Teil 1 Analysis

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Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

Die Aufgaben in diesem Ordner sollen ohne Hilfsmittel wie Taschenrechner oder Formelsammlung bearbeitet werden.

1
Gegeben ist die Funktion $p$ durch $p (x) = \frac{x^{2} - 1}{4 - x^{2}}$ mit ihrer maximalen Definitionsmenge $D_{p} = ℝ \ {- 2; 2}$ . Der Graph der Funktion $p$ wird mit $G_{p}$ bezeichnet.
1. Untersuchen Sie, ob $G_{p}$ eine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt und geben Sie diese gegebenenfalls an. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
  Untersuche, ob $G_{p}$ eine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt und gib diese gegebenenfalls an
  Prüfe $p (- x) = p (x)$ bzw. $p (- x) = - p (x)$ :
  $p (- x) = \frac{(- x)^{2} - 1}{4 - (- x)^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{4 - x^{2}} = p (x) \Rightarrow$ $G_{p}$ ist symmetrisch zur y-Achse.
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  Prüfe $p (- x) = p (x)$ bzw. $p (- x) = - p (x)$ .
2. Bestimmen Sie die Art der Definitionslücken von $p$ sowie die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_{p}$ mit den Koordinatenachsen. Geben Sie auch für jede Asymptote des Graphen $G_{p}$ die Art und die Gleichung an. (7 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
  Bestimme die Art der Definitionslücken von $p$
  Gegeben ist $p (x) = \frac{x^{2} - 1}{4 - x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{(2 - x) \cdot (2 + x)}$ mit $D_{p} = ℝ \ {- 2; 2}$ .
  Die Definitionslücken sind $x = - 2$ und $x = 2$ . Es handelt sich um Polstellen ungerader Ordnung mit Vorzeichenwechsel.
  Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_{p}$ mit den Koordinatenachsen
  1. Schnittpunkte von $G_{p}$ mit der x-Achse:
  Berechne $p (x = 0) \Rightarrow 0 = x^{2} - 1 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1$
  $N_{1} (- 1 | 0)$ und $N_{2} (1 | 0)$ sind die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_{p}$ mit der x-Achsen.
  2. Schnittpunkte von $G_{p}$ mit der y-Achse:
  Berechne $p (0) = \frac{0^{2} - 1}{4 - 0^{2}} = - \frac{1}{4} \Rightarrow S_{y} (0 | - \frac{1}{4})$
  Der Schnittpunkt von $G_{p}$ mit der y-Achse ist $S_{y} (0 | - \frac{1}{4})$ .
  Gib auch für jede Asymptote des Graphen $G_{p}$ die Art und die Gleichung an
  Senkrechte Asymptoten bei $x = - 2$ und bei $x = 2$ .
  Waagrechte Asymptote bei $y = - 1$ .
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  Teil 1
  Der Definitionsbereich zeigt Dir die Definitionslücken.
  Teil 2
  Für die Schnittpunkte von $G_{p}$ mit der x-Achse berechne $p (x) = 0$ .
  Für die Schnittpunkte von $G_{p}$ mit der y-Achse berechne $p (0)$ .
  Teil 3
  Wo gibt es senkrechte Asymptoten?
  Bestimme auch die Gleichung einer waagrechten Asymptote.
3. Eine der folgenden zwei Abbildungen zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $p^{'}$ der Funktion $p$ . Nennen Sie den Buchstaben des richtigen Graphen und begründen Sie Ihre Wahl durch ein Argument. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
  Nenne den Buchstaben des richtigen Graphen
  Der Graph der ersten Ableitungsfunktion $p^{'}$ der Funktion $p$ gehört zu a).
  Begründe Deine Wahl durch ein Argument
  Berechne z.B. $p^{'} (x)$ mit der Quotientenregel und prüfe für einen x-Wert den Ableitungswert der Abbildung.
  $p^{'} (x) = \frac{(4 - x^{2}) \cdot 2 x - (x^{2} - 1) \cdot (- 2 x)}{(4 - x^{2})^{2}} = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} - 2 x}{(4 - x^{2})^{2}} = \frac{6 x}{(4 - x^{2})^{2}}$
  Berechne z.B. die Ableitung an der Stelle $x = 1$ :
  $p^{'} (1) = \frac{6 \cdot 1}{(4 - 1^{2})^{2}} = \frac{6}{9} > 0$
  Betrachte die beiden Graphen, dann findest Du $p^{'} (1) = \frac{6}{9} > 0$ bei der Abbildung a).
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2
Gegeben ist die Funktion $f : x \to 2 x \cdot \ln (x + 3)$ mit ihrer maximalen Definitionsmenge $D_{f} =] - 3; \infty [$ .
1. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von $f$ an den Rändern der Definitionsmenge $D_{f}$ . (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
  Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von $f$ an den Rändern der Definitionsmenge $D_{f}$
