Prüfungsteil 2 2021 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2: Blobbing

Blobbing ist eine Wassersportart im Freien (Abbildung 1).

Eine vereinfachte Darstellung des Ablaufs ist in Abbildung 2 dargestellt. Beim Blobbing liegt ein mit Luft gefülltes Kissen im Wasser.

(1) Der Jumper springt vom Turm auf das Luftkissen.

(2) Auf der anderen Seite des Kissens ist der Blobber. Durch den Sprung befördert der Jumper den Blobber in die Luft.

Abbildung 1: Ablauf eines BlobbingSprunges als überlagerte Aufnahme

(3) Der Blobber wird in die Luft geschleudert und landet dann im Wasser.

Abbildung 2: Vereinfachte Darstellung des Blobbing-Ablaufs (nicht maßstabsgetreu)

Der Jumper kann zwischen verschiedenen Absprunghöhen wählen. Ein Sprung aus fünf Meter Höhe dauert ca. 1 Sekunde. Ein Sprung aus zehn Meter Höhe dauert ca. 1,42 Sekunden.

Tabelle 1: Sprungdauer in Abhängigkeit von der Absprunghöhe

Skizziere zu den Werten aus Tabelle 1 den passenden Graphen in dem abgebildeten Koordinatensystem (Abbildung 3). (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem
Skizzieren des zur Tabelle passenden Graphen.
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Übertrage die Werte aus der Tabelle in das Koordinatensystem, wobei die Absprunghöhe auf der x-Achse, die Sprungdauer auf der y-Achse liegt.
Überprüfe, ob es zwischen der Absprunghöhe und der Sprungdauer einen linearen Zusammenhang gibt. Notiere deinen Lösungsweg. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Wachstum
Wir wählen zwei Punkte und überprüfen die Zunahme
Bei 0 Metern dauert der Sprung 0 Sekunden
Bei 5 Metern dauert der Sprung 1 Sekunde
Innerhalb von 5 Metern, nimmt die Dauer also um 1 Sekunde zu.
Wir überprüfen nun, ob bei zwei anderen Absprunghöhen mit 5 Metern Abstand die Dauer auch um 1 Sekunde zunimmt.
Zwischen 5 und 10 Metern liegt wieder derselbe Abstand vor, also müsste bei einem linearen Wachstum auch wieder die Dauer um 1 Sekunde zunehmen.
Dies ist nicht der Fall, deshalb handelt es sich um keinen linearen Zusammenhang
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Wähle zwei Punkte und berechne die Zunahme, indem du die Differenz der beiden Dauern berechnest.
Wähle zwei weitere Punkte mit demselben Abstand und berechne erneut die Zunahme.
Überlebe dir, wie sich die Zunahme bei einem linearen Wachstum verhalten muss und folgere so deine Entscheidung.
Abbildung 4 zeigt die Flugbahn eines Blobbers A.
Begründe, dass sich die Funktion $f$ mit
$\displaystyle f(x)=-0{,}2 \cdot(x-5)^{2}+6$
zur Modellierung der Flugbahn von Blobber A eignet. (3 P)
Abbildung 4: Flugbahn des Blobbers A

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Koordinaten des Scheitelpunkts
Aus der Skizze lesen wir den Scheitel $S (5 ∣ 6)$ ab.
Die Funktion hat dann allgemein den Funktionsterm:
$\mathrm{f(x)=a\cdot(x-5)^2+6;\qquad }$
Berechnen von $\mathrm{f(0)}$ zur Bestimmung von a
$\mathrm{f(0)=a\cdot(0-5)^2+6\quad\Rightarrow f(0)=25a+6}$
Der Skizze nach muss $f (0) = 1$ betragen. Dann gilt:
$\displaystyle 1$ $=$ $\displaystyle 25a+6$ $\displaystyle -6$
$\displaystyle -5$ $=$ $\displaystyle 25a$ $\displaystyle :25$
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle -0{,}2$
Die Funktion $\text{f}$ mit $\mathrm{f(x)=-0{,}2 \cdot(x-5)^{2}+6}$ , eignet sich zur Modellierung der Flugbahn von Blobber $\text{A}$ , da der Scheitel $\text{S}$ und $\mathrm{f(0)}=1$ mit dem Funktionsgraphen von $\mathrm{f(x)}$ übereinstimmen.
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Die Scheitelform lautet: $\mathrm{f(x)=a\cdot(x-d)^2+e}$
Setze den Scheitel des Graphen in die Form ein und bestimme mit einem anderen Punkt den Wert des Parameters $a$ .
Die Flugbahn von Blobber A kann somit durch die Funktion $f$ mit $f(x)=-0{,}2 \cdot(x-5)^{2}+6$ beschrieben werden.
Die Funktionsgleichung $g$ mit $g(x)=-0{,}2 \cdot x^{2}+2 x+1$ beschreibt dieselbe Flugbahn.
Zeige durch Termumformungen, dass die Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ dieselbe Parabel beschreiben. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Umwandeln von $\mathrm{f(x)}$ in die allgemeine Form:
auflösen der Klammer:
$\mathrm{f(x)=-0{,}2\cdot(x^2-10x+25)+6}$
$\mathrm{f(x)=-0{,}2x^2+2x-5+6}$
zusammenfassen:
$\mathrm{f(x)=-0{,}2x^2+2x+1}$
$\rule{10cm}{0.5mm}$
$f$ und $g$ sind identisch: $f (x) = g (x)$
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Wandle die Scheitelform von $\mathrm{f(x)}$ in die allgemeine Form um.

