Teil 2, Analysis 1 - lernen mit Serlo!

Ein Tiergarten plant den Bau eines Tropenhauses, in dem ein künstliches Ökosystem mit Lebensbedingungen für tropische Pflanzen-und Tierarten geschaffen werden soll. Das Tropenhaus soll die Form eines Quaders mit aufgesetztem Halbzylinder bekommen. Der Radius des Halbzylinders wird mit r bezeichnet.

Der Quader hat die Breite 2r, die Länge 3rund die Höhe h (siehe Skizze).

Um möglichst ideale klimatische Bedingungen zu schaffen, sollen die Außenwände des Tropenhauses und das Dach aus Glas bestehen. Hierfür sind 1000 $m^{2\ }$ Glas vorgesehen.

Die Maßzahl des Volumens des Tropenhauses in Abhängigkeit vom Radius r des Halb-zylinders lässt sich durch die Funktionswerte der Funktion $V:r\mapsto V\left(r\right)$ beschreiben.

Aus den Baurichtlinien geht hervor, dass der Radius r des Halbzylinders maximal 8,5 m betragen darf. Der Tiergartenbetreiber fordert hierfür mindestens 4m.

Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

Tropenhaus aus Abiturprüfung FOS Bayern 2022 Analysis I Teil 2 Aufgabe 3

Stellen Sie eine Gleichung [...] der Funktion V auf. Bestimmen Sie dazu vorab die Maßzahl A des Flächeninhalts der insgesamt zu verglasenden Oberfläche des Tropenhauses in Abhängigkeit des Radius des Halbzylinders und der Höhe des Quaders.

(Mögliche Ergebnisse: $A\left(r,h\right)=10rh+4\pi r^2$ und $V\left(r\right)=600r-0{,}9\pi r^{3\ }$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe

Volumen von Quader und Halbzylinder

Der Quader, der den unteren Teil des Tropenhauses bildet, hat das Volumen

Allgemeiner Term
	↓
$\displaystyle V_Q$	$=$	$\displaystyle l\cdot b\cdot h$
	↓	Anpassung auf die Situation (Angaben aus Text und Skizze)
$\displaystyle V_Q$	$=$	$\displaystyle 2r\cdot3r\cdot h$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle V_Q$	$=$	$\displaystyle 6r^2h$

Der halbe Zylinder, der das Dach des Tropenhauses bildet, hat das Volumen

Allgemeiner Term: Hälfte vom Zylindervolumen
	↓
$\displaystyle V_{HZ}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot V_Z$
$\displaystyle V_{HZ}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot r^2\pi\cdot h$
	↓	Anpassung auf die Situation (Angaben aus Text und Skizze)
$\displaystyle V_{HZ}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot r^2\pi\cdot3r$
$\displaystyle V_{HZ}$	$=$	$\displaystyle 1{,}5r^3\pi$

Hauptbedingung durch Zusammensetzen der Teilkörper

Durch Addition der Volumina ergibt sich das Gesamtvolumen des Tropenhauses. Da dieses maximal sein soll, bildet es die Hauptbedingung oder Zielfunktion des Extremwertproblems:

$\displaystyle V_{Gesamt}$	$=$	$\displaystyle V_Q+V_{HZ}$
	$=$	$\displaystyle 6r^2h+1{,}5r^3\pi$

Um das Volumen nur in Abhängigkeit vom Radius auszudrücken, wie es in der Aufgabe verlangt ist, bedarf es noch einer Nebenbedingung um h zu eliminieren.

Oberflächeninhalt des Tropenhauses

Aus der Angabe geht hervor, dass $1000m^2$ Glas für alle Außenwände verwendet werden sollen

(über die Sinnhaftigkeit, dass diese Angabe bereits fix ist, obwohl Radius und Höhe noch nicht feststehen, lässt sich streiten).

Für den Oberflächeninhalt gilt:

Also:

$\displaystyle A_{Tropenhaus}$	$=$	$\displaystyle \text{\color{red} rechteckige Seitenwände des Quaders}+{\color{blue} 2\cdot \text{Halbkreis bei Dach}}+{\color{orange} \frac 1 2\cdot \text{Mantelfläche des Zylinders, der das Dach bildet.}}$
	↓	Mit den Formeln von Rechteck, Kreis und Mantelfläche des Zylinders ergibt sich in der Situation:
$\displaystyle A_{Tropenhaus}$	$=$	$\displaystyle {\color{red}2r\cdot h\cdot2+3r\cdot h\cdot2} +{\color{blue} 2\cdot\frac{1}{2}\cdot r^2\pi} +{\color{orange} \frac{1}{2}\cdot2r\pi\cdot3r}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle A_{Tropenhaus}$	$=$	$\displaystyle 10rh+4\pi r^2$

(Diese Gleichung ist als Kontrollergebnis angegeben.)

