Teil 2, Analysis 1 - lernen mit Serlo!

Während das Bundesamt für Naturschutz seit $20$ Jahren die Ausbreitung von Wölfen in Deutschland fördert, fordern u.a. Weidetierhalter und Jäger zunehmend eine Aufhebung des Abschussverbots von Wölfen. Um über die eventuelle Aufhebung dieses Verbots zu entscheiden, soll die Entwicklung der Anzahl der Wolfsrudel in Deutschland modelliert werden. Die Entwicklung seit dem Jahr $2008$ lässt sich näherungsweise durch die Funktion $N$ mit der Funktionsgleichung $N(t)=N_0\cdot e^{c\cdot t}$ mit $t, N_0, c\in \R$ und $t\geq 0, N_0>0, c>0$ darstellen. Der Funktionswert von $N$ gibt die Anzahl der Wolfsrudel in Deutschland zum Zeitpunkt $t$ an. Dabei steht $t$ für die seit Ende des Jahres $2008$ $(t_{0} = 0)$ vergangene Zeit in Jahren. Ende des Jahres $2013$ wurden $18$ Wolfsrudel in Deutschland gezählt, Ende $2017$ lag die Zahl der Wolfsrudel bereits bei $60$ .

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $N_{0}$ und c der Funktion $N$ . Runden Sie $N_{0}$ ganzzahlig und $c$ auf drei Nachkommastellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem

Aufstellen der Gleichungen

Du kannst aus der Aufgabenstellung durch Einsetzen in $N (t)$ zwei Gleichungen ablesen:

I) $N(5)=N_0\cdot e^{c\cdot5}=18$

II) $N(9)=N_0\cdot e^{c\cdot9}=60$

Multipliziert man die erste Gleichung mit $\frac{10}{3}$ , erhält man folgende Gleichung:

I) $\frac{10}{3}\cdot N_0\cdot e^{c\cdot5}=60$

Gleichungssystem lösen

Jetzt kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen:

III) $\frac{10}{3}\cdot N_0\cdot e^{c\cdot5}=N_0\cdot e^{c\cdot9}$

$\displaystyle \frac{10}{3}\cdot N_0\cdot e^{c\cdot5}$	$=$	$\displaystyle N_0\cdot e^{c\cdot9}$	$\displaystyle :N_0$
$\displaystyle \frac{10}{3}\cdot e^{c\cdot5}$	$=$	$\displaystyle e^{c\cdot 9}$	$\displaystyle :e^{c\cdot5}$
	↓	Potenzgesetze
$\displaystyle \frac{10}{3}$	$=$	$\displaystyle e^{c\cdot4}$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln(\frac{10}{3})$	$=$	$\displaystyle c\cdot4$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \frac{\ln(\frac{10}{3})}{4}$	$=$	$\displaystyle c$
	↓	berechnen und auf drei Nachkommastellen runden
$\displaystyle 0{,}301$	$\approx ≈$	$\displaystyle c$

Jetzt kann man $c$ in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen und somit $N_{0}$ bestimmen:

$\displaystyle N_0\cdot e^{c\cdot5}$	$=$	$\displaystyle 18$
	↓	$c\approx0{,}301$ einsetzen
$\displaystyle N_0\cdot e^{0{,}301\cdot5}$	$=$	$\displaystyle 18$
$\displaystyle N_0\cdot e^{1{,}505}$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle :e^{1{,}505}$
$\displaystyle N_0$	$=$	$\displaystyle \frac{18}{e^{1{,}505}}$
	↓	berechnen und auf ganze Zahl runden
$\displaystyle N_0$	$\approx ≈$	$\displaystyle 4$

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Im Folgenden gilt $N(t)=4\cdot e^{0{,}301t}$

Das Bundesamt für Naturschutz geht davon aus, dass Deutschland maximal Lebensraum für $440$ Rudel bieten kann. Berechnen Sie, in welchem Jahr die Anzahl der Wolfsrudel laut dem Modell aus 2.0 voraussichtlich diesen Wert erreicht.

Geben Sie die Funktionsgleichung der Funktion N in der Form $N(t)=N_0\cdot b^t$ $(b > 0)$ an und folgern Sie daraus die prozentuale Zunahme der Anzahl der Wolfsrudel pro Jahr. Runden Sie b auf drei Nachkommastellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Anwendung der Potenzgesetze
$N(t)=4\cdot e^{0{,}301t}=4\cdot(e^{0{,}301})^t=4\cdot 1{,}351^t$
Zuwachs pro Jahr
Die Anzahl der Wolfsrudel wächst somit jährlich um $1, 351 - 1 = 0, 351 = 35, 1$ %
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Wende die Potenzgesetze für die Basis e an, um die gewünschte Form zu bekommen.
Die prozentuale Zunahme pro Jahr wird durch die Nachkommastellen beschrieben.

Setze den Term mit der gewünschten Anzahl der Wolfsrudel gleich
	↓
$\displaystyle 440$	$=$	$\displaystyle 4\cdot e^{0{,}301t}$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle 110$	$=$	$\displaystyle e^{0{,}301t}$
	↓	Verwende den natürlichen Logaritmus
$\displaystyle \ln\left(110\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}301t$	$\displaystyle :0{,}301$
$\displaystyle t$	$\approx ≈$	$\displaystyle 15{,}62$

Aufstellen der Gleichungen

Gleichungssystem lösen

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Gleichsetzen mit 440

Jahreszahl ermitteln

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Anwendung der Potenzgesetze

Zuwachs pro Jahr

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