Wahlteil 1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

FSME ist eine Viruserkrankung, die durch Zecken übertragen wird. Eine Impfung kann vor einem schweren Verlauf der Erkrankung schützen.

Im Jahr 2020 wurde bei 712 Personen eine FSME-Infektion festgestellt. Davon waren 142 geimpft.

Von den geimpften Personen hatten 4 einen schweren Verlauf.

$70 \%$ der Ungeimpften hatten einen milden Verlauf.

Bestätige durch eine Rechnung, dass von den Infizierten ca. $20 \%$ geimpft waren. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozent
Lösung
712 Personen sind infiziert worden. 142 davon waren geimpft. Der Anteil ist also:
$\dfrac{142}{712}=0{,}19943...\approx19{,}94~\%$
Damit sind etwa $20~\%$ der Infizierten geimpft.
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Bestimme den Anteil der geimpften Personen von den infizierten Personen.
Rechne diesen Anteil in $\%$ um.
Vervollständige die Vierfeldertafel. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Lösung
Die blauen Werte folgen direkt aus der Aufgabenstellung.
Alle anderen Werte müssen berechnet werden.
Die Angabe, dass $70~\%$ der ungeimpften Personen einen milden Verlauf hatten führt zur Rechnung: $570\cdot 0{,}7=399$
Ausgefüllte Vierfeldertafel
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Trage die Werte aus der Aufgabenstellung in die Vierfeldertafel ein.
Berechne die fehlenden Werte, indem du die Summen in den Zeilen und Spalten untersuchst.
Von den 712 Infizierten wird eine Person zufällig ausgewählt.
Im Baumdiagramm in Teilaufgabe (d) ist bereits der Wert $\frac{142}{712}$ eingetragen.
Gib die Bedeutung des Werts im Sachzusammenhang an. (2 BE)
Lösung
Die 142 Personen sind die geimpften Personen. Der Wert $\dfrac{142}{712}$ gibt also die Wahrscheinlichkeit an, von allen Personen eine geimpfte Person auszuwählen.
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Verwende die ausgefüllte Vierfeldertafel aus Teilaufgabe (b).
Untersuche, welche Eigenschaft auf die Personengruppe mit 142 Personen zutrifft.
Trage die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in das Baumdiagramm ein. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
Lösung
Lösung
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Verwende die ausgefüllte Vierfeldertafel. Trage in das Baumdiagramm die relativen Anteile ein.
Achte darauf, dass in der zweiten Stufe des Baumdiagramms der relative Anteil auf die geimpfte Gruppe (142) und ungeimpfte Gruppe (570) bezogen sein muss.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die zufällig ausgewählte Person geimpft ist und einen milden Verlauf hat. Gib deine Lösung auch in Prozent an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Lösung
Es gibt 138 Personen, die geimpft sind und einen milden Krankheitsverlauf haben.
Es gibt 712 Personen insgesamt.
Die Wahrscheinlichkeit ist damit: $p=\dfrac{138}{712}= 0{,}19382...\approx 19{,}38~\%$
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Verwende die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe (b).
Bestimme den relativen Anteil der Personen "geimpft & milder Krankheitsverlauf" im Verhältnis zu allen Personen
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die zufällig ausgewählte Person einen milden Verlauf hat. Gib deine Lösung auch in Prozent an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Lösung
Es gibt 537 Personen, die einen milden Verlauf haben.
Es gibt 712 Personen insgesamt.
Die Wahrscheinlichkeit ist damit: $p=\dfrac{537}{712}= 0{,}75421...\approx 75{,}42~\%$
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Verwende die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe (b).
Bestimme den relativen Anteil der Personen mit mildem Krankheitsverlauf im Verhältnis zu allen Personen.
Eine Person mit schwerem Verlauf wird zufällig ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Person geimpft ist. Gib deine Lösung auch in Prozent an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Lösung
Es gibt 4 Personen mit "geimpft & schwerer Krankheitsverlauf "
Es gibt 175 Personen mit einem schweren Krankheitsverlauf .
Die Wahrscheinlichkeit ist damit: $p=\dfrac{4}{175}= 0{,}02285...\approx 2{,}29~\%$
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Verwende die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe (b).
Bestimme den relativen Anteil der Personen "geimpft & schwerer Krankheitsverlauf " im Verhältnis zu allen Personen mit schwerem Krankheitsverlauf .
Hanke möchte zum Campen ins Emsland fahren. Das Emsland ist ein FSME-Risikogebiet.
Bei $5 \%$ der Zeckenbisse wird die Person infiziert. Hanke überlegt, ob er sich impfen lässt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Hanke nicht infiziert wird, falls er von zwei Zecken gebissen wird. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Lösung
Laut Aufgabenstellung gilt: $P("\text{nicht infiziert}")=1-0{,}05=0{,}95$
Die Wahrscheinlichkeit bei zwei Bissen nicht infiziert zu werden ist damit:
$P("\text{2 mal nicht infiziert}")=0{,}95\cdot 0{,}95=0{,}9025=90{,}25~\%$
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Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Hanke bei einem Biss nicht infiziert wird.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei Bisse hintereinander. Diese Wahrscheinlichkeit ist das Produkt der einzelnen Werte.
Für den Fall, dass Hanke von vier Zecken gebissen wird, rechnet er:
$\begin{gathered}1-0{,}95^{4} \approx 0{,}185 \\\\0{,}185 \cdot \frac{171}{570} \approx 0{,}0555\end{gathered}$
Hanke sagt: „Wenn ich als Ungeimpfter von vier Zecken gebissen werde, beträgt die Wahrscheinlichkeit, schwer zu erkranken, $5{,}55\%$ ."
Erkläre, wie Hanke mithilfe seiner Rechnungen zu der Aussage kommt. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Lösung
Der Term $1-0{,}95^{4}$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei vier Zeckenbissen zu erkranken.
$\frac{171}{570}$ beschreibt den Anteil der ungeimpften Personen mit schwerem Verlauf.
Mit dem Produkt berechnet Hanke die Wahrscheinlichkeit, dass beides zutrifft:
Bei vier Zeckenbissen zu erkranken
und als ungeimpfte Personen einen schweren Krankheitsverlauf zu haben.
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Interpretiere, was Hanke mit dem Term $1-0{,}95^{4}$ berechnet.
Interpretiere, wofür der Term $\frac{171}{570}$ steht.
Interpretiere im letzten Schritt, was Hanke mit dem Produkt der beiden Terme berechnet.

Aufgabe 5

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