Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten $25$ Leiterplatten fehlerhaft sind

Berechne $P(X=25)$:

$P(X=25)=\text{binompdf(600,0.03,25)}\approx \mathrm{0,0232}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten $25$ Leiterplatten fehlerhaft sind, beträgt rund $\mathrm{2,3}\%$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten maximal $20$ Leiterplatten fehlerhaft sind

Berechne $P(X\le 20)$:

$P(X\le 20)=\text{binomcdf(600,0.03,0,20)}\approx \mathrm{0,7732}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten maximal $20$ Leiterplatten fehlerhaft sind, beträgt rund $\mathrm{77,3}\%$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten mehr als $15$ aber weniger als $30$ Leiterplatten fehlerhaft sind

Berechne $P(15<X<30)$:$P(15<X<30)=P(16\le X\le 29)=\text{binomcdf(600,0.03,16,29)}\approx \mathrm{0,7117}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Leiterplatten mehr als $15$ aber weniger als $30$ Leiterplatten fehlerhaft sind, beträgt rund $\mathrm{71,2}\%$.

Die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang

Der Term stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass von $600$ zufällig ausgewählten

Leiterplatten $550$ oder $551$ fehlerfrei sind.

Die Kosten, die dem Unternehmen entstehen, wenn bei einer Leiterplatte der Fehler $2$ gefunden wird

Die Kosten betragen $12€+3€=15€$.

Die zu erwartenden Kosten für das Standardverfahren betragen $\mathrm{12,60}€$ pro Leiterplatte

Zu erwartende Kosten pro Leiterplatte:

Es fallen $12€$ für den Fehler $1$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $\mathrm{0,8}$ und $15€$ für den Fehler $2$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $\mathrm{0,2}$ an:

$\mathrm{0,8}\cdot 12€+\mathrm{0,2}\cdot 15€=\mathrm{12,60}€$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ in diesem Schnelltest nicht gefunden wird, beträgt $60\%$

Fehler $1$ wird während des Schnelltests in $50\%$ der Fälle gefunden, in denen

Fehler $1$ tatsächlich vorliegt, in allen anderen Fällen nicht.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ vorliegt und gefunden wird, beträgt $\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,4}$.

Die Gegenwahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ nicht gefunden wird, ist dann

$1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$.

Bestimmen Sie unter der Bedingung, dass bei dem Schnelltest Fehler $1$ nicht gefunden wurde, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der vorhandene Fehler trotzdem Fehler $1$ ist

Es ist $F$: Fehler $1$ liegt vor und wird gefunden und $\overline{F}$: Fehler $1$ wird nicht gefunden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler $1$ vorliegt und gefunden wird, beträgt $\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,4}$ und es ist $P(\overline{F})=\mathrm{0,6}$.

Gesucht ist $P_{\overline{F}}(F)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,5}}{\mathrm{0,6}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der vorhandene Fehler trotzdem Fehler $1$ ist, beträgt ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Die zu erwartenden Kosten pro Leiterplatte für die Fehlersuche mit Schnelltest und Standardverfahren verringern sich tatsächlich

In Aufgabe c) waren die zu erwartende Kosten pro Leiterplatte berechnet worden:

$\mathrm{0,8}\cdot 12€+\mathrm{0,2}\cdot 15€=\mathrm{12,60}€$

Der Schnelltest kostet $2€$, allerdings wird ein vorhandener Fehler $1$ nur in $50\%$ der Fälle gefunden.

Zu den Kosten aus Aufgabe c) kommen die $2€$ hinzu und die Kosten für den Fehler $1$ treten nur zu $50\%$ auf.

Also erhält man: $2€+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,8}\cdot 12€+\mathrm{0,2}\cdot 15€=\mathrm{9,80}€$

Die zu erwartenden Kosten pro Leiterplatte für die Fehlersuche mit Schnelltest betragen $\mathrm{9,80}€$ gegenüber $\mathrm{12,60}€$ für das Standardverfahren.

Die zu erwartenden Kosten haben sich also verringert.