Aufgabe P2
Gegeben ist die in R definierte Funktion f mit f(x)=x3âx.
Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt f dar.
Geben Sie die Graphen an, die dafĂŒr nicht infrage kommen, und begrĂŒnden Sie Ihre Angabe. (2BE)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzierbarkeit
Abbildung II
Abbildung II kann die Funktion f(x)=x3âx nicht darstellen. Betrachte zum Beispiel f(0,5)=0,53â0,5<0, was nicht mit dem Graphen ĂŒbereinstimmt.
Alternativ kannst du auch argumentieren, dass die Funktionswerte von f fĂŒr xââ gegen â gehen mĂŒssen. Das stimmt aber nicht mit der Skizze ĂŒberein.
Abbildung III
Abbildung III kann die Funktion f(x)=x3âx nicht darstellen da sie an den Stellen x=â0,5 und x=0,5 nicht differenzierbar ist.
Somit stellt Abbildung I die Funktion f(x) dar.
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Betrachte die Steigung und die Differenzierbarkeit der Graphen.
Berechnen Sie den Inhalt der FlĂ€che, die der Graph von f und die x-Achse einschlieĂen. (3BE)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: FlĂ€chenberechnung mit Integralen
VorsichtFlĂ€cheninhalt und Integral In der Aufgabenstellung ist nach dem FlĂ€cheninhalt gefragt. Der FlĂ€cheninhalt zwischen einer Kurve und der x-Achse ist immer gröĂer als null, denn er entspricht dem Absolutbetrag des Integrals.
Das Integral der Funktion f wĂ€re immer 0 fĂŒr ein Intervall [âc;c], câR, weil der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Schnittpunkte mit der x-Achse:
f(x)=x3âx
Mit der x-Achse (y=0) gleichsetzen.
x3âx = 0 â Ausklammern
x(x2â1) = 0 â 1. Nullstelle bei x1â=0, Klammer 0 setzen fĂŒr x2,3â
x2â1 = 0 +1 x2 = 1 ±â â â
x2,3â = ±1 FlĂ€chenberechnung:
Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, reicht es aus, die FlĂ€chenstĂŒcke auf einer Seite der y-Achse zu berechnen und den Wert zu verdoppeln. Denn die FlĂ€chenstĂŒcke rechts und links der x-Achse sind gleich groĂ.
FlĂ€che A unter dem Graphen zwischen â1 und 0
A = â«â10â(x3âxâ)dx â Bestimme eine Stammfunktion.
= [41âx4ââ 21âx2â]â1â0â â In die Klammer wird der rechte Schnittpunkt (x1â=0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Schnittpunkt (x2â=â1) gerechnet.
= 41ââ 04ââ 21ââ 02â â(41ââ (â1)4ââ 21ââ (â1)2â) â Klammern auflösen und zusammenfassen.
= â41â+ 2â1â = 41â Das FlĂ€chenmaĂ unter dem Graphen zwischen â1 und 1 betrĂ€gt also 41ââ 2=21â.
Hinweis: eine kompaktere Rechnung findest du hier
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Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse.
Das sind die Grenzen fĂŒr das Integral.
Bestimme die Stammfunktion und berechne den FlÀcheninhalt.