Die Koordinaten der Punkte $D$ und $H$

$D$ hat dieselbe x-Koordinate wie der Punkt $A$ also $27$.

Die y-Koordinate vom Punkt $B$ ist $18$ und die vom Punkt $C$ ist $39$. Der Abstand der beiden Punkte $B$ und $C$ ist also $39-18=21$.

Um die y-Koordinate des Punktes $D$ zu erhalten, muss zur y-Koordinate $39$ vom Punkt $C$ $21$ addiert werden$\;\Rightarrow\; 39+21=60$.

Die z-Koordinate von $D$ ist $0\;\Rightarrow\;D(27|60|0)$

$H$ hat die x-Koordinate $x=0$.

$H$ hat dieselbe y-Koordinate wie der Punkt $C$, also $y=39$.

Die z-Koordinate von $H$ ist gleich der z-Koordinaten von $F$, also $z=3{,}5$.

$\Rightarrow\;H(0|39|3{,}5)$

Die Länge der Diagonalen des Spielfeldes

Die Länge der Diagonale ist:

$|\overrightarrow{OE}|=\sqrt{27^2+78^2+0^2}=\sqrt{6813}\approx82{,}5$

Die Länge der Diagonalen des Spielfeldes beträgt rund $82{,}5\;\text{ft}$.

Die Koordinaten des Punktes, in dem der Ball sich über dem Netz befindet

Der Punkt $R$, in dem der Ball das Netz überquert, hat die gleiche y-Koordinate wie der Punkt $C, y=39$: $\;\Rightarrow\;R(x|39|z)$

Der Punkt $R(x|39|z)$ liegt auf der Flugbahn $\vec x= \overrightarrow{OP}+r\cdot \vec v$.

$\begin{pmatrix}x\\39\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\0\\10{,}4\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\-10{,}4\end{pmatrix}$

Aus Gleichung $\mathrm{ (II)}$ folgt: $r=\dfrac{39}{58{,}5}=\dfrac{2}{3}$.

Damit ist dann $x=13+\dfrac{2}{3}\cdot 13=\dfrac{65}{3}$ und $z=10{,}4+\dfrac{2}{3}\cdot (-10{,}4)=\dfrac{52}{15}$

Der Punkt $R$ hat die Koordinaten $R\left(\frac{65}{3}|39|\frac{52}{15}\right)$

Die Höhe des Netzes an der Stelle, an der der Ball das Netz überquert

Die Netzoberkante wird durch folgende Gleichung beschrieben:

$l:\;\vec x=\overrightarrow{OF}+s\cdot \overrightarrow{FM}$

$l:\;\vec x=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \left(\begin{pmatrix}13{,}5\\39\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-13{,}5\\0\\-0{,}5\end{pmatrix}$

Der Punkt der Netzoberkante, der überquert wird, ist $V(\frac{65}{3}\mid 39\mid z)$.

Der Punkt $V$ muss auf der Netzoberkante $l$ liegen:

$\begin{pmatrix}\frac{65}{3}\\39\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}27\\39\\3{,}5\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-13{,}5\\0\\-0{,}5\end{pmatrix}$

Gleichung $\mathrm{(I)}$ lautet: $\dfrac{65}{3}=27-13{,}5\cdot s$

Auflösung nach $s$:

Dann folgt für die z-Koordinate:

$z=3{,}5+\dfrac{32}{81}\cdot (-0{,}5)=\dfrac{535}{162}\approx3{,}3$

Der Punkt $V$ hat die Koordinaten $V(\frac{65}{3}|39|\frac{535}{162})$.

Das Netz hat eine Höhe von etwa $3{,}3\;\text{ft}$ an der Stelle, an der es von dem Ball

überquert wird.

Gleichung der Geraden $h$

Der Punkt $P(13|0|10{,}4)$ muss an der xy-Ebene gespiegelt werden.

$\Rightarrow\;P'(13|0|-10{,}4)$

Die Gerade $h$ geht durch die Punkte $P'(13|0|-10{,}4)$ und $Q(26|58{,}5| 0)$.

$h:\;\vec x=\overrightarrow{OQ}+r\cdot \overrightarrow{P'Q}$

mit $r\in\mathbb{R}$.

Die Gleichung der Geraden $h$ lautet:

$h:\;\vec x=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}13\\58{,}5\\10{,}4\end{pmatrix}$

Der Wert von $k$, sodass die Kamera den gleichen Abstand zu Punkt $P$ und zu Punkt $Q$ hat

Gegeben sind $S(k|39| 7)$, $P(13|0| 10{,}4)$ und $Q(26|58{,}5| 0)$.

$\overrightarrow{SP}=\begin{pmatrix}13\\0\\10{,}4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}k\\39\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13-k\\-39\\3{,}4\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{SQ}=\begin{pmatrix}26\\58{,}5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}k\\39\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}26-k\\19{,}5\\-7\end{pmatrix}$

Für den gleichen Abstand muss $|\overrightarrow{SP}|=|\overrightarrow{SQ}|$ sein:

$\Rightarrow\;\sqrt{(13-k)^2+(-39)^2+3{,}4^2}=\sqrt{(26-k)^2+19{,}5^2+(-7)^2}$

Die Lösung ist $k=-22{,}935$.