Aufgabe 3C
Der in der Abbildung gezeigte Körper stellt einen massiven Betonkörper dar, das Rechteck dessen Deckseite. Alle Außenflächen des Körpers sind eben.
An der durch die Strecke dargestellten Oberkante des Betonkörpers ist eine Informationskarte befestigt. Die Karte kann entlang der Kante umgeklappt werden. Liegt die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers auf, schließt sie bündig mit den Kanten der Deckseite ab. Die Dicke der Karte soll im Folgenden vernachlässigt werden.
Gegeben sind die Punkte , und .
Es gilt:
Im verwendeten Koordinatensystem stellt die -Ebene den horizontalen Boden dar, auf dem der Betonkörper befestigt ist. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht in der Realität.
Zeigen Sie, dass die Kanten und parallel sind, und prüfen Sie, ob das Viereck im Punkt einen rechten Winkel hat. (3 BE)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene, in der das Rechteck liegt, in Koordinatenform. (3 BE)
[Zur Kontrolle:
Auf den Betonkörper treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Der Richtungsvektor dieser Geraden ist .
Die Karte wird so positioniert, dass sie vertikal steht (vgl. Abbildung). Durch den Eckpunkt wird ein Schattenpunkt auf der Deckseite des Betonkörpers erzeugt.
Ermitteln Sie die Koordinaten von .
(6 BE)
Mit Ausnahme der Position, die in der Teilaufgabe c) betrachtet wurde, können alle
Positionen der Karte jeweils durch eine der Ebenen mit beschrieben werden.
Ermitteln Sie denjenigen Wert von , für den die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers liegt. (3 BE)
Geben Sie die Bedeutung der Lösung der Gleichung bezüglich der Position der Karte zum Sonnenlicht an.
Beschreiben Sie für diese Position den durch die Karte auf die Deckseite fallenden Schatten. (5 BE)
Liegt die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers, wird einer ihrer Eckpunkte durch dargestellt. Dieser Eckpunkt nimmt während des Umklappens verschiedene Positionen ein. Zwei dieser Positionen werden durch und mit beschrieben, wobei gilt.
Begründen Sie, ohne zu rechnen, dass die Strecken und einen doppelt so großen Winkel einschließen wie die Strecken und , und veranschaulichen Sie Ihre Begründung durch eine geeignet beschriftete Skizze. (5 BE)