Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1B

Die nebenstehende Abbildung zeigt schematisch die Seitenansicht einer Wasserrutschbahn, die aus einem Startbogen, einem Mittelabschnitt und einem

Auslaufbogen zusammengesetzt ist. Die einzelnen Abschnitte werden durch Funktionen beschrieben.

Die Funktionen stimmen in den jeweiligen Übergängen in Funktionswerten und Werten der Ableitung überein. Der Auslaufbogen hat in seinem Endpunkt $C$ eine waagerechte Tangente. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$ -Achse beschreibt die Horizontale.

Berechnen Sie eine Gleichung der Gerade, die den Mittelabschnitt beschreibt.
Berechnen Sie die Größe des Winkels dieses Abschnitts der Rutschbahn gegenüber der
Horizontalen. [Zur Kontrolle: $y=-\frac{3}{2} x+24$ ] (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B
Verwende die Zwei-Punkteform der Geradengleichung für $A (4 ∣ 18)$ und $B (12 ∣ 6)$ :
$y=\dfrac{6-18}{12-4}\cdot(x-4)+18=-\dfrac{12}{8}\cdot(x-4)+18=-\dfrac{3}{2}\cdot x+24$
Die Gleichung der Geraden, die den Mittelabschnitt beschreibt, lautet: $y=-\dfrac{3}{2}\cdot x+24$ .
Größe des Winkels dieses Abschnitts der Rutschbahn gegenüber der Horizontalen
Es ist $\tan\varphi=m\;\Rightarrow\;\varphi=\tan^{-1}\left(-\dfrac{3}{2}\right)\approx-56{,}3^\circ$
Die Größe des gesuchten Winkels beträgt rund $56^\circ$ .
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Teil 1
Verwende die Zwei-Punkteform der Geradengleichung für $A (4 ∣ 18)$ und $B (12 ∣ 6)$ .
Teil 2
Es ist $\tan\varphi=m$ .
Der Auslaufbogen wird mithilfe einer quadratischen Funktion $f$ beschrieben.
Bestimmen Sie eine Gleichung von $f$ . (4 BE)
[Zur Kontrolle: $f(x)=\frac{3}{32} x^{2}-\frac{15}{4} x+\frac{75}{2}$ ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Lösung
Bestimmen Sie eine Gleichung von $f$
Ansatz:
$f(x)=ax^2+bx+c\;\Rightarrow\;f'(x)=2ax+b$
Erstelle mit den Bedingungen $f(12)=6,\; f(20)=0$ und $f^{'} (20) = 0$ (Der Auslaufbogen hat in seinem Endpunkt $C$ eine waagerechte Tangente.) ein lineares Gleichungssystem, das z.B. mit dem Additionsverfahren gelöst werden kann.
$f(12)=6\;\Rightarrow\;\mathrm{(I)}\;\;\;6=a\cdot 12^2+b\cdot 12+c\;\Rightarrow\;\mathrm{(I)}\;\;\;6=a\cdot 144+b\cdot 12+c$
$f(20)=0\;\Rightarrow\;\mathrm{(II)}\;\;0=a\cdot 20^2+b\cdot 20+c\;\Rightarrow\;\mathrm{(II)}\;\;0=a\cdot 400+b\cdot 20+c$
$f'(20)=0\;\Rightarrow\;\mathrm{(III)}\;0=2a\cdot20+b\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow\mathrm{(III)}\;\;0=a\cdot40+b$
Rechne $\mathrm{(I)}-\mathrm{(II)}$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&6&=&144\cdot a&+&12\cdot b&+&c\\-&\mathrm{(II)}:& &0&=&400\cdot a&+&20 \cdot b&+&c\\ \hline &\mathrm{(IV)}:&&6&=&-256\cdot a&-&8b\end{array}$
Damit folgt das neue System mit den Gleichungen $\mathrm{(III)}$ und $\mathrm{(IV)}$ .
Rechne $8\cdot\mathrm{(III)}+\mathrm{(IV)}$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&8\cdot\mathrm{(III)}\;\;&0&=&\color{darkorange}320\color{black}\cdot a&+&\color{darkorange}8\color{black}\cdot b\\+&\mathrm{(IV)}: &6&=&-256\cdot a&-&8 \cdot b\\ \hline &&6&=&64\cdot a&+&0\end{array}$
Aus der letzten Gleichung folgt $a=\dfrac{6}{64}=\dfrac{3}{32}$ .
