Aufgaben zu Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion

1

Es wird einmal mit zwei Würfeln geworfen, wobei angenommen wird, dass die Würfel beide fair sind. Die Augenzahl beider Würfel wird addiert. Bestimme die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable "Augensumme zweier Würfel"!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion

Um die Verteilungsfunktion $F_{X}$ zu berechnen, berechne zuerst den Ergebnisraum des Zufallsexperimentes und die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Augenzahlen!

k	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P(X=k)	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

Berechne daraus die Verteilungsfunktion durch Addition der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

$F_X(2)=P(X\le2)=P(X=2)=\frac{1}{36}$

$F_X(3)=P(X\le3)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{12}$

$F_X(4)=P(X \leq 4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=\frac{1}{6}$

$F_X(5)=P(X\le5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=\frac{10}{36}$

$F_X(6)=P(X\le6)=P(X=2)+..+P(X=6)=\frac{15}{36}$

$F_X(7)=P(X \leq 7)=P(X=2)+..+P(X=7)=\frac{7}{12}$

$F_X(8)=P(X\le8)=P(X=2)+..+P(X=8)=\frac{26}{36}$

$F_X(9)=P(X\le9)=P(X=2)+..P(X=9)=\frac{5}{6_{ }}$

$F_X(10)=P(X\le10)=P(X=2)+..+P(X=10)=\frac{11}{12}$

$F_X(11)=P(X\le11)=P(X=2)+..+P(X=11)=\frac{35}{36}$

$F_X(12)=P(X\le12)=P(X=2)+..+P(X=12)=1$

Formal schreibt man die Verteilungsfunktion folgendermaßen:

${\mathrm F}_\mathrm X\left(\mathrm k\right)=\begin{cases} 0 \text{ für }\mathrm 2>k \\ \frac{1}{36} \text{ für }\mathrm 2 \leq k < 3 \\ \frac{1}{12} \text{ für } 3 \leq k < 4 \\ \frac{1}{6} \ \text{ für } 4 \leq k <5 \\ \frac{10}{36} \text{ für } 5 \leq k <6 \\ \frac{15}{36} \text{ für } 6 \leq k <7 \\ \frac{7}{12} \text{ für } 7 \leq k <8 \\ \frac{26}{36} \text{ für } 8 \leq k < 9 \\ \frac{5}{6} \text { für } 9 \leq k < 10 \\\frac{11}{12} \text{ für } 10 \leq k <11 \\ \frac{35}{36} \text{ für } 11 \leq k <12 \\ 1 \text { für } k \leq 12\end{cases}$

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2

Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 15 Fragen, mit jeweils 5 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Aufgabe zufällig richtig zu beantworten, ist also 0,2. Die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion sind gegeben durch:

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8
$P(X \leq k)$	0,167	0,398	0,648	0,836	0,939	0,982	0,996	0,999

Berechne:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 5 Aufgaben richtig sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5 Aufgaben richtig beantwortet sind:
$\displaystyle P(X\ge5)=1-P(X\le4)=1-0{,}836=0{,}164.$
Mindestens 5 Aufgaben richtig zu haben, ist das Gegenereignis dazu, höchstens 4 richtig zu haben.
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 6 Aufgaben richtig beantwortet sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion
Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 6 Aufgaben richtig beantwortet sind, kann direkt aus der gegebenen Tabelle abgelesen werden:
$\displaystyle P(X \leq 6)=0{,}982.$
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 15 Aufgaben richtig beantwortet sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 15 Aufgaben richtig sind:
$\displaystyle P(X=15)=\begin{pmatrix}15\\15\end{pmatrix}\cdot0{,}2^{15}\cdot 0{,}8^0\approx3{,}3\cdot10^{-11}$
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwischen 5 und 8 Aufgaben richtig beantwortet sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwischen 5 und 8 Aufgaben richtig sind:
$\displaystyle P(5 \leq X \leq 8)=P( 4 < X \leq 8)=P(X \leq8)-P(X \leq4)=0{,}999-0{,}836=0{,}163.$
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3

Einem Paket mit Gläsern werden 4 Gläser entnommen. Es soll geprüft werden wie viele Gläser schadhaft sind. Man weiß, dass 85% der Gläser eines Paketes in Ordnung sind. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X:"Anzahl der ganzen Gläser unter den entnommenen 4 Gläsern".