Berechne, wie weit Blobber A geflogen ist. (4 P)

Die Flugbahn eines zweiten Blobbers B wird mit der Funktion $h$ mit $h(x)=-0{,}28 \cdot x^{2}+2{,}8 x+1$ beschrieben.

Nenne eine Gemeinsamkeit und einen Unterschied der Flugbahn des zweiten Blobbers B im Vergleich zur Flugbahn von Blobber A. (2 P)

Die Blobbing-Anlage muss aus Sicherheitsgründen so beschaffen sein, dass eine Flughöhe von $15 \mathrm{~m}$ nicht überschritten wird.

Zeige rechnerisch, dass auch der zweite Blobber B diese Flughöhe nicht überschreitet. (2 P)

setze $\mathrm{f(x)}=0$
	↓
$\displaystyle -0{,}2x^2+2x+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel
$\displaystyle \mathrm{x_{1/2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2+4\cdot0{,}2\cdot1}}{-0{,}4}$
$\displaystyle \mathrm{x_{1/2}}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\dfrac{-2\pm\sqrt{4{,}8}}{-0{,}4}}$
$\displaystyle \mathrm{x_1}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\dfrac{-2-2{,}19}{-0{,}4}}$
$\displaystyle \mathrm{x_1}$	$\approx ≈$	$\displaystyle 10{,}475$
$\displaystyle \mathrm{x_2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2+2{,}19}{-0{,}4}$
$\displaystyle \mathrm{x_2}$	$\approx ≈$	$\displaystyle -0{,}475$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}28x^2+2{,}8x+1$
	↓	$- 0,28$ ausklammern
	$=$	$\displaystyle -0{,}28\left(x^2-10x\right)+1$
	↓	$10 x$ umschreiben zu $2\cdot 5x$ für die quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle -0{,}28\left(x^2-2\cdot{\color{blue}5}x\right)+1$
	↓	quadratische Ergänzung
	$=$	$\displaystyle -0{,}28\left(x^2-2\cdot 5x+{\color{blue}5^2}-{\color{blue}5^2}\right)+1$
	↓	2. Binomische Formel
	$=$	$\displaystyle -0{,}28\left(\left(x-5\right)^2-25\right)+1$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle -0{,}28\left(x-5\right)^2+7+1$
	$=$	$\displaystyle -0{,}28\left(x-5\right)^2+8$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 15$
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle -0{,}28x^2+2{,}8x+1$	$\displaystyle -15$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -0{,}28x^2+2{,}8x-14$

Aufgabe 2: Blobbing

Skizzieren des zur Tabelle passenden Graphen.

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Wir wählen zwei Punkte und überprüfen die Zunahme

Wir überprüfen nun, ob bei zwei anderen Absprunghöhen mit 5 Metern Abstand die Dauer auch um 1 Sekunde zunimmt.

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Koordinaten des Scheitelpunkts

Berechnen von $\mathrm{f(0)}$ zur Bestimmung von a

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Umwandeln von $\mathrm{f(x)}$ in die allgemeine Form:

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Lösen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel.

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Scheitelpunktform bestimmen:

Mögliche Gemeinsamkeiten:

Mögliche Unterschiede:

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Wir setzen die Gleichung "= 15":

Mithilfe der Mitternachtsformel untersuchen wir die Diskriminante:

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$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 25a+6$	$\displaystyle -6$
$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle 25a$	$\displaystyle :25$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle -0{,}2$

Aufgabe 2: Blobbing

Skizzieren des zur Tabelle passenden Graphen.

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Wir wählen zwei Punkte und überprüfen die Zunahme

Wir überprüfen nun, ob bei zwei anderen Absprunghöhen mit 5 Metern Abstand die Dauer auch um 1 Sekunde zunimmt.

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Koordinaten des Scheitelpunkts

Berechnen von f(0)\mathrm{f(0)}f(0) zur Bestimmung von a

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Umwandeln von f(x)\mathrm{f(x)}f(x) in die allgemeine Form:

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Lösen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel.

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Scheitelpunktform bestimmen:

Mögliche Gemeinsamkeiten:

Mögliche Unterschiede:

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Wir setzen die Gleichung "= 15":

Mithilfe der Mitternachtsformel untersuchen wir die Diskriminante:

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Berechnen von $\mathrm{f(0)}$ zur Bestimmung von a

Umwandeln von $\mathrm{f(x)}$ in die allgemeine Form: