Formel für den Abstand im Dreidimensionalen:

$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}d=\backslash sqrt\{(x\_2-x\_1)^2+(y\_2-y\_1)^2+(z\_2-z\_1)^2\}$

Punkte einsetzen:

$d=\sqrt{(2-5{)}^2+(4-0{)}^2+(5-a{)}^2}d=\backslash sqrt\{(2-5)^2+(4-0)^2+(5-a)^2\}$

Abstand $d=5d=5$ setzen:

Also ist der Wert von $aa$, für den $AA$ und $BB$ den Abstand $55$ haben, $a=5a=5$.

Damit im Punkt $BB$ ein rechter Winkel liegt, muss das das Skalarprodukt von $\overrightarrow{OB}\backslash vec\{OB\}$ und $\overrightarrow{BA}\backslash vec\{BA\}$ gleich $00$ sein.

Vektoren $\overrightarrow{OB}\backslash vec\{OB\}$ und $\overrightarrow{BA}\backslash vec\{BA\}$

$\vec{O}B=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)\vec{B}A=\left(\begin{array}{c}5-2\\ 0-4\\ a-5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ a-5\end{array}\right)\backslash vec\; OB=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 4\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}\backslash ;\backslash ;\backslash vec\; BA=\backslash begin\{pmatrix\}5-2\backslash \backslash 0-4\backslash \backslash a-5\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash -4\backslash \backslash a-5\backslash end\{pmatrix\}\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;$

Skalarprodukt

$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{BA}=2\cdot 3+4\cdot (-4)+5\cdot (a-5)=6-16+5(a-5)=5a-35\backslash vec\{OB\}\; \cdot \backslash vec\{BA\}=2\cdot 3+4\cdot (-4)+5\cdot (a-5)=6-16+5(a-5)=5a-35$

Gleich 0 setzen und nach $aa$ auflösen

Also ist der Wert von $aa$, für den das Dreieck $OABOAB$ im Punkt $BB$ rechtwinklig ist, $a=7.a=7.$