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Aufgabe 1C

Bild

Ein ICE fährt bis 15: 00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15: 00 Uhr bis 15: 02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15: 02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit.

Die Geschwindigkeit von 15: 00 Uhr bis 15: 02 Uhr wird mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit f(x)=30x390x2+240f(x)=30 x^{3}-90 x^{2}+240 beschrieben.

Dabei ist xx die seit 15: 00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und f(x)f(x) die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde. Abbildung 1 veranschaulicht den Sachverhalt.

  1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, die der ICE eine halbe Minute nach 15: 00 Uhr hat.

    Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit in der ersten halben Minute nach 15: 00 Uhr um einen kleineren Betrag abnimmt als in der darauf folgenden halben Minute. (4 BE)

  2. Bestimmen Sie die Länge des Zeitraumes, in dem die Geschwindigkeit höchstens 200 aber mindestens 150 Kilometer pro Stunde beträgt. (3 BE)

  3. Geben Sie mögliche Werte x1x_{1} und x2x_{2} an, sodass gilt: f(x1)=f(x2)f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right). Deuten Sie die Aussage f(x1)=f(x2)f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right) im Sachzusammenhang. (3 BE)

  4. Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt.

    (3 BE)

  5. Bestimmen Sie einen Zeitraum, der frühestens um 14:59 Uhr beginnt und spätestens um 15: 03 Uhr endet, in dem der ICE eine Strecke mit einer Länge von genau 7 km7 \mathrm{~km} zurücklegt.

    (5 BE)

  6. Untersuchen Sie, ob folgende Aussage richtig ist: (6 BE)

    Wenn sich die Abnahme der Geschwindigkeit von 15: 01 Uhr an nicht mehr verändern würde, dann käme der ICE von diesem Zeitpunkt an nach drei Kilometern zum Stehen.

  7. Betrachtet wird die in R\mathbb{R} definierte Funktion ss mit s(x)=asin(bx)+cs(x)=a \cdot \sin (b \cdot x)+c mit a,b,cRa, b, c \in \mathbb{R}.

    Die Punkte E1(21)E_{1}(-2 \mid-1) und E2(23)E_{2}(2 \mid 3) sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von ss.

    Bestimmen Sie die passenden Werte von a,ba, b und cc. (5 BE)

    [Zur Kontrolle: a=2,b=π4,c=1a=2, b=\frac{\pi}{4}, c=1 ]

  8. Bild

    Berechnen Sie den Wert des Terms 22s(x)  dx\displaystyle\int_{-2}^{2} s(x)\; d x. Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 2, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann. (6 BE)

  9. Die Punkte des Graphen von ss mit der yy-Koordinate 1 sind die Wendepunkte des Graphen. Die xx-Koordinate der Wendepunkte ist ganzzahlig und ein Vielfaches von 4. Die Steigung des Graphen von ss in jedem seiner Wendepunkte ist entweder π2-\frac{\pi}{2} oder +π2+\frac{\pi}{2}.

    Für jeden Wendepunkt des Graphen von ss wird die Gerade betrachtet, die durch diesen Wendepunkt und den Punkt P(20222022)P(2022 \mid 2022) verläuft.

    Untersuchen Sie, ob eine dieser Geraden im jeweiligen Wendepunkt Tangente an den

    Graphen von ss ist. (5 BE)