Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

Aufgabe P4

Gegeben sind die Punkte $A (5 | 0 | a)$ und $B (2 | 4 | 5)$ . Der Koordinatenursprung wird mit $O$ bezeichnet.

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben. (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte berechnen
Formel für den Abstand im Dreidimensionalen:
$d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}$
Punkte einsetzen:
$d = \sqrt{(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - a)^{2}}$
$d$ $=$ $\sqrt{(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - a)^{2}}$
$=$ $\sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2} + (5 - a)^{2}}$
$=$ $\sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2} + (5 - a)^{2}}$
$=$ $\sqrt{25 + (5 - a)^{2}}$
Abstand $d = 5$ setzen:
$5$ $=$ $\sqrt{25 + (5 - a)^{2}}$ $^{2}$
$25$ $=$ $25 + (5 - a)^{2}$ $- 25$
$0$ $=$ $(5 - a)^{2}$ $\sqrt{}$
$0$ $=$ $5 - a$
$a$ $=$ $5$
Also ist der Wert von $a$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben, $a = 5$ .
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Setze die Punkte in die Formel für den Abstand zweier Punkte im Dreidimensionalen ein.
Löse die Gleichung für den Abstand $d = 5$ .
Ermitteln Sie denjenigen Wert von $a$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Damit im Punkt $B$ ein rechter Winkel liegt, muss das das Skalarprodukt von $\vec{O B}$ und $\vec{B A}$ gleich $0$ sein.
Vektoren $\vec{O B}$ und $\vec{B A}$
$\vec{O} B = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}) \vec{B} A = (\begin{array}{c} 5 - 2 \\ 0 - 4 \\ a - 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ a - 5 \end{array})$
Skalarprodukt
$\vec{O B} \cdot \vec{B A} = 2 \cdot 3 + 4 \cdot (- 4) + 5 \cdot (a - 5) = 6 - 16 + 5 (a - 5) = 5 a - 35$
Gleich 0 setzen und nach $a$ auflösen
$5 a - 35$ $=$ $0$ $+ 35_{}$
$5 a$ $=$ $35$ $: 5$
$a$ $=$ $7$
Also ist der Wert von $a$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist, $a = 7.$
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Berechne die Vektoren $\vec{O B}$ und $\vec{B A} .$
Berechne das Skalarprodukt.
Setze die Gleichung gleich $0$ und berechne $a$ .

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$d$	$=$	$\sqrt{(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - a)^{2}}$
	$=$	$\sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2} + (5 - a)^{2}}$
	$=$	$\sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2} + (5 - a)^{2}}$
	$=$	$\sqrt{25 + (5 - a)^{2}}$

$5$	$=$	$\sqrt{25 + (5 - a)^{2}}$	$^{2}$
$25$	$=$	$25 + (5 - a)^{2}$	$- 25$
$0$	$=$	$(5 - a)^{2}$	$\sqrt{}$
$0$	$=$	$5 - a$
$a$	$=$	$5$

Aufgabe P4

Punkte einsetzen:

Abstand d=5 setzen:

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Vektoren OB→ und BA→

Skalarprodukt

Gleich 0 setzen und nach a auflösen

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Abstand $d = 5$ setzen:

Vektoren $\vec{O B}$ und $\vec{B A}$

Gleich 0 setzen und nach $a$ auflösen