Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B

Verwende die Zwei-Punkteform der Geradengleichung für $A(4|18)$ und $B(12|6)$:

$y={\displaystyle \frac{6-18}{12-4}}\cdot (x-4)+18=-{\displaystyle \frac{12}{8}}\cdot (x-4)+18=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot x+24$

Die Gleichung der Geraden, die den Mittelabschnitt beschreibt, lautet:$y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot x+24$.

Größe des Winkels dieses Abschnitts der Rutschbahn gegenüber der Horizontalen

Es ist $\tan \phi =m\Rightarrow \phi ={\tan }^{-1}(-{\displaystyle \frac{3}{2}})\approx -{\mathrm{56,3}}^{\circ }$

Die Größe des gesuchten Winkels beträgt rund ${56}^{\circ }$.

Lösung

Bestimmen Sie eine Gleichung von $f$

Ansatz:

$f(x)=a{x}^2+bx+c\Rightarrow f^{\prime }(x)=2ax+b$

Erstelle mit den Bedingungen $f(12)=6,f(20)=0$ und $f^{\prime }(20)=0$ (Der Auslaufbogen hat in seinem Endpunkt $C$ eine waagerechte Tangente.) ein lineares Gleichungssystem, das z.B. mit dem Additionsverfahren gelöst werden kann.

$f(12)=6\Rightarrow (\mathrm{I})6=a\cdot {12}^2+b\cdot 12+c\Rightarrow (\mathrm{I})6=a\cdot 144+b\cdot 12+c$

$f(20)=0\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I})0=a\cdot {20}^2+b\cdot 20+c\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I})0=a\cdot 400+b\cdot 20+c$

$f^{\prime }(20)=0\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})0=2a\cdot 20+b\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})0=a\cdot 40+b$

Rechne $(\mathrm{I})-(\mathrm{I}\mathrm{I})$:

$\begin{array}{rrrrrcrrrr}& (\mathrm{I}):& & 6& =& 144\cdot a& +& 12\cdot b& +& c\\ -& (\mathrm{I}\mathrm{I}):& & 0& =& 400\cdot a& +& 20\cdot b& +& c\\ & (\mathrm{I}\mathrm{V}):& & 6& =& -256\cdot a& -& 8b& & \end{array}$

Damit folgt das neue System mit den Gleichungen $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$ und $(\mathrm{I}\mathrm{V})$.

Rechne $8\cdot (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})+(\mathrm{I}\mathrm{V})$:

$\begin{array}{rrrrrcr}& 8\cdot (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})& 0& =& 320\cdot a& +& 8\cdot b\\ +& (\mathrm{I}\mathrm{V}):& 6& =& -256\cdot a& -& 8\cdot b\\ & & 6& =& 64\cdot a& +& 0\end{array}$

Aus der letzten Gleichung folgt $a={\displaystyle \frac{6}{64}}={\displaystyle \frac{3}{32}}$.

Der Wert von $a$ wird in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})0=a\cdot 40+b$ eingesetzt:

$0={\displaystyle \frac{3}{32}}\cdot 40+b\Rightarrow b=-{\displaystyle \frac{15}{4}}$

Mit Gleichung $(\mathrm{I})6=a\cdot 144+b\cdot 12+c$ und den Werten für $a$ und $b$ folgt:

$6={\displaystyle \frac{3}{32}}\cdot 144-{\displaystyle \frac{15}{4}}\cdot 12+c\Rightarrow c={\displaystyle \frac{75}{2}}$

Die gesuchte quadratische Funktion hat die Gleichung:

$f(x)={\displaystyle \frac{3}{32}}{x}^2-{\displaystyle \frac{15}{4}}x+{\displaystyle \frac{75}{2}}$

Lösung

Stellen Sie die entsprechende Fläche in der Abbildung grafisch dar

Im Bereich $4\le x\le 20$ ist die Fläche orange gekennzeichnet.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Seitenfläche

Die markierte Fläche setzt sich aus zwei Teilen zusammen:

$$A_{\text{ges}}=A_{\text{Trapez}}+{\displaystyle {\int }_{12}^{20}f(x)dx={\displaystyle \frac{6+18}{2}}\cdot (12-4)+{\displaystyle {\int }_{12}^{20}f(x)dx}}$$

$A_{\text{ges}}=96+16=112$

Der Flächeninhalt der Seitenfläche beträgt $112{\text{m}}^2$.

Lösung

Weisen Sie nach, dass der Mittelpunkt M des Kreises die Koordinaten $\left(0|\frac{46}{3}\right)$ hat

Erstelle die Gleichung der Normalen im Punkt $A(4|18)$ an der Geraden $y=-\frac{3}{2}x+24$.

