Wahlteil 1 - WTR

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Aufgaben zu Prüfung IGS E 2022, Wahlteil 1 - WTR. Zum Download hier.

Aufgabe 5

Batterien für Elektroautos speichern unterschiedlich viel Energie.

Um die Batteriepreise vergleichen zu können, wird der Preis in Euro pro Kilowattstunde (kWh) angegeben. Der Graph $f$ beschreibt die Entwicklung des Batteriepreises.

Ralf hat eine Modellierung für die Preise von 2010 bis 2015 vorgenommen und folgende Funktionsgleichung aufgestellt.

$f(x)=1029{,}4 \cdot 0{,}84^{x}$

Erkläre die Bedeutung der Zahlen $1029{,}4$ und $0{,}84$ sowie von $\textbf{x}$ und $\textbf{f(x)}$ im Sachzusammenhang. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
$\textbf{x}$ steht für die Zeit in Jahren seit Jahresbeginn $\text{2010}.$
$\textbf{f(x)}$ steht für den Preis in Euro pro Kilowattstunde.
$\textbf{1029{,}4}$ ist der Preis in Euro pro Kilowattstunde zu Beginn des Jahres $\text{2010}$ .
$\textbf{0{,}84}$ ist der Faktor, um den die Preise pro Jahr abnehmen.
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In der Abbildung ist der Punkt $P(5 \mid 430{,}51)$ eingetragen.
Erkläre die Bedeutung des Punktes im Sachzusammenhang. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Nach $\textbf{5}$ Jahren, zu Beginn des Jahres $2015$ , beträgt der Preis
pro Kilowattstunde $\textbf{430{,}51}$ $€$ .
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Berechne mithilfe der Funktion $\textbf{f}$ den voraussichtlichen Batteriepreis pro $\mathrm{kWh}$ zu Beginn des Jahres $2018$ . (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
$\mathrm{f(x)=1029{,}4\cdot 0{,}84^{x}\quad\Rightarrow f(8)=1029{,}4\cdot 0{,}84^8}$
$\mathrm{f(8)=255{,}16}$
Der Batteriepreis pro Kilowattstunde beträgt zu Beginn des Jahres $2018$ etwa $\boxed{255\ €}$ .
Trage den Batteriepreis in die Lücke ein.
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Setze fur $\mathrm{x=8}$ in die Funktionsgleichung ein, und berechne den Funktionswert $\mathrm{f(x)}$ .
Berechne mithilfe von Ralfs Modell den Batteriepreis pro kWh zu Beginn des Jahres 2008. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
$\mathrm{f(x)=1029{,}4\cdot 0{,}84^x\quad\Rightarrow f(-2)=1029{,}4\cdot 0{,}84^{-2}}$
$\mathrm{f(-2)=\dfrac{1029{,}4}{0{,}84^x}\quad\Rightarrow f(-2)=\dfrac{1029{,}4}{0{,}84^{2}}}$
$\mathrm{f(-2)=1458{,}90}$
Zu Beginn des Jahres $2008$ betrug nach diesem Modell der Batteriepreis pro
Kilowattstunde ungefähr: $\boxed{1459\ €}$ .
Trage den Batteriepreis pro Kilowattstunde in die Lücke ein.
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Setze für $\mathrm{x=-2}$ in die Funktionsgleichung ein, und berechne den Funktionswert.

Die Kosten für die Batterie bestimmen stark die Kosten für das Elektroauto. Laut Experten werden Elektroautos günstiger als mit Benzin fahrende Autos, sobald der Batteriepreis unter $170~ €$ pro kWh fällt.

