Teil 2, Analysis 1

Monotonie und Extremstellen

Bestimme zunächst die erste Ableitung:

$f(x)=-\frac{1}{8}{x}^4+2x^2$

$f^{\prime }(x)=-\mathrm{0,5}{x}^3+4x$

Bestimme nun die Nullstellen der Ableitungsfunktion:

Mit dem Satz vom Nullprodukt erhältst du direkt die erste Nullstelle $x=0$ der Ableitungsfunktion.

Betrachte nun den Term in den Klammern:

Die Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ hat also insgesamt drei Nullstellen: $x_1=0,x_2=-\sqrt{8},x_3=\sqrt{8}$

Da die Vielfachheit aller drei Nullstellen $1$ ist, liegt an allen drei eine Extremstelle vor.

Fertige jetzt die Monotonietabelle an. Du kannst direkt eintragen, dass an den gefundenen Extremstellen $f^{\prime }(x)$ den Wert 0 hat.

Damit hast du die Monotonieintervalle und die Art der Extrempunkte.

Lage der Extrempunkte

Setze die gefundenen Extremstellen von oben in den Term $f(x)=-\frac{1}{8}{x}^4+2x^2$ ein:

$f(-\sqrt{8})=f(\sqrt{8})=-\frac{1}{8}\cdot (\sqrt{8}{)}^4+2\cdot (\sqrt{8}{)}^2=8$

$f(0)=-\frac{1}{8}\cdot 0^4+2\cdot 0^2=0$

Die Extrempunkte sind also ${\text{HOP}}_1(-\sqrt{8}|8),\text{ TIP}(0|0),{\text{ HOP}}_2(\sqrt{8}|8)$

Wertemenge der Funktion

$f$ ist eine ganzrationale Funktion vom Grad $4$ mit negativem Leitkoeffizienten.

Deshalb gilt für den Globalverlauf, also das Verhalten im Unendlichen:

$${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=-\infty }$$

Der größte Funktionswert, den die Funktion annimmt, ist also die y-Koordinate der Hochpunkte. Somit ist die Wertemenge:

$W=]-\infty ;8]$

Wendestellen ermitteln

Die Wendestellen sind die Nullstellen der zweiten Ableitung, wobei der Graph der zweiten Ableitung dort das Vorzeichen wechseln muss.

Verwende die Ableitung aus der letzten Teilaufgabe:

$f^{\prime }(x)=-\mathrm{0,5}{x}^3+4x$

Bilde die zweite Ableitung:

$f^{\prime \prime }(x)=-\mathrm{1,5}{x}^2+4$

Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung:

Da die beiden Lösungen $x_1=\sqrt{\frac{8}{3}}$ und $x_2=-\sqrt{\frac{8}{3}}$ beide nur einmal vorkommen, ist die Vielfachheit $1$ und es sind Nullstellen mit Vorzeichenwechsel und somit Wendestellen.

Alternativ kannst du überprüfen, ob $f^{\prime \prime \prime }(x_1)\ne 0$ bzw. $f^{\prime \prime \prime }(x_2)\ne 0$.

Stärkste Zu- oder Abnahme

Damit eine Wendestelle von $G_f$ eine Stelle stärkster Zunahme sein kann, muss der Graph dort überhaupt steigen. Ebenso muss der Graph an einer Stelle stärkster Abnahme fallen.

Ob ein Graph an einer Stelle steigt oder fällt, kannst du mit der Ableitung untersuchen:

$f^{\prime }(-\sqrt{\frac{8}{3}})=-\mathrm{0,5}{(-\sqrt{\frac{8}{3}})}^3+4\cdot (-\sqrt{\frac{8}{3}})\approx -\mathrm{4,35}<0$

Kandidat für eine Stelle stärkster Abnahme.

$f^{\prime }(\sqrt{\frac{8}{3}})=-\mathrm{0,5}{\left(\sqrt{\frac{8}{3}}\right)}^3+4\sqrt{\frac{8}{3}}\approx \mathrm{4,35}>0$

Kandidat für eine Stelle stärkster Zunahme.

Du bist noch nicht am Ziel! Damit es sich um eine Stelle stärkster Zunahme handelt, muss die Steigung dort zugleich maximal sein. Der Graph der Ableitungsfunktion muss dort also einen Hochpunkt besitzen.

Ebenso muss an der Stelle stärkster Abnahme der Graph der Ableitungsfunktion einen Tiefpunkt besitzen.

