Teil 2, Analysis 1
đ PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern
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Die Aufgabenstellungen zum Ausdrucken findest du hier als PDF.
- 1
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph der Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion sowie die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von . Geben Sie die Wertemenge an. (9 BE)
Berechnen Sie die Wendestelle des Graphen von und entscheiden Sie begrĂŒndet, ob es sich dabei um Stellen mit maximaler positiver bzw. maximaler negativer Steigung von handelt oder nicht. (6 BE)
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade Tangente an den Graphen an der Stelle ist. (2 BE)
Zeichnen Sie unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen fĂŒr in ein kartesisches Koordinatensystem. MaĂstab fĂŒr beide Achsen: 1 LE = 1 cm. (4 BE)
- 2
WĂ€hrend das Bundesamt fĂŒr Naturschutz seit Jahren die Ausbreitung von Wölfen in Deutschland fördert, fordern u.a. Weidetierhalter und JĂ€ger zunehmend eine Aufhebung des Abschussverbots von Wölfen. Um ĂŒber die eventuelle Aufhebung dieses Verbots zu entscheiden, soll die Entwicklung der Anzahl der Wolfsrudel in Deutschland modelliert werden. Die Entwicklung seit dem Jahr lĂ€sst sich nĂ€herungsweise durch die Funktion mit der Funktionsgleichung mit und darstellen. Der Funktionswert von gibt die Anzahl der Wolfsrudel in Deutschland zum Zeitpunkt an. Dabei steht fĂŒr die seit Ende des Jahres vergangene Zeit in Jahren. Ende des Jahres wurden Wolfsrudel in Deutschland gezĂ€hlt, Ende lag die Zahl der Wolfsrudel bereits bei .
Bestimmen Sie die Werte der Parameter und c der Funktion . Runden Sie ganzzahlig und auf drei Nachkommastellen.
Im Folgenden gilt
Das Bundesamt fĂŒr Naturschutz geht davon aus, dass Deutschland maximal Lebensraum fĂŒr Rudel bieten kann. Berechnen Sie, in welchem Jahr die Anzahl der Wolfsrudel laut dem Modell aus 2.0 voraussichtlich diesen Wert erreicht.
Geben Sie die Funktionsgleichung der Funktion N in der Form an und folgern Sie daraus die prozentuale Zunahme der Anzahl der Wolfsrudel pro Jahr. Runden Sie b auf drei Nachkommastellen.
- 3
Ein Tiergarten plant den Bau eines Tropenhauses, in dem ein kĂŒnstliches Ăkosystem mit Lebensbedingungen fĂŒr tropische Pflanzen-und Tierarten geschaffen werden soll. Das Tropenhaus soll die Form eines Quaders mit aufgesetztem Halbzylinder bekommen. Der Radius des Halbzylinders wird mit r bezeichnet.
Der Quader hat die Breite 2r, die LÀnge 3rund die Höhe h (siehe Skizze).
Um möglichst ideale klimatische Bedingungen zu schaffen, sollen die AuĂenwĂ€nde des Tropenhauses und das Dach aus Glas bestehen. HierfĂŒr sind 1000 Glas vorgesehen.
Die MaĂzahl des Volumens des Tropenhauses in AbhĂ€ngigkeit vom Radius r des Halb-zylinders lĂ€sst sich durch die Funktionswerte der Funktion beschreiben.
Aus den Baurichtlinien geht hervor, dass der Radius r des Halbzylinders maximal 8,5 m betragen darf. Der Tiergartenbetreiber fordert hierfĂŒr mindestens 4m.
Bei den Berechnungen kann auf das MitfĂŒhren von Einheiten verzichtet werden.
Stellen Sie eine Gleichung [...] der Funktion V auf. Bestimmen Sie dazu vorab die MaĂzahl A des FlĂ€cheninhalts der insgesamt zu verglasenden OberflĂ€che des Tropenhauses in AbhĂ€ngigkeit des Radius des Halbzylinders und der Höhe des Quaders.
(Mögliche Ergebnisse: und )
Um den Pflanzen und Tieren möglichst viel Lebensraum zur VerfĂŒgung zu stellen, soll das Tropenhaus maximalen Rauminhalt besitzen.
Bestimmen Sie den Radius r so, dass die MaĂzahl des Volumens des Tropenhauses den absolut gröĂten Wert annimmt und geben Sie diesen maximalen Wert an. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.
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