $z = 1$ die Koordinaten $F (x | y | 1)$ .
Erstelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte $B$ und $S_{k}$ .
Setze in die Geradengleichung die Koordinaten von $F$ ein.
Bestimmen Sie diejenigen Werte von $k$ , für die das Verhältnis des Volumens der Pyramide $E_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T$ zum Volumen der Pyramide $A B C D S_{k} \frac{1}{8}$ beträgt. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz (Vierstreckensatz)
Verhältnis des Volumens der Pyramide $E_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T$ zum Volumen der Pyramide $A B C D S_{k}$
Das Pyramidenvolumen ist $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ .
Die Dreiecke $A B S_{k}$ und $E_{k} F_{k} S_{k}$ sind ähnlich.
$S_{k}$ hat die z-Koordinate $z = k$ .
Ein Punkt im Viereck $E_{k} F_{k} G_{k} H_{k}$ hat die z-Koordinate $z = 1$ .
Dann gilt mit dem Strahlensatz:
$\Rightarrow \frac{| E_{k} F_{K} |}{| A B |} = \frac{k - 1}{k}$
Das Verhältnis der beiden Pyramidenvolumina soll $\frac{1}{8}$ betragen:
$\frac{V_{E_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T}}{V_{A B C D S_{k}}} = \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{\frac{1}{3} \cdot | E_{k} F_{K} |^{2} \cdot 1}{\frac{1}{3} \cdot | A B |^{2} \cdot k} = \frac{1}{8} \Rightarrow {(\frac{| E_{k} F_{K} |}{| A B |})}^{2} \cdot \frac{1}{k} = \frac{1}{8}$
Nach Kürzen mit $\frac{1}{3}$ und Einsetzen von $\frac{| E_{k} F_{K} |}{| A B |} = \frac{k - 1}{k}$ folgt:
${(\frac{k - 1}{k})}^{2} \cdot \frac{1}{k} = \frac{1}{8}$
Der GTR liefert die Lösungen $k_{1} \approx 0,764$ , $k_{2} = 2$ und $k_{3} \approx 5,24$ erhalten.
Die Lösung $k_{1}$ entfällt, da $k > 1$ sein muss.
Für $k = 2$ oder $k \approx 5,24$ beträgt das Verhältnis der beiden Pyramidenvolumina $\frac{1}{8}$ .
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Es soll gelten: $\frac{V_{E_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T}}{V_{A B C D S_{k}}} = \frac{1}{8}$
Die Dreiecke $A B S_{k}$ und $E_{k} F_{k} S_{k}$ sind ähnlich.
$S_{k}$ hat die z-Koordinate $z = k$ und ein Punkt im Viereck $E_{k} F_{k} G_{k} H_{k}$ hat die z-Koordinate $z = 1$ .
Wende den Strahlensatz auf die Seiten $E_{k} F_{K}$ und $A B$ an.
Das Volumenverhältnis liefert dann eine Gleichung für $k$ .

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das?

$\cos 60^{\circ}$	$=$	$\frac{\| (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ k \\ - 1 \end{array}) \|}{1 \cdot \sqrt{k^{2} + 1}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und den $\cos 60^{\circ}$ .
$0,5$	$=$	$\frac{\| - 1 \|}{1 \cdot \sqrt{k^{2} + 1}}$
	↓	Berechne den Betrag.
$0,5$	$=$	$\frac{1}{\sqrt{k^{2} + 1}}$

Aufgabe 3A

Inhalt der Oberfläche der Pyramide ABCDSk

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Koordinaten des Spiegelpunktes Sk'

Abstand von Sk zu Sk′ beträgt 6

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Gleichung von L in Koordinatenform

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Größe von k

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Das Dreieck BSkD soll rechtwinklig sein

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Die x - und die y-Koordinate von Fk

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Verhältnis des Volumens der Pyramide EkFkGkHkT zum Volumen der Pyramide ABCDSk

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Inhalt der Oberfläche der Pyramide $A B C D S_{k}$

Koordinaten des Spiegelpunktes $S_{k}$ '

Abstand von $S_{k}$ zu $S_{k}^{'}$ beträgt 6

Gleichung von $L$ in Koordinatenform

Größe von $k$

Das Dreieck $B S_{k} D$ soll rechtwinklig sein

Die $x$ - und die $y$ -Koordinate von $F_{k}$

Verhältnis des Volumens der Pyramide $E_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T$ zum Volumen der Pyramide $A B C D S_{k}$