Aufgrund der oben erwähnten Glasmenge, die verbaut werden soll, ergibt sich die Gleichung $1000=10rh+4\pi r^2$ als Nebenbedingung.

Angabe der Zielfunktion in Abhängigkeit von r

Forme nun die Nebenbedingung nach h um und setze sie in die Hauptbedingung ein.

$\displaystyle 1000$	$=$	$\displaystyle 10rh+4\pi r^2$	$\displaystyle -4\pi r^2$
$\displaystyle 1000-4\pi r^2$	$=$	$\displaystyle 10hr$	$\displaystyle :10r$
$\displaystyle \frac{1000-4\pi r^2}{10r}$	$=$	$\displaystyle h$

Setze h in die Hauptbedingung ein:

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle 6r^2\cdot {\color{green}h}+1{,}5r^3\pi$
	↓	Ersetze durch den linken Teil der obigen Gleichung
	$=$	$\displaystyle 6r^2\cdot{\color{green}\frac{1000-4\pi r^2}{10r}}+1{,}5r^3\pi$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle 600r-2{,}4\pi r^3+1{,}5\pi r^3$
	$=$	$\displaystyle 600r-0{,}9\pi r^3$

Als Funktion $V:r\ \mapsto V\left(r\right)$ ergibt sich also

$V\left(r\right)=600r-0{,}9\pi r^3$

(Dieser Term ist als Kontrollergebnis gegeben)

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Um den Pflanzen und Tieren möglichst viel Lebensraum zur Verfügung zu stellen, soll das Tropenhaus maximalen Rauminhalt besitzen.

Bestimmen Sie den Radius r so, dass die Maßzahl des Volumens des Tropenhauses den absolut größten Wert annimmt und geben Sie diesen maximalen Wert an. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben

Definitionsmenge von V

Aus dem Angabentext kannst du entnehmen, dass der Radius mindestens 4m und maximal 8,5m groß sein soll. Du musst also zur Angabe der Definitionsmenge keine Überlegungen/Berechnungen durchführen und erhältst direkt:

$D=\left[4;8{,}5\right]$

Beachte, dass es aufgrund der eingeschlossenen Intervallgrenzen Randextrema gibt.

Kandidaten für Extremstellen mithilfe der 1. Ableitung

Bilde die 1. Ableitung $V'\left(r\right)$ :

$V'\left(r\right)=600-2{,}7\pi r^2$

Bestimme die Nullstellen der 1. Ableitung:

$\displaystyle V'\left(r\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 600-2{,}7\pi r^2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2{,}7\pi r^2$
$\displaystyle 600$	$=$	$\displaystyle 2{,}7\pi r^2$	$\displaystyle :\left(2{,}7\pi\right)$
$\displaystyle 70{,}74$	$≈$	$\displaystyle r^2$
	↓	Beim Radizieren (Wurzelziehen) ergeben sich zwei Lösungen.
$\displaystyle r_1$	$≈$	$\displaystyle 8{,}41$
$\displaystyle r_2$	$≈$	$\displaystyle -8{,}41$

Da $r_2\notin D$ muss diese potentielle Extremstelle nicht weiter untersucht werden.

Art der Extremstelle

Du kannst die Art der Extremstelle zum Beispiel mithilfe der 2. Ableitung bestimme. Alternativ geht es auch über eine Monotonietabelle.

$V''\left(r\right)=-5{,}4\pi r$

Setze $r_1=8{,}41$ in $V''$ ein. Du benötigst nur das Vorzeichen der Lösung, nicht den genauen Wert

$V''\left(8{,}41\right)=-5{,}4\pi\ \cdot8{,}41<0\ \Rightarrow$ Hochpunkt/Maximum vom Graphen von V

Zugehöriges Volumen

Setze deine gefundene Extremstelle in den Term von V ein um das zugehörige Volumen in Abhängigkeit vom gefundenen Radius zu berechnen:

$V\left(8{,}41\right)=600\cdot8{,}41-0{,}9\cdot\pi\cdot\left(8{,}41\right)^3\approx3364{,}18$

Randextrema

Da die Ränder des Definitionsbereichs selbst in der Definitionsmenge enthalten sind, musst du überprüfen, ob das Volumen dort größer ist als beim gerade berechneten Maximum (=Suche nach dem globalen Maximum im Definitionsbereich).

$V\left(4\right)\approx2219{,}04<\ V\left(8{,}41\right)$ und

$V\left(8{,}5\right)\approx3363{,}60<V\left(8{,}41\right)$ und somit absolutes Maximum bei $\left(8{,}41|3364{,}18\right)$

Antwort im Sachkontext

Unter Beachtung der vorhandenen Menge an Glasplatten entsteht das größte Volumen von $3364{,}18m^3$ , wenn der Radius $8{,}41m$ beträgt.

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