Formel für den Abstand im Dreidimensionalen:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

Punkte einsetzen:

$d=\sqrt{(2-5)^2+(4-0)^2+(5-a)^2}$

Abstand $d=5$ setzen:

Also ist der Wert von $a$, für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben, $a=5$.

Damit im Punkt $B$ ein rechter Winkel liegt, muss das das Skalarprodukt von $\vec{OB}$ und $\vec{BA}$ gleich $0$ sein.

Vektoren $\vec{OB}$ und $\vec{BA}$

$\vec OB=\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}\;\;\vec BA=\begin{pmatrix}5-2\\0-4\\a-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\\a-5\end{pmatrix}\;\;\;\;$

Skalarprodukt

$\vec{OB} ⋅\vec{BA}=2⋅3+4⋅(−4)+5⋅(a−5)=6−16+5(a−5)=5a−35$

Gleich 0 setzen und nach $a$ auflösen

Also ist der Wert von $a$, für den das Dreieck $OAB$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist, $a=7.$