Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

Ableitung der Funktion $f(x)$

$f'(x)=2x−6$

x-Wert des Scheitelpunkts

Wir setzen die Ableitung gleich 0 und lösen die Gleichung:

$y$-Wert

Setze den x-Wert in die Funktion ein, um den y-Wert des Scheitels zu bestimmen:

$f(3)=3^2-6⋅3$

$\phantom{f(3)}=-9$

Die Koordinaten des Scheitelpunkts sind damit: $S(3|-9)$

Hinweis: Einen anderen Lösungsweg findest du hier

Allgemeine Geradengleichung

$g(x)=mx+b$

$m$: Steigung

$b$: $y$-Achsenabschnitt

Steigung $f'(-2)$ und y-Wert $f(-2)$

$f'(x)=2x-6$

$f'(-2)=2⋅(-2)-6 = -10$

$f(-2)=(-2)^2-6⋅(-2)=16$

Steigung und y-Achsenabschnitt

Die Steigung $f'(-2)=-10$ ist gleich der Steigung $m$ der Tangente:

$g(x)=-10x+b$

Um $b$ zu bestimmen, setzen wir den Punkt $P(-2|16)$ ein:

Die Tangente ist damit: $g(x)=−10x-4$

Abbildung II

Abbildung II kann die Funktion $f(x)=x^{3}-x$ nicht darstellen. Betrachte zum Beispiel $f(0{,}5)=0{,}5^{3}-0{,}5<0,$ was nicht mit dem Graphen übereinstimmt.

Alternativ kannst du auch argumentieren, dass die Funktionswerte von $f$ für $x\to\infty$ gegen $\infty$ gehen müssen. Das stimmt aber nicht mit der Skizze überein.

Abbildung III

Abbildung III kann die Funktion $f(x)=x^{3}-x$ nicht darstellen da sie an den Stellen $x=-0{,}5$ und $x=0{,}5$ nicht differenzierbar ist.

Somit stellt Abbildung I die Funktion $f(x)$ dar.

Schnittpunkte mit der x-Achse:

$f(x)=x^3-x$

Mit der $x$-Achse $(y=0)$ gleichsetzen.

Flächenberechnung:

Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, reicht es aus, die Flächenstücke auf einer Seite der $y$-Achse zu berechnen und den Wert zu verdoppeln. Denn die Flächenstücke rechts und links der $x$-Achse sind gleich groß.

Fläche $A$ unter dem Graphen zwischen $-1$ und $0$

Das Flächenmaß unter dem Graphen zwischen $−1$ und $1$ beträgt also $\dfrac{1}{4}⋅2=\dfrac{1}{2}.$

Hinweis: eine kompaktere Rechnung findest du hier

Integral der Funktion zwischen $0$ und $1$:

Das Integral zwischen $0$ und $1$ beträgt $e.$

Spiegelung an der $y$-Achse:

Verschiebung in $y$-Richtung

Mögliche Funktionsterme für $g$ sind also

$g(x)=e^{-x}+4$ oder $g(x)=\left(\frac{1}{e}\right)^x+4$ oder $g(x)=\frac{1}{e^x}+4$.

Formel für den Abstand im Dreidimensionalen:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

Punkte einsetzen:

$d=\sqrt{(2-5)^2+(4-0)^2+(5-a)^2}$

Abstand $d=5$ setzen:

Also ist der Wert von $a$, für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben, $a=5$.

Damit im Punkt $B$ ein rechter Winkel liegt, muss das das Skalarprodukt von $\vec{OB}$ und $\vec{BA}$ gleich $0$ sein.

Vektoren $\vec{OB}$ und $\vec{BA}$

$\vec OB=\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}\;\;\vec BA=\begin{pmatrix}5-2\\0-4\\a-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\\a-5\end{pmatrix}\;\;\;\;$

Skalarprodukt

$\vec{OB} ⋅\vec{BA}=2⋅3+4⋅(−4)+5⋅(a−5)=6−16+5(a−5)=5a−35$

Gleich 0 setzen und nach $a$ auflösen

Also ist der Wert von $a$, für den das Dreieck $OAB$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist, $a=7.$

Vektor $(\vec{b}-\vec{a})$

Um den Vektor $(\vec{b}-\vec{a})$ zu bestimmen schaut man sich zuerst den Vektor $\vec{b}$ an, der von $O$ bis zum Punkt $B$ verläuft, und subtrahiert dann den Vektor $\vec{a}$, das heißt wir würden auf den Punkt $C$ landen (da wir den Vektor $\vec{a}$ "rückwärts gehen").

Nun müssen wir aber von dem Vektor $\overrightarrow{O C}$ die Hälfte betrachten, da wir ja mit $\frac{1}{2}$ multiplizieren. Wir können zum Beispiel den Mittelpunkt des Vektors $\overrightarrow{O C}$ mit $M$ bezeichnen.

Unser gewünschter Vektor wäre dann $\overrightarrow{OM }.$

Punkt P

Begründung