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zufallsgrößen

Beachte

Wenn du die Binomialverteilung kennst, kannst sie du direkt mit $n = 4$ , $p = 0,85$ und $k$ von $0$ bis $4$ verwenden.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der ganzen Gläser unter den 4 gezogenen Gläsern, $X$ kann also den Wert $0,1, 2,3$ und $4$ annehmen. Die Gläser werden nicht unterschieden. Ein Glas ist mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0,85$ ganz. Die Wahrscheinlichkeit $P (X = k)$ berechnet sich mit der Formel: $p^k(1-p)^{4-k}$ .

Diese Zahl muss noch mit der Anzahl der Möglichkeiten multipliziert werden. Z. B. kann ein defektes Glas als 1. Glas, als 2. Glas, als 3. Glas oder als 4. Glas gezogen werden, es gibt also hier 4 Möglichkeiten.

Allgemein könnte man die Anzahl der Möglichkeiten $k$ kaputte Gläser aus $n$ gezogenen Gläsern mit dem Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ berechnen.

$P(X=4)=\binom{4}{4}\cdot0{,}85^4\cdot0{,}15^0=1\cdot0{,}85^4\cdot0{,}15^0\approx0{,}5220$

$P(X=3)=\binom{4}{3}\cdot0{,}85^3\cdot0{,}15^1=4\cdot0{,}85^3\cdot0{,}15^1\approx0{,}3685$

$P(X=2)=\binom{4}{2}\cdot0{,}85^2\cdot0{,}15^2=6\cdot0{,}85^2\cdot0{,}15^2\approx0{,}0975$

$P(X=1)=\binom{4}{1}\cdot0{,}85^1\cdot0{,}15^3=4\cdot0{,}85^1\cdot0{,}15^3\approx0{,}0115$

$P(X=0)=\binom{4}{0}\cdot0{,}85^0\cdot0{,}15^4=1\cdot0{,}85^0\cdot0{,}15^4\approx0{,}0005$

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable $X$ sieht also so aus:

$k$	0	1	2	3	4
$P (X = k)$	0,0005	0,0115	0,0975	0,3685	0,5220

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4

In einer Urne befinden sich 5 Kugeln, davon $x$ rote. Man zieht 5 Kugeln mit Zurücklegen. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie viele rote Kugeln gezogen werden.