Der Wert von $a$ wird in Gleichung $\mathrm{(III)}\;\;0=a\cdot40+b$ eingesetzt:
$0=\dfrac{3}{32}\cdot40+b\;\Rightarrow\;b=-\dfrac{15}{4}$
Mit Gleichung $\mathrm{(I)}\;\;\;6=a\cdot 144+b\cdot 12+c$ und den Werten für $a$ und $b$ folgt:
$6=\dfrac{3}{32}\cdot 144-\dfrac{15}{4}\cdot 12+c\;\Rightarrow\;c=\dfrac{75}{2}$
Die gesuchte quadratische Funktion hat die Gleichung:
$f(x)=\dfrac{3}{32}x^2-\dfrac{15}{4}x+\dfrac{75}{2}$
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Erstelle, mit den Bedingungen $f(12)=6,\; f(20)=0$ und $f^{'} (20) = 0$ ein lineares Gleichungssystem für die quadratische Funktion $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .
Die Seitenfläche unterhalb der Wasserrutschbahn wird im Bereich $4 \leq x \leq 20$ verkleidet.
Stellen Sie die entsprechende Fläche in der Abbildung grafisch dar.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Seitenfläche. (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Lösung
Stellen Sie die entsprechende Fläche in der Abbildung grafisch dar
Im Bereich $4 \leq x \leq 20$ ist die Fläche orange gekennzeichnet.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Seitenfläche
Die markierte Fläche setzt sich aus zwei Teilen zusammen:
$A_{\text{ges}}=A_{\text{Trapez}}+\displaystyle\int_{12}^{20}f(x)\;dx=\dfrac{6+18}{2}\cdot(12-4)+\displaystyle\int_{12}^{20}f(x)\;dx$
$A_{\text{ges}}=96+16=112$
Der Flächeninhalt der Seitenfläche beträgt $112\;\text{m}^2$ .
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Teil 1
Fläche im Bereich $4 \leq x \leq 20$ kennzeichnen.
Teil 2
Die Fläche setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Berechne jeweils den Flächeninhalt.
Der Startbogen wird mithilfe eines Kreises beschrieben. Er wird durch mehrere Streben gleicher Länge gestützt; diese gehen alle vom selben Punkt aus, der auf der $y$ -Achse liegt. Eine der Streben stößt direkt am Übergang zwischen Startbogen und Mittelabschnitt senkrecht auf die Rutschbahn.
Weisen Sie nach, dass der Mittelpunkt $M$ des Kreises die Koordinaten $\left(0 \left\lvert\, \frac{46}{3}\right.\right)$ hat.
(3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
Lösung
Weisen Sie nach, dass der Mittelpunkt M des Kreises die Koordinaten $\left(0 \left\lvert\, \frac{46}{3}\right.\right)$ hat
Erstelle die Gleichung der Normalen im Punkt $A (4 ∣ 18)$ an der Geraden $y=-\frac{3}{2} x+24$ .
Die Normale steht senkrecht auf der Geraden, d.h. $m_1\cdot m_2=-1$ .
Eingesetzt in die Formel für die Normale:
$n(x)=-\dfrac{1}{\left(-\dfrac{3}{2}\right)}\cdot(x-4)+18=\dfrac{2}{3}\cdot x-\dfrac{8}{3}+18=\dfrac{2}{3}\cdot x+\dfrac{46}{3}$
Die Normalengleichung lautet also $n(x)=\dfrac{2}{3}\cdot x+\dfrac{46}{3}$ .
$n(0)=\dfrac{46}{3}$
Die Normale schneidet die y-Achse im Punkt $M(0|\frac{46}{3})$ .
Die folgende Abbildung ist nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Skizze
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Erstelle die Gleichung der Normalen im Punkt $A$ an der Geraden $y=-\frac{3}{2} x+24$ .
Bestimme den Schnittpunkt $M$ der Normalen mit der y-Achse.
Berechnen Sie den Radius des Kreises. (3 BE)
Lösung
Berechnen Sie den Radius des Kreises
Die Entfernung der beiden Punkte $M(0|\frac{46}{3})$ und $A (4 ∣ 18)$ ist der Radius des Kreises:
$r=d_{AM}=\sqrt{(4-0)^2+\left(18-\frac{46}{3}\right)^2}\approx4{,}8$
Der Radius des Kreises beträgt rund $4{,}8\;\text{m}$ .
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Die Entfernung der beiden Punkte $M$ und $A$ ist der Radius des Kreises.