Die Normale steht senkrecht auf der Geraden, d.h. $m_1\cdot m_2=-1$.

Eingesetzt in die Formel für die Normale:

$n(x)=-{\displaystyle \frac{1}{(-{\displaystyle \frac{3}{2}})}}\cdot (x-4)+18={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot x-{\displaystyle \frac{8}{3}}+18={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot x+{\displaystyle \frac{46}{3}}$

Die Normalengleichung lautet also $n(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot x+{\displaystyle \frac{46}{3}}$.

$n(0)={\displaystyle \frac{46}{3}}$

Die Normale schneidet die y-Achse im Punkt $M(0|\frac{46}{3})$.

Die folgende Abbildung ist nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Lösung

Berechnen Sie den Radius des Kreises

Die Entfernung der beiden Punkte $M(0|\frac{46}{3})$ und $A(4|18)$ ist der Radius des Kreises:

$r=d_{AM}=\sqrt{(4-0{)}^2+{(18-\frac{46}{3})}^2}\approx \mathrm{4,8}$

Der Radius des Kreises beträgt rund $\mathrm{4,8}\text{m}$.

Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche an

Berechne $h(0)$:

$h(0)=\mathrm{5,2}$

Die Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche beträgt $\mathrm{5,2}\text{m}.$

Koordinaten des Endpunktes der Rutschbahn

Setze $h(x)=\mathrm{0,2}$ und löse die Gleichung:

$\frac{3}{2500}{x}^5-\frac{3}{100}{x}^4+\frac{1}{4}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\mathrm{5,2}=\mathrm{0,2}$

$\Rightarrow \frac{3}{2500}{x}^5-\frac{3}{100}{x}^4+\frac{1}{4}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+5=0$

Die 1. Lösung mit dem CAS-Rechner ist negativ, d.h. sie entfällt hier.

Die 2. Lösung ergibt $x=10$.

Der Endpunkt der Rutschbahn hat die Koordinaten $(10|\mathrm{0,2})$.

Größte Neigung in Prozent

Setze $h^{\prime \prime }(x)=0$ und löse diese Gleichung. (Hier erfolgt die Lösung mit dem CAS-Rechner von Geogebra.)

Es ist $x_1=5-\mathrm{2,5}\sqrt{2}$ und $x_2=5+\mathrm{2,5}\sqrt{2}$.

Der dritte Wert ist $x_3=5$. Hier gilt $h^{\prime }(5)=0\Rightarrow$Sattelpunkt.

Für die beiden Werte $x_1$ und $x_2$ gilt:

Beide dritte Ableitungen an den Stellen $x_1$ und $x_2$ sind gleich groß und größer null.

Für die Steigung an den Stellen $x_1$ und $x_2$ gilt dann:

$h^{\prime }(5-\mathrm{2,5}\sqrt{2})=h^{\prime }(5+\mathrm{2,5}\sqrt{2})=-{\displaystyle \frac{15}{16}}=-\mathrm{0,9375}$

Es ergibt sich eine Neigung von etwa $94\%$.

Lösung

Weisen Sie nach, dass diese Punkte alle auf einer Geraden liegen

Berechne $h^{\prime }(x)=0$:

Du hast die drei Lösungen $x_1=0,x_2=5$ und $x_3=10$ erhalten.

Betrachte nun die Punkte $(0|h(0))$ und $(5|h(5))$ auf dem Graphen und berechne die Geradengleichung $g(x)$ durch diese beiden Punkte.

$(0|h(0))\Rightarrow (0|\mathrm{5,2})$ und $(5|h(5))\Rightarrow (5|\mathrm{2,7})$

$g(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{2,7}-\mathrm{5,2}}{5-0}}\cdot (x-0)+\mathrm{5,2}\Rightarrow g(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x+\mathrm{5,2}$

Für die dritte Lösung $x_3=10$ ergibt sich der Punkt $(10|h(10))$.

Aus Aufgabe f) ist bekannt, dass der Punkt $(10|\mathrm{0,2})$ auf $h$ liegt.

Prüfe, ob der Punkt $(10|\mathrm{0,2})$ auch auf $g$ liegt:

$g(10)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10+\mathrm{5,2}=\mathrm{0,2}\Rightarrow$der Punkt $(10|\mathrm{0,2})$ liegt auch auf $g$.

Der Punkt $(10|h(10))=(10|\mathrm{0,2})$ liegt also auch auf der Geraden $g$.