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Teil 2 Analysis I

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Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen Hilfsmittel verwendet werden

  1. 1

    Das Auf- und Abtauchverhalten eines Delfins im Meer wird mittels eines an ihm angebrachten Sensors untersucht. Die momentane Höhe des Sensors in Metern bezogen auf dei Wasseroberfläche in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden lässt sich annähernd durch die Funktionswerte der Funktion T beschreiben.

    Der Graph der Funktion T wird mit GTG_T bezeichnet und ist im Zeitraum von 0 bis 8 Sekunden im nebenstehenden Koordinatensystem abgebildet.

    Die Funktion T ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades und zum Zeitpunkt t1=1t_1=1 befindet sich der Delfin an der Wasseroberfläche.

    Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

    Bild
    1. Beschreiben Sie anhand des Funktionsgraphen GTG_T den Bewegungsablauf des Delfins im Bereich von t5,3t\approx 5{,}3 bis t=7t=7 und erläutern Sie, ob für die Funktion T das Intervall [0;[[0;\infty[ für den beschriebenen Sachverhalt eine sinnvolle Definitionsmenge ist. (2 BE)

    2. Der Leitkoeffizient im Funktionsterm von T ist gegeben durch a=112a=-\frac 1{12}. Zudem ist bekannt, dass GTG_T den Schnittpunkt S(0289)S(0|-\frac{28}9) mit der Ordinatenachse besitzt.

      Die zwei ganzzahligen Nullsteleln von T können der Zeichnung entnommen werden.

      Berechnen Sie den exakten Wert der fehlenden Nullstelle von T. (4 BE)

    3. Die Funktion T ist gegeben durch die Funktionsgleichung T(t)=112(t4433t3+63t287t+1123)T(t)=-\frac 1{12}(t^4-\frac{43}3t^3+63t^2-87t+\frac{112}3) mit der Definitionsmenge DT=[0;8]D_T=[0;8].

      Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen.

      Bestimmen Sie die Wertemenge WTW_T der Funktion T und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. (9 BE)

    4. Für t]1;5,3[t\in]1;5{,}3[ befindet sich der Delfin unter Wasser. Ermitteln Sie rechnerisch, ob in diesem Zeitintervall der Betrag der größten Abtauchgeschwindigkeit größer als der Betrag der größten Auftauchgeschwindigkeit ist. (6 BE)

  2. 2

    An einem Küstenabschnitt stranden immer wieder Delfine. Diese werden in einer Auffangstation gesund gepflegt, bis sie wieder in freier Natur überleben können. Um die Kapazität der Auffangstation zu erhöhen, soll ein zusätzliches Becken aus Edelstahl angefertigt werden, welches die Form eines geraden Kreiszylinders hat und nach oben offen ist.

    Dazu steht ein begrenzter Vorrat an Edelstahlblechen zur Verfügung. Diese haben modellhaft insgesamt eine Fläche von 180πm2180 \pi \mathrm{m}^{2}. Aus Platzgründen kann das Becken nur einen maximalen Durchmesser von 20 m20 \mathrm{~m} haben.

    Die Funktion V:rV(r)V: r \mapsto V(r) beschreibt die Maßzahl des Volumens des Beckens in Kubikmetern in Abhängigkeit vom Radius rr in Metern.

    Bild

    Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.

    1. Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf. Begründen Sie, dass für die mathematisch maximale Definitionsmenge der Funktion VV gilt: DV=]0;10\left.D_{V}=\right] 0 ; 10 ]

      [ Mögliches Ergebnis: V(r)=12πr3+90πrV(r)=-\frac{1}{2} \pi r^{3}+90 \pi r ] (5 BE)

    2. Zeigen Sie, dass unter den oben genannten Vorgaben das Becken für einen Radius von r=215r=2 \sqrt{15} den maximalen Rauminhalt aufweist. Überprüfen Sie anschließend, ob dieses Becken für eine vorübergehende Haltung von drei Delfinen ausreicht, wenn pro Delfin 360 m3360 \mathrm{~m}^{3} Wasser zur Verfügung stehen sollen.

      (7 BE)

    3. Berechnen Sie für den unter 2.2 gegebenen Beckenradius die Größe der Grundfläche des Beckens A0A_{0} in Quadratmetern.

      [ Ergebnis: A0188,5 m2A_{0} \approx 188{,}5 \mathrm{~m}^{2} ]

      (2 BE)

    4. Ein zu Beginn (Zeitpunkt t0=0t_{0}=0 ) 0,5 m20{,}5 \mathrm{~m}^{2} großer Algenteppich, der sich am Boden des Beckens mit der Grundfläche A0A_{0} (siehe 2.3) gebildet hat, verdoppelt seine Fläche täglich.

      Stellen Sie eine Gleichung der Funktion A:tA(t)A: t \mapsto A(t) auf, welche die Fläche des Algenteppichs in Quadratmetern in Abhängigkeit von der Zeit tt in Tagen angibt. Für die Definitionsmenge der Funktion AA gilt DA=[0;8]D_{A}=[0 ; 8].

      (2 BE)

    5. Zeigen Sie, dass sich die Wachstumsfunktion A näherungsweise durch die Funktionsgleichung A~(t)=0,5e0,6931t\tilde{A}(t)=0{,}5 \cdot e^{0{,}6931 \cdot t} mit DA~=DAD_{\tilde{A}}=D_{A} darstellen lässt und berechnen Sie damit, nach wie vielen Tagen zwei Drittel der gesamten Grundfläche des Beckens von Algen bedeckt wären, wenn nicht eingegriffen würde.

      Runden Sie Ihr Ergebnis auf ganze Tage.

      (6 BE)


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