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Aufgabe 1C

Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=1640x4+140x3980x2+15x+3f(x)=-\frac{1}{640} x^{4}+\frac{1}{40} x^{3}-\frac{9}{80} x^{2}+\frac{1}{5} x+3.

Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden, dass gilt: f(x)=1160x3+340x2940x+15f^{\prime}(x)=-\frac{1}{160} x^{3}+\frac{3}{40} x^{2}-\frac{9}{40} x+\frac{1}{5}

  1. Zeigen Sie, dass der Graph von ff an der Stelle x=12x=12 eine Nullstelle hat und t(x)=52x+30t(x)=-\frac{5}{2} x+30 die Gleichung der Tangente an den Graphen von ff an dieser Stelle angibt. (5BE)

  2. Untersuchen Sie für jede der drei folgenden Aussagen die Gültigkeit mithilfe des Graphen von ff^{\prime} :

    I. Die Funktion ff ist überall monoton steigend.

    II. An der Stelle x=6x=6 hat die Funktion ff kein lokales Maximum.

    III. Die Tangente an den Graphen von ff im Punkt (0,5f(0,5))(0{,}5 \mid f(0{,}5)) ist parallel zu zwei weiteren Tangenten an den Graphen von ff.

    (7BE)

  3. Der Graph der in R\mathbb{R} definierten Funktion hh mit h(x)=f(x+4)110h(x)=f^{\prime}(x+4)-\frac{1}{10} ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

    Geben Sie die Symmetrie des Graphen von ff^{\prime} an und begründen Sie Ihre Angabe ausgehend vom Graphen von hh. (4BE)

  4. Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt eines Carports für ein Wohnmobil. Das Dach des Carports ist in Querrichtung nicht geneigt. Im Folgenden sollen die Materialstärken der Bauteile des Carports vernachlässigt werden.

    Bild

    Die Profillinie des Längsschnitts des Dachs wird zwischen den Punkten A(03)A(0 \mid 3) und B(9f(9))B(9 \mid f(9)) modellhaft mithilfe der Funktion ff beschrieben.

    Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die xx-Achse stellt den horizontalen Untergrund dar.

    Untersuchen Sie, ob ein Wohnmobil mit einer Länge von 7,057{,}05 m und einer Höhe von 3,10 m3{,}10 \mathrm{~m} vollständig im Carport untergestellt werden kann. (4BE)

  5. Die maximale Neigung von Carportdächern sollte bei 25%25 \% liegen. Untersuchen Sie, ob das betrachtete Carportdach diese Eigenschaft erfüllt. (4BE)

  6. Abgesehen von einem 20 cm20 \mathrm{~cm} hohen Streifen unmittelbar über dem Untergrund ist der Carport auf einer Seite über seine gesamte Länge vollständig verkleidet. Die Verkleidung ist eben und vertikal angebracht.

    Berechnen Sie den Inhalt der verkleideten Fläche. (4BE)

  7. Ausgehend vom selben Punkt des Untergrunds verlaufen entlang der seitlichen Verkleidung des Carports zwei geradlinige Stützen jeweils bis zum Dach. Die Stützen schließen einen Winkel mit einer Größe von 60°60° ein. Die Endpunkte der ersten Stütze werden im Modell durch C(60)C(6|0) und D(8f(8))D(8|f(8)) dargestellt.

    Zeichnen Sie die beiden Stützen in die Abbildung ein.

    Berechnen Sie die xx-Koordinate des Punkts, der den Endpunkt der zweiten Stütze am Dach darstellt. (7BE)