  Linker Rand:
  $\lim_{x \to - 3^{+}} \underset{\to - 6}{\underset{⏟}{2 x}} \cdot \underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{\ln (x + 3)}} = + \infty$
  Rechter Rand:
  $\lim_{x \to \infty} \underset{\to \infty}{\underset{⏟}{2 x}} \cdot \underset{\to \infty}{\underset{⏟}{\ln (x + 3)}} = + \infty$
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  Betrachte das Verhalten von $f$ am linken Rand und am rechten Rand.
2. Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion $f$ . (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  Ermittle die Nullstellen der Funktion $f$
  Berechne $f (x) = 0$ .
  $0 = 2 x \cdot \ln (x + 3)$
  Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
  $2 x = 0 \Rightarrow x_{1} = 0$
  $\ln (x + 3) = 0 \Rightarrow x + 3 = 1 \Rightarrow x_{2} = - 2$
  Die Nullstellen der Funktion $f$ sind $x = 0$ und $x = - 2$ .
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  Berechne $f (x) = 0$ .
3
Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen der Funktion $g : x \mapsto - e^{- 0,5 x} + e$ mit der Definitionsmenge $D_{g} = ℝ$ .
Die Funktion $G : x \to 2 e^{- 0,5 x} + e x$ mit der Definitionsmenge $D_{G} = ℝ$ ist eine Stammfunktion von $g$ (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts des endlichen Flächenstücks, das der Graph von $g$ mit den Koordinatenachsen im zweiten Quadranten einschließt. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne die Maßzahl des Inhalts des endlichen Flächenstücks, das der Graph von $g$ mit den Koordinatenachsen im zweiten Quadranten einschließt
Berechne zunächst die Nullstelle von $g$ :
$0$ $=$ $- e^{- 0,5 x} + e$ $+ e^{- 0,5 x}$
↓
Löse nach $x$ auf.
$e^{- 0,5 x}$ $=$ $e$ $\ln ()$
↓
$\ln e = 1$
$- 0,5 x$ $=$ $1$ $: (- 0,5)$
$x$ $=$ $- 2$
$x = - 2$ ist die untere Integrationsgrenze und $x = 0$ ist die obere Integrationsgrenze.
Dann folgt mit der gegebenen Stammfunktion:
$A = \int_{- 2}^{0} (- e^{- 0,5 x} + e) d x = {[2 e^{- 0,5 x} + e x]}_{- 2}^{0} = (2 e^{0} + 0) - (2 e^{1} - 2 e) = 2$
Die Maßzahl des Inhalts des endlichen Flächenstücks, das der Graph von $g$ mit den Koordinatenachsen im zweiten Quadranten einschließt, beträgt $2 FE$ .
Berechne die Nullstelle von $g$ $\Rightarrow x_{1}$ .
$x_{1}$ ist die untere Integrationsgrenze und $x = 0$ ist die obere Integrationsgrenze.
Berechne mit der gegebenen Stammfunktion $A = \int_{x_{1}}^{0} (- e^{- 0,5 x} + e) d x$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$0$	$=$	$- e^{- 0,5 x} + e$	$+ e^{- 0,5 x}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$e^{- 0,5 x}$	$=$	$e$	$\ln ()$
	↓	$\ln e = 1$
$- 0,5 x$	$=$	$1$	$: (- 0,5)$
$x$	$=$	$- 2$

Teil 1 Analysis

Untersuche, ob Gp eine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt und gib diese gegebenenfalls an

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Bestimme die Art der Definitionslücken von p

Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von Gp mit den Koordinatenachsen

Gib auch für jede Asymptote des Graphen Gp die Art und die Gleichung an

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Nenne den Buchstaben des richtigen Graphen

Begründe Deine Wahl durch ein Argument

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Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von f an den Rändern der Definitionsmenge Df

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Ermittle die Nullstellen der Funktion f

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Berechne die Maßzahl des Inhalts des endlichen Flächenstücks, das der Graph von g mit den Koordinatenachsen im zweiten Quadranten einschließt

Untersuche, ob $G_{p}$ eine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt und gib diese gegebenenfalls an

Bestimme die Art der Definitionslücken von $p$

Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_{p}$ mit den Koordinatenachsen

Gib auch für jede Asymptote des Graphen $G_{p}$ die Art und die Gleichung an

Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von $f$ an den Rändern der Definitionsmenge $D_{f}$

Ermittle die Nullstellen der Funktion $f$

Berechne die Maßzahl des Inhalts des endlichen Flächenstücks, das der Graph von $g$ mit den Koordinatenachsen im zweiten Quadranten einschließt