Aufgabe P2
Gegeben ist die in R definierte Funktion f mit f(x)=x3−x.
Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt f dar.
Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie Ihre Angabe. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzierbarkeit
Abbildung II
Abbildung II kann die Funktion f(x)=x3−x nicht darstellen. Betrachte zum Beispiel f(0,5)=0,53−0,5<0, was nicht mit dem Graphen übereinstimmt.
Alternativ kannst du auch argumentieren, dass die Funktionswerte von f für x→∞ gegen ∞ gehen müssen. Das stimmt aber nicht mit der Skizze überein.
Abbildung III
Abbildung III kann die Funktion f(x)=x3−x nicht darstellen da sie an den Stellen x=−0,5 und x=0,5 nicht differenzierbar ist.
Somit stellt Abbildung I die Funktion f(x) dar.
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Betrachte die Steigung und die Differenzierbarkeit der Graphen.
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
VorsichtFlächeninhalt und Integral In der Aufgabenstellung ist nach dem Flächeninhalt gefragt. Der Flächeninhalt zwischen einer Kurve und der x-Achse ist immer größer als null, denn er entspricht dem Absolutbetrag des Integrals.
Das Integral der Funktion f wäre immer 0 für ein Intervall [−c;c], c∈R, weil der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Schnittpunkte mit der x-Achse:
f(x)=x3−x
Mit der x-Achse (y=0) gleichsetzen.
x3−x = 0 ↓Ausklammern
x(x2−1) = 0 ↓1. Nullstelle bei x1=0, Klammer 0 setzen für x2,3
x2−1 = 0 +1 x2 = 1 ± ↓
x2,3 = ±1 Flächenberechnung:
Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, reicht es aus, die Flächenstücke auf einer Seite der y-Achse zu berechnen und den Wert zu verdoppeln. Denn die Flächenstücke rechts und links der x-Achse sind gleich groß.
Fläche A unter dem Graphen zwischen −1 und 0
A = ∫−10(x3−x)dx ↓Bestimme eine Stammfunktion.
= [41x4− 21x2]−10 ↓In die Klammer wird der rechte Schnittpunkt (x1=0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Schnittpunkt (x2=−1) gerechnet.
= 41⋅04− 21⋅02 −(41⋅(−1)4− 21⋅(−1)2) ↓Klammern auflösen und zusammenfassen.
= −41+ 21 = 41 Das Flächenmaß unter dem Graphen zwischen −1 und 1 beträgt also 41⋅2=21.
Hinweis: eine kompaktere Rechnung findest du hier
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Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse.
Das sind die Grenzen für das Integral.
Bestimme die Stammfunktion und berechne den Flächeninhalt.