Übertrage dein Wissen aus der normalen Extrempunktbestimmung:

$G_f$ hat einen Hochpunkt bei $x_E$, wenn $f^{\prime }(x_E)=0$ und $f^{\prime \prime }(x_E)<0$

Also hat $G_{f^{\prime }}$ einen Hochpunkt bei $x_E$, wenn $f^{\prime \prime }(x_E)=0$ und $f^{\prime \prime \prime }(x_E)<0$

Die dritte Ableitung ist:

$f^{\prime \prime \prime }(x)=-3x$

Kandidat für stärkste Zunahme bei $x=\sqrt{\frac{8}{3}}$:

$f^{\prime \prime \prime }\left(\sqrt{\frac{8}{3}}\right)=-3\cdot \sqrt{\frac{8}{3}}<0$ also liegt bei $x=\sqrt{\frac{8}{3}}$ tatsächlich ein Hochpunkt von $G_{f^{\prime }}$ oberhalb der x-Achse und damit eine Stelle stärkster Zunahme von $G_f$.

Du kannst die Rechnung für $x=-\sqrt{\frac{8}{3}}$ wiederholen oder die Symmetrie des Graphen ausnutzen:

Der Graph muss bei $x=-\sqrt{\frac{8}{3}}$ eine Stelle stärkster Abnahme besitzen.

Global stärkste Zu- oder Abnahme

Der Graph hat an diesen Stellen nur Stellen lokal stärkster Zu- bzw. Abnahme, da die Ableitung den Grad $3$ hat und somit die Wertemenge $W_{f^{\prime }}=]-\infty ;\infty [$ ist. Es gibt also an den Rändern unendlich große Werte für die Steigung $f^{\prime }$.

Gleicher Funktionswert

Damit die Gerade den Graphen bei $x=-2$ berühren kann, müssen die beiden Funktionen dort den gleichen Funktionswert haben:

$f(-2)=-\frac{1}{8}\cdot (-2{)}^4+2\cdot (-2{)}^2=6$

und

$g(-2)=-4\cdot (-2)-2=6$

Gleiche Steigung

Wenn sich zwei Graphen berühren, bedeutet das, dass Sie an der Berührstelle die gleiche Steigung haben.

Die Steigung der Geraden kann direkt abgelesen werden: $m_g=-4$

Für die Steigung des Graphen von $G_f$ musst du den x-Wert $x=-2$ in die Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ einsetzen:

$f^{\prime }(-2)=-\frac{1}{2}\cdot (-2{)}^3+4\cdot (-2)=-4$

Somit handelt es sich bei $G_g$ um eine Tangente am Graphen von $G_f$.

Mithilfe einer Wertetabelle oder der Bestimmung der Randwerte $f(4)=f(-4)$ kannst du feststellen, dass im vorgegebenen Zeichenbereich für die Funktionswerte $0\le y\le 8$ gilt. Der Graph sollte, wenn du korrekt gezeichnet hast, so aussehen:

(Den Bereich unter der x-Achse musst du nicht mehr zeichnen.)

Aufstellen der Gleichungen

Du kannst aus der Aufgabenstellung durch Einsetzen in $N(t)$ zwei Gleichungen ablesen:

I) $N(5)=N_0\cdot e^{c\cdot 5}=18$

II) $N(9)=N_0\cdot e^{c\cdot 9}=60$

Multipliziert man die erste Gleichung mit $\frac{10}{3}$, erhält man folgende Gleichung:

I) $\frac{10}{3}\cdot N_0\cdot e^{c\cdot 5}=60$

Gleichungssystem lösen

Jetzt kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen:

III) $\frac{10}{3}\cdot N_0\cdot e^{c\cdot 5}=N_0\cdot e^{c\cdot 9}$

Jetzt kann man $c$ in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen und somit $N_0$ bestimmen:

Gleichsetzen mit 440

Jahreszahl ermitteln

Da $t$ für die Zahl der vergangenen Jahre seit $2008$ steht, musst du insgesamt $16$ Jahre weiterzählen:

$2008+16=2024$

Im Jahr $2024$ wird die Zahl der Rudel $440$ erstmals übersteigen.

Anwendung der Potenzgesetze

$N(t)=4\cdot e^{\mathrm{0,301}t}=4\cdot (e^{\mathrm{0,301}}{)}^t=4\cdot {\mathrm{1,351}}^t$

Zuwachs pro Jahr

Die Anzahl der Wolfsrudel wächst somit jährlich um $\mathrm{1,351}-1=\mathrm{0,351}=\mathrm{35,1}\%$.