Berechne $P (X = 3)$ in Abhängigkeit von $x$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit bestimmen
gesucht: $P(X=3) = \dots?$
Weil man mit Zurücklegen zieht, ist die Zufallsgröße $X$ binomialverteilt.
$P(X=3)=B(5,\frac{x}{5},3)$
$\hphantom{P(X=3)}=\binom{5}{3}\cdot\left( \frac{x}{5} \right) ^3\cdot\left(\frac{5-x}{5}\right)^2$
$\hphantom{P(X=5)}=…=2\cdot\displaystyle\frac{x^3\cdot(5-x)^2}{625}$
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Bestimme die Verteilungsfunktion $F_{X} (k)$ für $x = 4$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Ziehen eine rote Kugel zu ziehen.
Bei $x = 4$ folgt $p=\frac45=0{,}8$ .
Bestimme nun die einzelnen Funktionswerte der Verteilungsfunktion.
$F_X(0)=P(X\le 0)=B(5,\frac{4}{5},0)$
$\hphantom{F_X(0)}=\binom50\cdot\left(\frac45\right)^0\cdot\left(\frac15\right)^5=\left(\frac15\right)^5$
$\hphantom{F_X(0)}=0{,}00032$
$F_X(1)=P(X\le 1)=B(5,\frac{4}{5},1)+B(5,\frac{4}{5},0)$
$\hphantom{F_X(1)}=\binom51\cdot\left(\frac45\right)^1\cdot\left(\frac15\right)^4+0{,}00032$
$\hphantom{F_X(1)}=5\cdot\frac45\cdot\frac1{5^4}+0{,}00032=$
…
$\hphantom{F_X(1)}=5\cdot\frac45\cdot\frac1{5^4}+0{,}00032=$
$\hphantom{F_X(1)}=B(5,\frac45{,}5)+B(5,\frac45{,}4)+B(5,\frac45{,}3)$
$\hphantom{F_X(1)}+B(5,\frac45{,}2)+B(5,\frac45{,}1)+B(5,\frac45{,}0)$ $\hphantom{F_X(1)}=1$
Fasse die Fälle zusammen.
$ F_X(k)=\begin{cases} 0,&\text{wenn}&k<0\\0{,}00032,&\text{wenn}&0\leq k<1\\0{,}00672,&\text{wenn}&1\leq k<2\\0{,}05792,&\text{wenn}&2\leq k<3\\0{,}26272,&\text{wenn}&3\leq k<4\\0{,}67232,&\text{wenn}&4\leq k<5\\1,&\text{wenn}&k\geq 5\end{cases}$
$%%F_X(k)=\begin{cases} 0,&\text{wenn}&k<0\\0{,}00032,&\text{wenn}&0\leq k<1\\0{,}00672,&\text{wenn}&1\leq k<2\\0{,}05792,&\text{wenn}&2\leq k<3\\0{,}26272,&\text{wenn}&3\leq k<4\\0{,}67232,&\text{wenn}&4\leq k<5\\1,&\text{wenn}&k\geq 5\end{cases}%%$
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Bei $x = 4$ : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
- höchstens 3 rote Kugeln gezogen werden?
- mindestens 4 rote Kugeln gezogen werden?
- keine rote Kugel gezogen wird?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
"höchstens 3"
Du hast bereits die Verteilungsfunktion aufgestellt. Lies daraus das Ergebnis ab.
$P(X\le3)=F_X(3)=0{,}26272$
"mindestens 4"
Forme um zu Rechnungen mit $P(X \leq \dots)$ : "Mindestens 4" ist das Gegenteil von "höchstens 3", daher folgt:
$P(X\ge4)=1-P(X\le3)$
Setze nun das Ergebnis aus der Verteilungsfunktion ein.
$\hphantom{P(X\geq 4)}=1-0{,}26272=0{,}73728$
"keine"
Lies den Wert $F_{X} (0)$ aus der Verteilungsfunktion ab.
$P(X=0)=P(X\le 0)=0{,}00032$
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Bei $x = 4$ : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
- mehr als 2 aber höchstens 4 rote Kugeln gezogen werden?
- mindestens 2 aber weniger als 5 rote Kugeln gezogen werden?
- höchstens 1 oder mehr als 3 rote Kugeln gezogen werden?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
"mehr als 2 und höchstens 4"
Forme um zu Rechnungen mit $P(X\leq \dots)$ : "mehr als 2" ist das Gegenteil von "höchstens 2". Verwende dann die Ergebnisse aus der Verteilungsfunktion.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}P(2<X\leq 4)&=P(X\leq 4)-P(X\leq 2)\\ &=F_X(4)-F_X(2)\\&=0{,}67232-0{,}0579\\ &=0{,}6144\end{array}$
"mindestens 2 und weniger als 5"
Forme um zu Rechnungen mit $P(X\leq \dots)$ : , "weniger als 5" entspricht "höchstens 4".
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}P(2\leq X<5)&=P(2\leq X \leq 4)= P(1<X\leq4)\\ &=P(X\leq 4)-P(X\leq 1)\end{array}$
Verwende dann die Ergebnisse aus der Verteilungsfunktion.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}\hphantom{P(2\leqX<5)}&=F_X(4)-F_X(1)\\&=0{,}67232-0{,}00672\\&=0{,}6656\end{array}$
"höchstens 1 oder mehr als 3"
Berechne die Wahrscheinlichkeit der Fälle höchstens 1 und mehr als 3. Wegen "oder" musst du diese Wahrscheinlichkeiten dann addieren.
$P(X\le 1)+P(X>3)$
Forme um zu Rechnungen mit $P(X\leq \dots)$ : "mehr als 3" ist das Gegenteil von "höchstens 3". Verwende dann die Ergebnisse aus der Verteilungsfunktion.
$=P(X\le1)+(1-P(X\le3))$
$= 0,00672 + (1 - 0,26272) = 0,744$
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5

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Haushaltsmitglieder bei einer Stichprobe und habe die Verteilung:

$k$	1	2	3	4	5
$P (X = k)$	0,4	0,2	0,2	0,1	0,1

Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Mehrpersonenhaushalt zu erhalten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion bestimmen
Wahrscheinlichkeit für einen Mehrpersonenhaushalt:
$\displaystyle P(X>1)$ $=$ $\displaystyle 1-P(X\le1)$
$=$ $\displaystyle 1-P(X=1)$
$=$ $\displaystyle 1-0{,}4$
$=$ $\displaystyle 0{,}6$
Da es mindestens eine Person in dem Haushalt gibt, gilt:
$P(X\le1)=P(X=1)$ .
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Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Haushalt zu erhalten, der mehr als 2 Mitglieder hat.

Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Haushalt zu erhalten, der höchstens 4 Mitglieder hat.

Man berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einen Haushalt zu erhalten, der 2 bis 4 Mitglieder hat.

6

Man wirft eine Münze dreimal. Die Zufallsgröße X gibt an, wie oft dabei "Zahl" geworfen wurde. Gib die Verteilungsfunktion an und berechne:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 mal Zahl geworfen wird.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 1 mal Zahl geworfen wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion
Wie aus der ersten Teilaufgabe abzulesen ist, ist der Ergebnisraum hier folgender
$P (X=0) = \dfrac{1}{8}$
$P (X=1) = \dfrac{3}{8}$
Die Wahrscheinlichkeit für höchstens einmal Zahl ist
$\displaystyle P(X\le1)$ $=$ $\displaystyle P(X=1)+P(X=0)$
$=$ $\displaystyle \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8}$
$=$ $\displaystyle \dfrac{1}{2}$
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 2 mal Zahl geworfen wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verteilungsfunktion
Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei mal Zahl ist
$P(X=2)=\dfrac{3}{8}$
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$\displaystyle P(X>2)$	$=$	$\displaystyle 1-P(X\le2)$
	$=$	$\displaystyle 1-P(X=1)-P(X=2)$
	$=$	$\displaystyle 1-0{,}4-0{,}2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}4$

$\displaystyle P(X\le4)$	$=$	$\displaystyle P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}4+0{,}2+0{,}2+0{,}1$
	$=$	$\displaystyle 0{,}9$

$\displaystyle P(2\le X\le4)$	$=$	$\displaystyle P(1<X\le4)$
	$=$	$\displaystyle P(X\le4)-P(X\le1)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}9-0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

$\displaystyle P(X>1)$	$=$	$\displaystyle 1-P(X\le1)$
	$=$	$\displaystyle 1-P(X=1)$
	$=$	$\displaystyle 1-0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6$

$\displaystyle P(X\ge2)$	$=$	$\displaystyle 1−P(X\le1)$
	$=$	$\displaystyle 1−P(X=1)−P(X=0)$
	$=$	$\displaystyle 1−\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{8}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

$\displaystyle P(X\ge 2)$	$=$	$\displaystyle P(X=2)+P(X=3)$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

$\displaystyle P(X\le1)$	$=$	$\displaystyle P(X=1)+P(X=0)$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$