Die nebenstehende Abbildung zeigt die vollständige schematische Seitenansicht einer zweiten Wasserrutschbahn. Ihr Verlauf wird mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x)=\frac{3}{2500} x^{5}-\frac{3}{100} x^{4}+\frac{1}{4} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2}+5{,}2$ beschrieben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die $x$ -Achse beschreibt die Wasseroberfläche. Die Rutschbahn endet $0,2$ Meter oberhalb der Wasseroberfläche.
Geben Sie die Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche an.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Endpunktes der Rutschbahn. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche an
Berechne $h (0)$ :
$h (0) = 5,2$
Die Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche beträgt $5{,}2\;\text{m}.$
Koordinaten des Endpunktes der Rutschbahn
Setze $h (x) = 0,2$ und löse die Gleichung:
$\frac{3}{2500} x^{5}-\frac{3}{100} x^{4}+\frac{1}{4} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2}+5{,}2=0{,}2$
$\;\Rightarrow\;\frac{3}{2500} x^{5}-\frac{3}{100} x^{4}+\frac{1}{4} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2}+5=0$
Die 1. Lösung mit dem CAS-Rechner ist negativ, d.h. sie entfällt hier.
Die 2. Lösung ergibt $x = 10$ .
Der Endpunkt der Rutschbahn hat die Koordinaten $(10 ∣ 0,2)$ .
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Teil 1
Berechne $h (0)$ .
Teil 2
Setze $h (x) = 0,2$ und löse die Gleichung.
Die Rutschbahn weist in mehreren Punkten ihre größte Neigung gegenüber der Horizontalen auf.
Berechnen Sie diese Neigung in Prozent. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Größte Neigung in Prozent
Setze $h^{''} (x) = 0$ und löse diese Gleichung. (Hier erfolgt die Lösung mit dem CAS-Rechner von Geogebra.)
Es ist $x_1=5-2{,}5\sqrt{2}$ und $x_2=5+2{,}5\sqrt{2}$ .
Der dritte Wert ist $x_{3} = 5$ . Hier gilt $h'(5)=0\;\Rightarrow\;$ Sattelpunkt.
Für die beiden Werte $x_{1}$ und $x_{2}$ gilt:
Beide dritte Ableitungen an den Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ sind gleich groß und größer null.
Für die Steigung an den Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ gilt dann:
$h'(5-2{,}5\sqrt{2})=h'(5+2{,}5\sqrt{2})=-\dfrac{15}{16}=-0{,}9375$
Es ergibt sich eine Neigung von etwa $94 %$ .
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Setze $h^{''} (x) = 0$ und löse diese Gleichung.
Der Graph von $h$ enthält Punkte, in denen die Tangente an den Graphen parallel zur $x$ -Achse verläuft.
Weisen Sie nach, dass diese Punkte alle auf einer Geraden liegen. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Lösung
Weisen Sie nach, dass diese Punkte alle auf einer Geraden liegen
Berechne $h^{'} (x) = 0$ :
Du hast die drei Lösungen $x_{1} = 0, x_{2} = 5$ und $x_{3} = 10$ erhalten.
Betrachte nun die Punkte $(0 ∣ h (0))$ und $(5 ∣ h (5))$ auf dem Graphen und berechne die Geradengleichung $g (x)$ durch diese beiden Punkte.
$(0|h(0))\;\Rightarrow\;(0|5{,}2)$ und $(5|h(5))\;\Rightarrow\;(5|2{,}7)$
$g(x)=\dfrac{2{,}7-5{,}2}{5-0}\cdot (x-0)+5{,}2\;\Rightarrow\;g(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot x+5{,}2$
Für die dritte Lösung $x_{3} = 10$ ergibt sich der Punkt $(10 ∣ h (10))$ .
Aus Aufgabe f) ist bekannt, dass der Punkt $(10 ∣ 0,2)$ auf $h$ liegt.
Prüfe, ob der Punkt $(10 ∣ 0,2)$ auch auf $g$ liegt:
$g(10)=-\dfrac{1}{2}\cdot 10+5{,}2=0{,}2\;\Rightarrow\;$ der Punkt $(10 ∣ 0,2)$ liegt auch auf $g$ .
Der Punkt $(10 ∣ h (10)) = (10 ∣ 0,2)$ liegt also auch auf der Geraden $g$ .
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Berechne $h^{'} (x) = 0$ .
Du erhältst drei Lösungen, d.h. drei Punkte auf $h$ .
Bestimme die Geradengleichung durch zwei dieser Punkte.
Prüfe, ob der dritte Punkt ebenfalls auf der Geraden liegt.