Verhalten des Delfins für $x\in [5{,}3;7]$

Da die x-Achse der Wasseroberfläche entspricht, ist der Delfin für $x\in[5{,}3;7]$ über der Wasseroberfläche. Er springt also aus dem Wasser.

Verhalten für $x\to\infty$

Da der Graph zu einer Funktion 4. Grades gehört, deren drei Extremstellen bereits im dargestellten Bereich sind, fällt er immer weiter.

Der Delfin würde also unendlich tief tauchen, was nicht möglich ist, da das Meer nicht unendlich tief ist.

Funktionsterm aufstellen

Du weißt, dass es sich um eine Funktion 4. Grades handelt, die die doppelte Nullstelle $x=1$ und die einfache Nullstelle $x=7$ besitzt (Vielfachheit von Nullstellen).

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Leitkoeffizent $a=-\frac{1}{12}$ ist.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $T(x)=-\frac 1{12}(x-1)^2(x-7)(x-n)$,

wobei n die fehlende Nullstelle ist.

Punkt S einsetzen

Setze $S(0|-\frac{28}9)$ in den Term ein:

Achtung! Da die exakte Lage gefragt ist, darf nicht (direkt) der gerundete Wert 5,33 angegeben werden.

Bestimmung der Extremstellen

Bestimme die erste Ableitung $T':$

$T'(t)=-\frac 1 {12}(4t^3-43t^2+126t-87)$

Bestimme die Nullstellen der 1. Ableitung.

Du musst eine Polynomdivision ausführen.

Du weißt aus dem Graphen, dass bei $x=1$ ein Hochpunkt liegt, also wird die Ableitungsfunktion dort eine Nullstelle haben.

Verwende diese für die Polynomdivision:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll} \phantom{-}(4t^3-43t^2+126t-87)&:(t-1)&=4t^2-39t+87\\ \underline{-(4t^3-4t^2)}\\ \phantom{-(4t^3}-39t^2+126t\\ \phantom{-(4t}\underline{-(-39t^2+39t)}\\ \phantom{-(4t^3-39t^2)}+87t-87\\ \phantom{-(4t^3-39t^2)}\underline{-(87t-87)}\\ \phantom{-(4x^3-39x^2xxxxxxx)}0 \end{array}$

Bestimme die Lösungen von $0=4t^2-39t+87$ mithilfe der Mitternachtsformel, um die anderen beiden Extremstellen zu bekommen.

$t_{2/3}=\frac{-(-39)\pm\sqrt{(-39)^2-4\cdot4\cdot 87}}{2\cdot 4}$ liefert $t_2\approx3{,}46$ und $t_3\approx6{,}29$

Da alle drei Nullstellen der Ableitung eine einfache Vielfachheit haben, hat $G_T$ drei Extremstellen (wie im Graph bereits zu sehen).

Die Art der Extremstellen ist nicht gefragt, deshalb kannst du direkt die Lage der relevanten Extremstellen bestimmen.

Lage der relevanten Extremstellen

Da du den Graph gegeben hast, siehst du bereits, dass bei $t=8$ der absolute Tiefpunkt liegen wird und bei $t\approx 6{,}29$ der absolute Hochpunkt.

Setze diese Werte in T ein:

$T(8)=-\frac{98}9\approx -10{,}89$ und $T(6{,}29)\approx1{,}58$

Damit ergibt sich die Wertemenge $W=[-10{,}89;1{,}58]$

Interpretation im Sachkontext

Der Delfin erreicht im Zeitraum von 0 bis 8 Sekunden eine maximale Tiefe von $10{,}89 m$ unter der Wasseroberfläche und eine maximale Sprunghöhe von $1{,}58m$ über der Wasseroberfläche.

Der Graph hat eine Stelle lokal stärkster Abnahme, wenn der Graph der Ableitungsfunktion $G_{T'}$ einen Tiefpunkt unter der x-Achse besitzt.

Analog gibt es eine Stelle lokal stärkster Zunahme, wenn der Graph der Ableitungsfunktion $G_{T'}$ einen Hochpunkt über der x-Achse besitzt.

Extremstellen der 1. Ableitung

Bestimme die 2. Ableitung von $T'(t)=-\frac 1{12}(4t^3-43t^2+126t-87)$:

$T''(t)=-\frac 1{12}(12t^2-86t+126)$

Bestimme die Nullstellen von $T''$:

Bestimme die Lösungen mit der Mitternachtsformel:

$t_{1/2}=\frac{-(-86)\pm\sqrt{(-86)^2-4\cdot 12\cdot 126}}{2\cdot12}$

Du erhältst die Lösungen $t_1\approx 2{,}05$ und $t_2\approx 5{,}11$

Entscheidung, ob Zu- oder Abnahme

Betrachte das Monotonieverhalten des Graphen $G_{T'}$ der Ableitungsfunktion:

Abtauchgeschwindigkeit und Auftauchgeschwindigkeit

Setze $t=2{,}05$ und $t=5{,}11$ in die erste Ableitung ein. Dadurch beweist du nicht nur, dass es sich tatsächlich um die Stellen stärkster Zu- oder Abnahme handelt, du bestimmst auch die gesuchten Abtauch- und Auftauchgeschwindigkeiten.

$T'(2{,}05)\approx-2{,}09$ ($G_{T'}$ hat TIP unter x-Achse)

$T'(5{,}11)\approx 2{,}69$ ($G_{T'}$ hat HOP über der x-Achse)

Die größte Auftauchgeschwindigkeit ist mit $2{,}69 \frac{m}{s}$ größer als die größte Abtauchgeschwindigkeit von $2{,}09\frac m s$.