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Teil 2 Analysis I

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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  1. 1

    Das Auf- und Abtauchverhalten eines Delfins im Meer wird mittels eines an ihm angebrachten Sensors untersucht. Die momentane Höhe des Sensors in Metern bezogen auf dei WasseroberflÀche in AbhÀngigkeit von der Zeit t in Sekunden lÀsst sich annÀhernd durch die Funktionswerte der Funktion T beschreiben.

    Der Graph der Funktion T wird mit GTG_T bezeichnet und ist im Zeitraum von 0 bis 8 Sekunden im nebenstehenden Koordinatensystem abgebildet.

    Die Funktion T ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades und zum Zeitpunkt t1=1t_1=1 befindet sich der Delfin an der WasseroberflÀche.

    Bei den Berechnungen kann auf das MitfĂŒhren von Einheiten verzichtet werden.

    Bild
    1. Beschreiben Sie anhand des Funktionsgraphen GTG_T den Bewegungsablauf des Delfins im Bereich von t≈5,3t\approx 5{,}3 bis t=7t=7 und erlĂ€utern Sie, ob fĂŒr die Funktion T das Intervall [0;∞[[0;\infty[ fĂŒr den beschriebenen Sachverhalt eine sinnvolle Definitionsmenge ist. (2 BE)

    2. Der Leitkoeffizient im Funktionsterm von T ist gegeben durch a=−112a=-\frac 1{12}. Zudem ist bekannt, dass GTG_T den Schnittpunkt S(0∣−289)S(0|-\frac{28}9) mit der Ordinatenachse besitzt.

      Die zwei ganzzahligen Nullsteleln von T können der Zeichnung entnommen werden.

      Berechnen Sie den exakten Wert der fehlenden Nullstelle von T. (4 BE)

    3. Die Funktion T ist gegeben durch die Funktionsgleichung T(t)=−112(t4−433t3+63t2−87t+1123)T(t)=-\frac 1{12}(t^4-\frac{43}3t^3+63t^2-87t+\frac{112}3) mit der Definitionsmenge DT=[0;8]D_T=[0;8].

      Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen.

      Bestimmen Sie die Wertemenge WTW_T der Funktion T und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. (9 BE)

    4. FĂŒr t∈]1;5,3[t\in]1;5{,}3[ befindet sich der Delfin unter Wasser. Ermitteln Sie rechnerisch, ob in diesem Zeitintervall der Betrag der grĂ¶ĂŸten Abtauchgeschwindigkeit grĂ¶ĂŸer als der Betrag der grĂ¶ĂŸten Auftauchgeschwindigkeit ist. (6 BE)

  2. 2

    An einem KĂŒstenabschnitt stranden immer wieder Delfine. Diese werden in einer Auffangstation gesund gepflegt, bis sie wieder in freier Natur ĂŒberleben können. Um die KapazitĂ€t der Auffangstation zu erhöhen, soll ein zusĂ€tzliches Becken aus Edelstahl angefertigt werden, welches die Form eines geraden Kreiszylinders hat und nach oben offen ist.

    Dazu steht ein begrenzter Vorrat an Edelstahlblechen zur VerfĂŒgung. Diese haben modellhaft insgesamt eine FlĂ€che von 180πm2180 \pi \mathrm{m}^{2}. Aus PlatzgrĂŒnden kann das Becken nur einen maximalen Durchmesser von 20 m20 \mathrm{~m} haben.

    Die Funktion V:r↩V(r)V: r \mapsto V(r) beschreibt die Maßzahl des Volumens des Beckens in Kubikmetern in AbhĂ€ngigkeit vom Radius rr in Metern.

    Bild

    Bei den Berechnungen kann auf das MitfĂŒhren von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.

    1. Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf. BegrĂŒnden Sie, dass fĂŒr die mathematisch maximale Definitionsmenge der Funktion VV gilt: DV=]0;10\left.D_{V}=\right] 0 ; 10 ]

      [ Mögliches Ergebnis: V(r)=−12πr3+90πrV(r)=-\frac{1}{2} \pi r^{3}+90 \pi r ] (5 BE)

    2. Zeigen Sie, dass unter den oben genannten Vorgaben das Becken fĂŒr einen Radius von r=215r=2 \sqrt{15} den maximalen Rauminhalt aufweist. ÜberprĂŒfen Sie anschließend, ob dieses Becken fĂŒr eine vorĂŒbergehende Haltung von drei Delfinen ausreicht, wenn pro Delfin 360 m3360 \mathrm{~m}^{3} Wasser zur VerfĂŒgung stehen sollen.

      (7 BE)

    3. Berechnen Sie fĂŒr den unter 2.2 gegebenen Beckenradius die GrĂ¶ĂŸe der GrundflĂ€che des Beckens A0A_{0} in Quadratmetern.

      [ Ergebnis: A0≈188,5 m2A_{0} \approx 188{,}5 \mathrm{~m}^{2} ]

      (2 BE)

    4. Ein zu Beginn (Zeitpunkt t0=0t_{0}=0 ) 0,5 m20{,}5 \mathrm{~m}^{2} großer Algenteppich, der sich am Boden des Beckens mit der GrundflĂ€che A0A_{0} (siehe 2.3) gebildet hat, verdoppelt seine FlĂ€che tĂ€glich.

      Stellen Sie eine Gleichung der Funktion A:t↩A(t)A: t \mapsto A(t) auf, welche die FlĂ€che des Algenteppichs in Quadratmetern in AbhĂ€ngigkeit von der Zeit tt in Tagen angibt. FĂŒr die Definitionsmenge der Funktion AA gilt DA=[0;8]D_{A}=[0 ; 8].

      (2 BE)

    5. Zeigen Sie, dass sich die Wachstumsfunktion A nĂ€herungsweise durch die Funktionsgleichung A~(t)=0,5⋅e0,6931⋅t\tilde{A}(t)=0{,}5 \cdot e^{0{,}6931 \cdot t} mit DA~=DAD_{\tilde{A}}=D_{A} darstellen lĂ€sst und berechnen Sie damit, nach wie vielen Tagen zwei Drittel der gesamten GrundflĂ€che des Beckens von Algen bedeckt wĂ€ren, wenn nicht eingegriffen wĂŒrde.

      Runden Sie Ihr Ergebnis auf ganze Tage.

      (6 BE)


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