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Teil 2, Analysis 1

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellungen zum Ausdrucken findest du hier als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x↩−18x4+2x2f:x\mapsto -\frac 1 8 x^4+2x^2 mit der Definitionsmenge Df=RD_f=\mathbb R. Der Graph der Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit GfG_f bezeichnet.

    1. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion ff sowie die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von GfG_f. Geben Sie die Wertemenge WfW_f an. (9 BE)

    2. Berechnen Sie die Wendestelle des Graphen von ff und entscheiden Sie begrĂŒndet, ob es sich dabei um Stellen mit maximaler positiver bzw. maximaler negativer Steigung von GfG_f handelt oder nicht. (6 BE)

    3. Gegeben ist die Funktion g:x↩−4x−2g:x\mapsto -4x-2 mit der Definitionsmenge Dg=RD_g=\mathbb R. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade GgG_g Tangente an den Graphen GfG_f an der Stelle x=−2x=-2 ist. (2 BE)

    4. Zeichnen Sie unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen GfG_f fĂŒr −4≀x≀4-4\leq x\leq 4 in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab fĂŒr beide Achsen: 1 LE = 1 cm. (4 BE)

  2. 2

    WĂ€hrend das Bundesamt fĂŒr Naturschutz seit 20 Jahren die Ausbreitung von Wölfen in Deutschland fördert, fordern u.a. Weidetierhalter und JĂ€ger zunehmend eine Aufhebung des Abschussverbots von Wölfen. Um ĂŒber die eventuelle Aufhebung dieses Verbots zu entscheiden, soll die Entwicklung der Anzahl der Wolfsrudel in Deutschland modelliert werden. Die Entwicklung seit dem Jahr 2008 lĂ€sst sich nĂ€herungsweise durch die Funktion NN mit der Funktionsgleichung N(t)=N0⋅ec⋅tN(t)=N_0\cdot e^{c\cdot t} mit t,N0,c∈Rt, N_0, c\in \R und t≄0,N0>0,c>0t\geq 0, N_0>0, c>0 darstellen. Der Funktionswert von NN gibt die Anzahl der Wolfsrudel in Deutschland zum Zeitpunkt tt an. Dabei steht tt fĂŒr die seit Ende des Jahres 20082008 (t0=0)(t_0=0) vergangene Zeit in Jahren. Ende des Jahres 20132013 wurden 1818 Wolfsrudel in Deutschland gezĂ€hlt, Ende 20172017 lag die Zahl der Wolfsrudel bereits bei 6060.

    1. Bestimmen Sie die Werte der Parameter N0N_0 und c der Funktion N. Runden Sie N0N_0 ganzzahlig und c auf drei Nachkommastellen.

    2. Im Folgenden gilt N(t)=4⋅e0,301tN(t)=4\cdot e^{0{,}301t}

      Das Bundesamt fĂŒr Naturschutz geht davon aus, dass Deutschland maximal Lebensraum fĂŒr 440 Rudel bieten kann. Berechnen Sie, in welchem Jahr die Anzahl der Wolfsrudel laut dem Modell aus 2.0 voraussichtlich diesen Wert erreicht.

    3. Geben Sie die Funktionsgleichung der Funktion N in der Form N(t)=N0⋅btN(t)=N_0\cdot b^t (b>0) an und folgern Sie daraus die prozentuale Zunahme der Anzahl der Wolfsrudel pro Jahr. Runden Sie b auf drei Nachkommastellen.

    4. Bestimmen Sie die Werte der Parameter N0N_0 und c der Funktion N. Runden Sie N0N_0 ganzzahlig und c auf drei Nachkommastellen.

    5. Im Folgenden gilt N(t)=4⋅e0,301tN(t)=4\cdot e^{0{,}301t}

      Das Bundesamt fĂŒr Naturschutz geht davon aus, dass Deutschland maximal Lebensraum fĂŒr 440 Rudel bieten kann. Berechnen Sie, in welchem Jahr die Anzahl der Wolfsrudel laut dem Modell aus 2.0 voraussichtlich diesen Wert erreicht.

    6. Geben Sie die Funktionsgleichung der Funktion N in der Form N(t)=N0⋅btN(t)=N_0\cdot b^t (b>0) an und folgern Sie daraus die prozentuale Zunahme der Anzahl der Wolfsrudel pro Jahr. Runden Sie b auf drei Nachkommastellen.

  3. 3

    Ein Tiergarten plant den Bau eines Tropenhauses, in dem ein kĂŒnstliches Ökosystem mit Lebensbedingungen fĂŒr tropische Pflanzen-und Tierarten geschaffen werden soll. Das Tropenhaus soll die Form eines Quaders mit aufgesetztem Halbzylinder bekommen. Der Radius des Halbzylinders wird mit r bezeichnet.

    Der Quader hat die Breite 2r, die LÀnge 3rund die Höhe h (siehe Skizze).

    Um möglichst ideale klimatische Bedingungen zu schaffen, sollen die AußenwĂ€nde des Tropenhauses und das Dach aus Glas bestehen. HierfĂŒr sind 1000 m2 m^{2\ }Glas vorgesehen.

    Die Maßzahl des Volumens des Tropenhauses in AbhĂ€ngigkeit vom Radius r des Halb-zylinders lĂ€sst sich durch die Funktionswerte der Funktion V:r↩V(r)V:r\mapsto V\left(r\right) beschreiben.

    Aus den Baurichtlinien geht hervor, dass der Radius r des Halbzylinders maximal 8,5 m betragen darf. Der Tiergartenbetreiber fordert hierfĂŒr mindestens 4m.

    Bei den Berechnungen kann auf das MitfĂŒhren von Einheiten verzichtet werden.

    Tropenhaus aus AbiturprĂŒfung FOS Bayern 2022 Analysis I Teil 2 Aufgabe 3
    1. Stellen Sie eine Gleichung [...] der Funktion V auf. Bestimmen Sie dazu vorab die Maßzahl A des FlĂ€cheninhalts der insgesamt zu verglasenden OberflĂ€che des Tropenhauses in AbhĂ€ngigkeit des Radius des Halbzylinders und der Höhe des Quaders.

      (Mögliche Ergebnisse: A(r,h)=10rh+4πr2A\left(r,h\right)=10rh+4\pi r^2 und V(r)=600r−0,9πr3 V\left(r\right)=600r-0{,}9\pi r^{3\ })

    2. Um den Pflanzen und Tieren möglichst viel Lebensraum zur VerfĂŒgung zu stellen, soll das Tropenhaus maximalen Rauminhalt besitzen.

      Bestimmen Sie den Radius r so, dass die Maßzahl des Volumens des Tropenhauses den absolut grĂ¶ĂŸten Wert annimmt und geben Sie diesen maximalen Wert an. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.


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