Volumen von Quader und Halbzylinder

Der Quader, der den unteren Teil des Tropenhauses bildet, hat das Volumen

Der halbe Zylinder, der das Dach des Tropenhauses bildet, hat das Volumen

Hauptbedingung durch Zusammensetzen der Teilkörper

Durch Addition der Volumina ergibt sich das Gesamtvolumen des Tropenhauses. Da dieses maximal sein soll, bildet es die Hauptbedingung oder Zielfunktion des Extremwertproblems:

Um das Volumen nur in Abhängigkeit vom Radius auszudrücken, wie es in der Aufgabe verlangt ist, bedarf es noch einer Nebenbedingung, um $h$ zu eliminieren.

Oberflächeninhalt des Tropenhauses

Aus der Angabe geht hervor, dass $1000{\text{ m}}^2$ Glas für alle Außenwände verwendet werden sollen (über die Sinnhaftigkeit, dass diese Angabe bereits fix ist, obwohl Radius und Höhe noch nicht feststehen, lässt sich streiten).

Für den Oberflächeninhalt gilt:

(Diese Gleichung ist als Kontrollergebnis angegeben.)

Aufgrund der oben erwähnten Glasmenge, die verbaut werden soll, ergibt sich die Gleichung $1000=10rh+4\pi r^2$ als Nebenbedingung.

Angabe der Zielfunktion in Abhängigkeit von r

Forme nun die Nebenbedingung nach $h$ um und setze sie in die Hauptbedingung ein.

Setze $h$ in die Hauptbedingung ein:

Als Funktion $V:r\mapsto V\left(r\right)$ ergibt sich also:

$V\left(r\right)=600r-\mathrm{0,9}\pi r^3$

(Dieser Term ist als Kontrollergebnis gegeben.)

Definitionsmenge von V

Aus dem Angabentext kannst du entnehmen, dass der Radius mindestens $4\text{ m}$ und maximal $\mathrm{8,5}\text{ m}$ groß sein soll. Du musst also zur Angabe der Definitionsmenge keine Überlegungen/Berechnungen durchführen und erhältst direkt:

$D=[4;\mathrm{8,5}]$

Beachte, dass es aufgrund der eingeschlossenen Intervallgrenzen Randextrema gibt.

Kandidaten für Extremstellen mithilfe der 1. Ableitung

Bilde die 1. Ableitung $V^{\prime }\left(r\right)$:

$V^{\prime }\left(r\right)=600-\mathrm{2,7}\pi r^2$

Bestimme die Nullstellen der 1. Ableitung:

Da $r_2\notin D$ muss diese potentielle Extremstelle nicht weiter untersucht werden.

Art der Extremstelle

Du kannst die Art der Extremstelle zum Beispiel mithilfe der 2. Ableitung bestimmen. Alternativ geht es auch über eine Monotonietabelle.

$V^{\prime \prime }\left(r\right)=-\mathrm{5,4}\pi r$

Setze $r_1=\mathrm{8,41}$ in $V^{\prime \prime }$ ein. Du benötigst nur das Vorzeichen der Lösung, nicht den genauen Wert.

$V^{\prime \prime }\left(\mathrm{8,41}\right)=-\mathrm{5,4}\pi \cdot \mathrm{8,41}<0\Rightarrow$ Hochpunkt/Maximum vom Graphen von $V$

Zugehöriges Volumen

Setze deine gefundene Extremstelle in den Term von $V$ ein, um das zugehörige Volumen in Abhängigkeit vom gefundenen Radius zu berechnen:

$V\left(\mathrm{8,41}\right)=600\cdot \mathrm{8,41}-\mathrm{0,9}\cdot \pi \cdot {\left(\mathrm{8,41}\right)}^3\approx \mathrm{3364,18}$

Randextrema

Da die Ränder des Definitionsbereichs selbst in der Definitionsmenge enthalten sind, musst du überprüfen, ob das Volumen dort größer ist als beim gerade berechneten Maximum (suche nach dem globalen Maximum im Definitionsbereich).

$V\left(4\right)\approx \mathrm{2219,04}<V\left(\mathrm{8,41}\right)$ und

$V\left(\mathrm{8,5}\right)\approx \mathrm{3363,60}<V\left(\mathrm{8,41}\right)$ und somit absolutes Maximum bei $\left(\mathrm{8,41}|\mathrm{3364,18}\right)$.

Antwort im Sachkontext

Unter Beachtung der vorhandenen Menge an Glasplatten entsteht das größte Volumen $\mathrm{3364,18}{\text{ m}}^3$, wenn der Radius $\mathrm{8,41}\text{ m}$ beträgt.