Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

Aufgabe P2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^{3}-x$ .

Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt $f$ dar.
Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie Ihre Angabe. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzierbarkeit
Abbildung II
Abbildung II kann die Funktion $f(x)=x^{3}-x$ nicht darstellen. Betrachte zum Beispiel $f(0{,}5)=0{,}5^{3}-0{,}5<0,$ was nicht mit dem Graphen übereinstimmt.
Alternativ kannst du auch argumentieren, dass die Funktionswerte von $f$ für $x\to\infty$ gegen $\infty$ gehen müssen. Das stimmt aber nicht mit der Skizze überein.
Abbildung III
Abbildung III kann die Funktion $f(x)=x^{3}-x$ nicht darstellen da sie an den Stellen $x=-0{,}5$ und $x=0{,}5$ nicht differenzierbar ist.
Somit stellt Abbildung I die Funktion $f(x)$ dar.
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Betrachte die Steigung und die Differenzierbarkeit der Graphen.

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen. (3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

In der Aufgabenstellung ist nach dem Flächeninhalt gefragt. Der Flächeninhalt zwischen einer Kurve und der x-Achse ist immer größer als null, denn er entspricht dem Absolutbetrag des Integrals.

Das Integral der Funktion $f$ wäre immer $0$ für ein Intervall $[-c;c]$ , $c\in\mathbb{R}$ , weil der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Schnittpunkte mit der x-Achse:

$f(x)=x^3-x$

Mit der $x$ -Achse $(y=0)$ gleichsetzen.

$\displaystyle x^3-x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ausklammern
$\displaystyle x\left(x^2-1\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$1$ . Nullstelle bei $x_1=0$ , Klammer 0 setzen für $x_{2{,}3}$
$\displaystyle x^2-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \pm\sqrt{ }$
	↓
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm1$

Flächenberechnung:

Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, reicht es aus, die Flächenstücke auf einer Seite der $y$ -Achse zu berechnen und den Wert zu verdoppeln. Denn die Flächenstücke rechts und links der $x$ -Achse sind gleich groß.

Fläche $A$ unter dem Graphen zwischen $-1$ und $0$

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \int_{-1}^0\left(x^3-x_{ }\right)dx$
	↓	Bestimme eine Stammfunktion.
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{4}x^4−\ \frac{1}{2}x_{ }^2\right]_{_{-1}}^0$
	↓	In die Klammer wird der rechte Schnittpunkt $(x_1=0)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Schnittpunkt $(x_2=-1)$ gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}⋅0^4−\ \frac{1}{2}⋅0_{ }^2\ -\left(\frac{1}{4}⋅\left(-1\right)^4−\ \frac{1}{2}⋅\left(-1\right)_{ }^2\right)$
	↓	Klammern auflösen und zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}+\ \frac{1}{2_{ }}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$

Das Flächenmaß unter dem Graphen zwischen $−1$ und $1$ beträgt also $\dfrac{1}{4}⋅2=\dfrac{1}{2}.$

Hinweis: eine kompaktere Rechnung findest du hier

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Aufgabe P2

Abbildung II

Abbildung III

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Schnittpunkte mit der x-Achse:

Flächenberechnung:

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