Prüfungsteil 2 2022 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3: Parabel und Rechteck

Julia zeichnet mithilfe einer Geometriesoftware die Parabel $f$ mit der Funktionsgleichung $f (x) = - 0,5 x^{2} + 5,5$ in ein Koordinatensystem (Abbildung 1).

Abbildung 1: Parabel und Rechteck — Abbildung 1: Parabel $f$ und Rechteck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$

Bestätige durch eine Rechnung, dass der Punkt $A_{1} (3 | 1)$ auf der Parabel $f$ liegt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Nachweis
$f (x) = - 0,5 x^{2} + 5,5$
Setzte $x = 3$ in die Funktionsgleichung ein:
$f (3) = - 0,5 \cdot 3^{2} + 5,5$
$f (3) = - 4,5 + 5,5$
$f (3) = 1$
Der Punkt $A_{1} = (3 | 1)$ liegt auf der Parabel.
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Setze die x-Koordinate des Punktes $A_{1}$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob sich aus der Rechnung der richtige y-Wert ergibt.
Begründe mit den Eigenschaften dieser Parabel, dass der Punkt $B_{1} (- 3 | 1)$ ebenfalls auf dem Graphen von $f$ liegt. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Begründung
Die Parabel ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Spiegelt man den Punkt $A_{1} (3 | 1)$ an der $y$ -Achse, so erhält man den Punkt $B_{1} (- 3 | 1)$ . Dieser liegt also ebenfalls auf dem Graphen von $f$ .
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Begründe mithilfe der Symmetrie der Parabel.
Die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$ liegen auf der $x$ -Achse und bilden mit den Punkten $A_{1}$ und $B_{1}$ das Rechteck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .
Berechne den Umfang dieses Rechtecks. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Seitenlängen des Rechtecks
$U_{Rechteck} = 2 \cdot a + 2 \cdot b$
$a = 3 + 3 = 6$
$b = 1$
Umfang des Rechtecks
$U_{Rechteck} = 2 \cdot a + 2 \cdot b$
$U_{Rechteck} = 12 + 2 = 14$
Der Umfang des Rechtecks beträgt $14 c m$ .
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Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks.
Berechne den Umfang des Rechtecks.
Ausgehend von anderen Punkten auf der Parabel $f$ kann man auf die gleiche Art weitere Rechtecke zeichnen.
(1) Zeichne den Punkt $A_{2} (1 | 5)$ in Abbildung 1 ein. (1 P)
(2) Ergänze die drei weiteren Punkte $B_{2}, C_{2}$ und $D_{2}$ und verbinde die vier Punkte zu dem Rechteck $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Koordinatensystem
Skizze
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Mit dem Term $(I)$ kann man den Umfang für jedes dieser Rechtecke berechnen
$(I) 2 \cdot 2 x + 2 \cdot (- 0,5 x^{2} + 5,5) .$
Dabei ist $x > 0$ und steht für die $x$ -Koordinate des zum Rechteck gehörenden Punktes $A_{1}, A_{2}$ usw.
Berechne mit dem Term $(I)$ den Umfang des Rechtecks, das durch den Punkt $A_{2} (1 | 5)$ festgelegt ist. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Berechnung
$U_{Rechteck}$ $=$ $2 \cdot 2 x + 2 \cdot (- 0,5 x^{2} + 5,5)$
↓
Einsetzen der x-Koordinate
$=$ $2 \cdot 2 \cdot 1 + 2 \cdot (- 0,5 \cdot 1^{2} + 5,5)$
$=$ $4 + 2 \cdot (- 0,5 + 5,5)$
$=$ $4 + 2 \cdot 5$
$=$ $14$
Der Umfang beträgt $14$ cm.
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Berechne den Umfang mithilfe des Terms (I). Setze dafür die x-Koordinate des Punktes ein.
Julia vereinfacht den Term $(I)$ zu $(II)$ $- x^{2} + 4 x + 11$
Zeige durch Termumformungen, dass die beiden Terme $(I)$ und $(II)$ gleichwertig sind. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereinfachen von Termen mit Klammern
Termumformung
$2 \cdot 2 x + 2 \cdot (- 0,5 x^{2} + 5,5)$
$= 4 x - x^{2} + 11$
$= - x^{2} + 4 x + 11$
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Löse die Klammer auf.
Sortiere nach den Exponenten.
Julia stellt die folgende Gleichung auf:
$- x^{2} + 4 x + 11 = 14,75$
(1) Löse die Gleichung. (3 P)
(2) Erkläre das Ergebnis in Bezug auf die Rechtecke unter der Parabel $f$ . (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel)
Umformung der Gleichung
$- x^{2} + 4 x + 11$ $=$ $14,75$ $- 14,75$
$- x^{2} + 4 x - 3,75$ $=$ $0$ $\cdot (- 1)$
$x^{2} - 4 x + 3,75$ $=$ $0$
Lösung der Gleichung mit der Mitternachtsformel
Mitternachtsformel: $x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 \cdot 3,75}}{2}$
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 15}}{2}$
$x_{1} = 2,5$
$x_{2} = 1,5$
Erklärung des Ergebnisses
Als Lösung der Gleichung erhalten wir zwei $x$ -Werte. $\Rightarrow$
Es gibt es zwei Rechtecke unter dem Graphen, die beide den Umfang $14,75 c m$ haben.
Bei einem Rechteck hat der Punkt $A$ die $x$ -Koordinate $2,5$ , bei dem anderen hat der Punkt $A$ die $x$ -Koordinate $1,5$ .
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Stelle den Term um, sodass rechts "0" steht.
Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$U_{Rechteck}$	$=$	$2 \cdot 2 x + 2 \cdot (- 0,5 x^{2} + 5,5)$
	↓	Einsetzen der x-Koordinate
	$=$	$2 \cdot 2 \cdot 1 + 2 \cdot (- 0,5 \cdot 1^{2} + 5,5)$
	$=$	$4 + 2 \cdot (- 0,5 + 5,5)$
	$=$	$4 + 2 \cdot 5$
	$=$	$14$

$- x^{2} + 4 x + 11$	$=$	$14,75$	$- 14,75$
$- x^{2} + 4 x - 3,75$	$=$	$0$	$\cdot (- 1)$
$x^{2} - 4 x + 3,75$	$=$	$0$

Aufgabe 3: Parabel und Rechteck

Nachweis

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Begründung

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Seitenlängen des Rechtecks

Umfang des Rechtecks

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Skizze

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Berechnung

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Termumformung

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Umformung der Gleichung

Lösung der Gleichung mit der Mitternachtsformel

Erklärung des Ergebnisses

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