Teil 1 Analysis - lernen mit Serlo!

Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G_{f}$ einer ganzrationalen Funktion $f$ zweiten Grades mit der Definitionsmenge $D_f=\R$ .

Der Graph der Funktion f und die x-Achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bestimmtes Integral berechnen

Funktionsterm aufstellen

Es gibt verschiedene Wege, den Funktionsterm zu ermitteln. Hier wird die Produktform verwendet:

$f(x)=a(x-x_1)\cdot(x-x_2)$

Die beiden Nullstellen $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = 2$ kannst du dem Graphen entnehmen.

$f (x) = a (x - (- 2)) (x - 2) = a (x + 2) (x - 2)$

Um den Öffnungsfaktor a zu bestimmen, setze zum Beispiel den Punkt $P (0 ∣ 4)$ ein:

$\displaystyle f\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle a\left(0+2\right)\left(0-2\right)$	$=$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle a\cdot\left(-4\right)$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :\left(-4\right)$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle -1$

Multipliziere den fertigen Funktionsterm aus, damit du im nächsten Schritt gut integrieren kannst:

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -1\left(x+2\right)\left(x-2\right)$
	$=$	$\displaystyle -1\left(x^2-4\right)$
	$=$	$\displaystyle -x^2+4$

bestimmtes Integral

Bestimme den Flächeninhalt, indem du das bestimmte Integral für $x\in[-2;2]$ berechnest.

$\displaystyle \int_{-2}^2f\left(x\right)dx$	$=$	$\displaystyle \int_{-2}^2\left(-x^2+4\right)dx$
	↓	Bilde eine Stammfunktion
	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{1}{3}x^3+4x\right]_{-2}^2$
	↓	Statt den Grenzen $x = - 2$ und $x = 2$ kann man aufgrund der Achsensymmetrie auch das Doppelte vom Integral $\int_0^2f(x) dx$ berechnen
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left[-\frac{1}{3}x^3+4x\right]_0^2$
	↓	Setze die obere Grenze und die untere Grenze ein und subtrahiere
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(\left(-\frac{1}{3}\cdot2^3+4\cdot2\right)-\left(-\frac{1}{3}\cdot0^3+4\cdot0\right)\right)$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(-\frac{8}{3}+8\right)$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(\frac{24}{3}-\frac{8}{3}\right)$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{16}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{32}{3}$

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Die Funktion F mit der Definitionsmenge $D_F=\mathbb{R}$ ist eine Stammfunktion von f. Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{F}$ bezeichnet.
Beschreiben Sie den Globalverlauf des Graphen $G_{F}$ in Worten. Gehen Sie auch auf das Monotonieverhalten, die Lage und die Art der Extremstellen sowie auf die Lage der Wendestellen von $F$ ein. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Monotonieverhalten
Immer, wenn $G_{f}$ unterhalb der x-Achse verläuft, fällt der Graph von $G_{F}$ . Ist er oberhalb der x-Achse, steigt $G_{F}$ :
$G_{F}$ fällt für $x < - 2$ und $x > 2$
$G_{F}$ steigt für $- 2 < x < 2$
Extremstellen
Aus dem Monotonieverhalten kannst du die Extremstellen bestimmen:
Der Graph von $G_{F}$ wechselt bei $x = - 2$ von fallend zu steigend: Dort liegt ein Tiefpunkt
Der Graph $G_{F}$ wechselt bei $x = 2$ von steigend zu fallend: Dort liegt ein Hochpunkt
Globalverlauf von $G_{F}$
Da $G_{f}$ zu Beginn unterhalb der x-Achse verläuft, fällt der Graph von $G_{F}$ für $x\to -\infty$ . Er muss also von links oben kommen und es gilt $lim_{x\to-\infty}F(x)=+\infty$ .
Für $x\to +\infty$ ist der Graph von $f$ erneut unterhalb der x-Achse, das heißt der Graph $G_{F}$ fällt für $x\to+\infty$ : $lim_{x\to+\infty}F(x)=-\infty$ .
Wendestelle
Die Wendestellen liegen bei den Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel) der zweiten Ableitung. Dies sind zugleich die Extremstellen der 1. Ableitung.
Somit ist die Wendestelle bei $x = 0$ .
Aussehen der Stammfunktion (nicht gefragt)
Es gibt unendlich viele Stammfunktionen von f, wobei diese sich nur durch Verschiebung in y-Richtung unterscheiden. Eine mögliche Stammfunktion sieht so aus:
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Du sollst den Zusammenhang zwischen dem Graphen von $f$ und dem Graphen seiner Stammfunktion F finden.
Dabei beschreibt $f$ das Monotonieverhalten von $G_{f}$ .
Monotonie/Globalverlauf: Untersuche, wann $G_{f}$ oberhalb/unterhalb der x-Achse verläuft.
Extremstellen: Untersuche, wo $G_{f}$ Nullstellen hat.
Wendepunkte: Untersuche, wo $G_{f}$ Extremstellen hat.

Funktionsterm aufstellen

bestimmtes Integral

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Monotonieverhalten

Extremstellen

Globalverlauf von GFG_FGF​

Wendestelle

Aussehen der Stammfunktion (nicht gefragt)

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Globalverlauf von $G_{F}$