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Aufgabe 1B

Bild

Die nebenstehende Abbildung zeigt schematisch die Seitenansicht einer Wasserrutschbahn, die aus einem Startbogen, einem Mittelabschnitt und einem

Auslaufbogen zusammengesetzt ist. Die einzelnen Abschnitte werden durch Funktionen beschrieben.

Die Funktionen stimmen in den jeweiligen Übergängen in Funktionswerten und Werten der Ableitung überein. Der Auslaufbogen hat in seinem Endpunkt CC eine waagerechte Tangente. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die xx-Achse beschreibt die Horizontale.

  1. Berechnen Sie eine Gleichung der Gerade, die den Mittelabschnitt beschreibt.

    Berechnen Sie die Größe des Winkels dieses Abschnitts der Rutschbahn gegenüber der

    Horizontalen. [Zur Kontrolle: y=32x+24y=-\frac{3}{2} x+24 ] (6 BE)

  2. Der Auslaufbogen wird mithilfe einer quadratischen Funktion ff beschrieben.

    Bestimmen Sie eine Gleichung von ff. (4 BE)

    [Zur Kontrolle: f(x)=332x2154x+752f(x)=\frac{3}{32} x^{2}-\frac{15}{4} x+\frac{75}{2} ]

  3. Die Seitenfläche unterhalb der Wasserrutschbahn wird im Bereich 4x204 \leq x \leq 20 verkleidet.

    Stellen Sie die entsprechende Fläche in der Abbildung grafisch dar.

    Berechnen Sie den Flächeninhalt der Seitenfläche. (6 BE)

  4. Der Startbogen wird mithilfe eines Kreises beschrieben. Er wird durch mehrere Streben gleicher Länge gestützt; diese gehen alle vom selben Punkt aus, der auf der yy-Achse liegt. Eine der Streben stößt direkt am Übergang zwischen Startbogen und Mittelabschnitt senkrecht auf die Rutschbahn.

    Weisen Sie nach, dass der Mittelpunkt MM des Kreises die Koordinaten (0463)\left(0 \left\lvert\, \frac{46}{3}\right.\right) hat.

    (3 BE)

  5. Berechnen Sie den Radius des Kreises. (3 BE)

  6. Bild

    Die nebenstehende Abbildung zeigt die vollständige schematische Seitenansicht einer zweiten Wasserrutschbahn. Ihr Verlauf wird mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion hh mit h(x)=32500x53100x4+14x334x2+5,2h(x)=\frac{3}{2500} x^{5}-\frac{3}{100} x^{4}+\frac{1}{4} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2}+5{,}2 beschrieben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die xx-Achse beschreibt die Wasseroberfläche. Die Rutschbahn endet 0,20{,}2 Meter oberhalb der Wasseroberfläche.

    Geben Sie die Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche an.

    Ermitteln Sie die Koordinaten des Endpunktes der Rutschbahn. (4 BE)

  7. Die Rutschbahn weist in mehreren Punkten ihre größte Neigung gegenüber der Horizontalen auf.

    Berechnen Sie diese Neigung in Prozent. (4 BE)

  8. Der Graph von hh enthält Punkte, in denen die Tangente an den Graphen parallel zur xx-Achse verläuft.

    Weisen Sie nach, dass diese Punkte alle auf einer Geraden liegen. (5 BE)