Teil 1 Analysis

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Die Aufgaben in diesem Ordner sollen ohne Hilfsmittel wie Taschenrechner oder Formelsammlung bearbeitet werden.

1
Gegeben ist die Funktion $p$ durch $p (x) = \frac{x^{2} - 1}{4 - x^{2}}$ mit ihrer maximalen Definitionsmenge $D_{p} = ℝ$ $∖ {- 2; 2}$ . Der Graph der Funktion $p$ wird mit $G_{p}$ bezeichnet.
1. Untersuchen Sie, ob $G_{p}$ eine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt und geben Sie diese gegebenenfalls an.
2. Bestimmen Sie die Art der Definitionslücken von $p$ sowie die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_{p}$ mit den Koordinatenachsen. Geben Sie auch für jede Asymptote des Graphen $G_{p}$ die Art und die Gleichung an.
3. Eine der folgenden zwei Abbildungen zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $p^{'}$ der Funktion $p$ . Nennen Sie den Buchstaben des richtigen Graphen und begründen Sie Ihre Wahl durch ein Argument.
2
Gegeben ist die Funktion $f : x \to 2 x \cdot l n (x + 3)$ mit ihrer maximalen Definitionsmenge $D_{f} =] - 3; \infty [$ .
1. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von $f$ an den Rändern der Definitionsmenge $D_{f}$ .
2. Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion $f$ .
3
Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen der Funktion $g : x \mapsto - e^{- 0,5 x} + e$ mit der Definitionsmenge $D_{g} = ℝ$ .
Die Funktion $G : x \to 2 e^{- 0,5 x} + e x$ mit der Definitionsmenge $D_{G} = ℝ$ ist eine Stammfunktion von $g$ (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts des endlichen Flächenstücks, das der Graph von $g$ mit den Koordinatenachsen im zweiten Quadranten einschließt.

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