Bestimme, in welchem Jahr der Preis voraussichtlich erstmals unter $170~€$ liegt. (3 BE)

Ralf findet eine Abbildung zur Entwicklung des Batteriepreises.
Überprüfe, ob die Funktion $f$ zu dieser Angabe passt. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Der Preis einer Batterie pro Kilowattstunde im Jahre $2010$ beträgt :
$1029{,}40\ €$
Der Preis einer Batterie pro Kilowattstunde im Jahre $2015$ beträgt :
$430{,}51\ €\quad$ (siehe Teilaufgabe $\textbf{b}$ ).
Rechnerische Überprüfung der Entwicklung des Batteriepreises.
$\mathrm{p=\dfrac{1029{,}4-430{,}51}{1029{,}4}\cdot100\ \%\quad\Rightarrow p=58{,}18\ \%}$
Die Funktion $\bold{\mathrm{f(x)=1029{,}4\cdot 0{,}84^x}}$ passt zu dieser Abbildung.
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Vergleiche den Batteriepreis von $2010$ mit dem Batteriepreis von $2015$ und berechne den prozentualen Unterschied.
Zu Beginn des Jahres 2021 lag der tatsächliche Batteriepreis bei $95~€$ pro kWh.
Yasmin stellt fest, dass der Preis nicht zu Ralfs Modellierung passt.
Berechne, um wie viel Euro Ralfs Modellierung vom tatsächlichen Preis abweicht. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
$\mathrm{f(x)=1029{,}4\cdot 0{,}84^x}$
$\mathrm{f(11)=1029{,}4\cdot0{,}84^{11}\quad\Rightarrow f(11)=151{,}24}\ €$
Abweichung des Batteriepreises:
$\ 151{,}24-95=56{,}24\ €$
Ralfs Modellierung weicht um ungefähr $\ \boxed{56\ €}\$ vom tatsächlichen Preis ab.
Trage den Wert in die Lücke ein.
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Berechne den Batteriepreis im Jahr $2021$ indem Du für $\textbf{x =11}$ in die Funktionsgleichung einsetzt.
Im Koordinatensystem ist der Ladevorgang einer Batterie dargestellt.
Beschreibe mithilfe des Graphen den Ladevorgang. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme
Zu Beginn wird die Batterie sehr schnell geladen. Je länger der Ladevorgang dauert, desto geringer wird der Anstieg der Akkuladung. Die Ladung nähert sich
$100\ \%.$
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Begründe, warum es sich beim Ladevorgang um kein exponentielles Wachstum handelt. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Bei einem exponentiellem Wachstum wäre die Ladegeschwindigkeit am Anfang gering und würde mit zunehmender Zeit immer schneller werden. Beim diesem Ladevorgang handelt es sich um kein exponentielles Wachstum, weil die Ladegeschwindigkeit mit zunehmender Zeit langsamer wird.
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Der Graph kann mit $g(x)=100-100 \cdot 0.96^{x}$ beschrieben werden.
Begründe, dass die Funktion $\textbf{g}$ nie den Wert $100$ erreicht. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschränktes exponentielles Wachstum
Bei dem Term $100-100\cdot 0{,}96^\text{x}$ wird von $100$ subtrahiert. $100\cdot 0{,}96^\text{x}$ steht für eine exponentielle Abnahme. Dieser Term ist immer positiv. Der Funktionswert von $\textbf{g}$ ist deshalb immer kleiner als $100.$
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Überlege welche Werte der Term $\mathrm{100\cdot 0{,}96^x}$ annehmen kann.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 170$	$=$	$\displaystyle 1029{,}4 \cdot 0{,}84^{x}$	$\displaystyle :1029{,}4$
	↓	dividiere
$\displaystyle \dfrac{170}{1029{,}4}$	$=$	$\displaystyle 0{,}84^{x}$	$\displaystyle \text{lg}$
	↓	logarithmiere
$\displaystyle \mathrm{lg\left(\dfrac{170}{1029{,}4}\right)}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{lg\left(0{,}84^{x}\right)}$
	↓	Logarithmusgesetze anwenden
$\displaystyle \mathrm{x\cdot lg(0{,}84)}$	$=$	$\displaystyle \lg(1705)-\lg(1029{,}4)$	$\displaystyle :\lg0{,}84$
	↓	dividiere
$\displaystyle \text{x}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\lg(170)-\lg(1029{,}4)}{\lg(0{,}84)}$
	↓	berechnen mit dem Taschenrechner
$\displaystyle \text{x}$	$=$	$\displaystyle 10{,}30$

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Aufgabe 5

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