Teil 1 Analysis - lernen mit Serlo!

Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G_{f}$ einer ganzrationalen Funktion $f$ zweiten Grades mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ .

Der Graph der Funktion f und die x-Achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (4 BE)

Die Funktion F mit der Definitionsmenge $D_{F} = ℝ$ ist eine Stammfunktion von f. Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{F}$ bezeichnet.
Beschreiben Sie den Globalverlauf des Graphen $G_{F}$ in Worten. Gehen Sie auch auf das Monotonieverhalten, die Lage und die Art der Extremstellen sowie auf die Lage der Wendestellen von $F$ ein. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Monotonieverhalten
Immer, wenn $G_{f}$ unterhalb der x-Achse verläuft, fällt der Graph von $G_{F}$ . Ist er oberhalb der x-Achse, steigt $G_{F}$ :
$G_{F}$ fällt für $x < - 2$ und $x > 2$
$G_{F}$ steigt für $- 2 < x < 2$
Extremstellen
Aus dem Monotonieverhalten kannst du die Extremstellen bestimmen:
Der Graph von $G_{F}$ wechselt bei $x = - 2$ von fallend zu steigend: Dort liegt ein Tiefpunkt
Der Graph $G_{F}$ wechselt bei $x = 2$ von steigend zu fallend: Dort liegt ein Hochpunkt
Globalverlauf von $G_{F}$
Da $G_{f}$ zu Beginn unterhalb der x-Achse verläuft, fällt der Graph von $G_{F}$ für $x \to - \infty$ . Er muss also von links oben kommen und es gilt $l i m_{x \to - \infty} F (x) = + \infty$ .
Für $x \to + \infty$ ist der Graph von $f$ erneut unterhalb der x-Achse, das heißt der Graph $G_{F}$ fällt für $x \to + \infty$ : $l i m_{x \to + \infty} F (x) = - \infty$ .
Wendestelle
Die Wendestellen liegen bei den Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel) der zweiten Ableitung. Dies sind zugleich die Extremstellen der 1. Ableitung.
Somit ist die Wendestelle bei $x = 0$ .
Aussehen der Stammfunktion (nicht gefragt)
Es gibt unendlich viele Stammfunktionen von f, wobei diese sich nur durch Verschiebung in y-Richtung unterscheiden. Eine mögliche Stammfunktion sieht so aus:
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Du sollst den Zusammenhang zwischen dem Graphen von $f$ und dem Graphen seiner Stammfunktion F finden.
Dabei beschreibt $f$ das Monotonieverhalten von $G_{f}$ .
Monotonie/Globalverlauf: Untersuche, wann $G_{f}$ oberhalb/unterhalb der x-Achse verläuft.
Extremstellen: Untersuche, wo $G_{f}$ Nullstellen hat.
Wendepunkte: Untersuche, wo $G_{f}$ Extremstellen hat.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$f (0)$	$=$	$4$
$a (0 + 2) (0 - 2)$	$=$	$4$
$a \cdot (- 4)$	$=$	$4$	$: (- 4)$
$a$	$=$	$- 1$

$f (x)$	$=$	$- 1 (x + 2) (x - 2)$
	$=$	$- 1 (x^{2} - 4)$
	$=$	$- x^{2} + 4$

$\int_{- 2}^{2} f (x) d x$	$=$	$\int_{- 2}^{2} (- x^{2} + 4) d x$
	↓	Bilde eine Stammfunktion
	$=$	${[- \frac{1}{3} x^{3} + 4 x]}_{- 2}^{2}$
	↓	Statt den Grenzen $x = - 2$ und $x = 2$ kann man aufgrund der Achsensymmetrie auch das Doppelte vom Integral $\int_{0}^{2} f (x) d x$ berechnen
	$=$	$2 \cdot {[- \frac{1}{3} x^{3} + 4 x]}_{0}^{2}$
	↓	Setze die obere Grenze und die untere Grenze ein und subtrahiere
	$=$	$2 \cdot ((- \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2) - (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0))$
	$=$	$2 \cdot (- \frac{8}{3} + 8)$
	$=$	$2 \cdot (\frac{24}{3} - \frac{8}{3})$
	$=$	$2 \cdot \frac{16}{3}$
	$=$	$\frac{32}{3}$

Funktionsterm aufstellen

bestimmtes Integral

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Monotonieverhalten

Extremstellen

Globalverlauf von $G_{F}$

Wendestelle

Aussehen der Stammfunktion (nicht gefragt)

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Funktionsterm aufstellen

bestimmtes Integral

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Monotonieverhalten

Extremstellen

Globalverlauf von GF

Wendestelle

Aussehen der Stammfunktion (nicht gefragt)

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Globalverlauf von $G_{F}$